GEOMETRITZANT
Dels polígons al cercle
 
    Sempre m'ha fascinat la imatge d'un polígon regular inscrit en un cercle que va augmentant el seu nombre de costats i es va acostant progressivament a la figura del cercle fins a, pràcticament, convertir-se o confondre's amb ell.
    Per això volia fer un petit estudi d'aquest procès, analitzant d'una manera gradual, fins a arribar a una seguit de conclusions de com es produeix, dels canvis que hi tenen lloc i obtenir, finalment, una sèrie de resultats que simplifiquin el càlcul de les qüestions implícites en ell.
Imaginem d'entrada, i per a començar, un triangle equilàter inscrit en un cercle de radi, per exemple, igual a 1.
    Ara es podrien plantejar una sèrie de qüestions:
    - Quant mesuren els costats i els angles del triangle?
    - Quina àrea ocupa aquest triangle?
    - Quina àrea queda entre el cercle i el triangle?
    Imaginem un quadrat o d'altres polígons:
    - Podem trobar una norma per a resoldre aquests problemes?
    De fet us recomano, si us motiva aquest tema, que tracteu de trobar algunes de les respostes a les qüestions proposades abans de seguir endavant.
    Donat que alguns de vosaltres podrieu ser profans en aquesta matèria, d'entrada, definiré alguns aspectes geomètrics de manera breu.
 

 (saltar conceptes bàsics)

 
Conceptes bàsics
 
  - Per a calcular el que mesuren els angles interiors d'un polígon regular es procedeix així:
    · La suma total dels angles d'un polígon és igual al nombre de costats menys 2 i multiplicat per 180º, és a dir: Suma d'angles = (n - 2)· 180º    (n és el nombre de costats)
    · En el cas dels polígons regulars, podem calcular el que mesura cada angle interior dividint el resultat anterior entre el nombre d'angles o costats que té, és a dir:
angle = (n - 2)· 180º / n
    Ex. Per un octàgon regular (vuit costats) la suma dels seus angles interiors és:
(8 - 2)· 180º = 6 · 180º = 1080º
  I cadascun dels seus angles mesura:1080º / 8 = 135º
    - L'apotema d'un polígon és l'altura de cadascun dels triangles en que podem descomposar un polígon i que tenen per vèrtex el centre del polígon i els dos extrems de cada costat.
    - El perímetre d'un polígon és la suma total del que mesuren els seus costats.
      En el cas dels polígons regulars es pot aplicar la següent fórmula:
P = n · c        (n = nombre de costats, c = longitud dels costats)
    - L'àrea d'un polígon de més de 4 costats es calcula fent el semiproducte del seu perímetre pi per l'apotema ap:                      A = pi ˇ ap / 2
  - La longitud d'una circumferència és igual al doble del radi per PI:      L = 2 · PI · r
  - L'àrea d'un cercle és igual al producte de PI pel radi al quadrat:        A = PI · r2
- Les funcions trigonomètriques bàsiques, sempre aplicades als triangles rectangles, són:
    · El sinus de l'angle, que és el quocient entre el catet b oposat a l'angle i la hipotenusa h:         sin ß = b / h
    · El cosinus de l'angle, que és el quocient entre el catet a contigu a l'angle i la hipotenusa h:       cos ß = a / h
    · La tangent de l'angle, que és el quocient entre el catet b oposat a l'angle i el catet a contigu, o bé el quocient entre el sinus i el cosinus de l'angle:     tg ß = b / a    o bé    tg ß = sin ß / cos ß
  Gràcies a les calculadores científiques el càlcul d'aquestes funcions és força senzill i la seva aplicació en la resolució de problemes geomètrics pot simplificar molt la qüestió.
 

En construcció ...
  ¥
 

NOMBRES TRANSCENDENTS
 
      Història del número pi
 
    El número pi ha fascinat a la llarg dels temps a nombrosos matemàtics, científics o simples aficionats al càlcul, fins al punt de que alguns li van dedicar gran part de les seves vides en trobar-lo, calcular-lo, etc.
    El número pi no és un nombre enter ni es pot expressar com el resultat d'una fracció, sinó que no té límit, és a dir, té infinits decimals i, per tant, mai no es podrà calcular completament, pertany al conjunt dels nombres reals, però donat que no és l'arrel quadrada de cap número, es diu que és un "número transcendent".
    Sembla que fou W. Jones el primer que va emprar aquesta lletra grega pi per a designar-lo al seu llibre "Introducció a les matemàtiques" (1.706), donat que és la inicial de la paraula perifereia (circumferència).
    Els egipcis ja coneixien que la relació entre el diàmetre i la longitud d'una circumferència no es podia calcular amb exactitud i la van expressar com 3 + 1/6 o 3,16.
    Molts segles després el gran Arquímedes de Siracusa va dissenyar el mètode dels polígons inscrits i circumscrits per a calcular-lo, que comentaré més endavant.
    Així va obtenir el valor de pi = 3 + 1 / 7   o  22 / 7 = 3,1428
    Ptolomeo va calcular que pi = 3 + 1 / 8 + 1 / 60 = 3,14166
    Els matemàtics àrabs i xinesos havien trobat que pi era igual a 3,1416
    Aquest procediment va estar vigent fins al segle XVII, llavors els matemàtics van començar a dissenyar algoritmes de càlcul, en els que no intervé la circumferència, cada cop més originals i eficients i els progressos van estar relativament ràpids, jo en destacaria alguns com:
    pi = 2 x 2 x 4 x 4 x 6 x 6 x ...                                               Algoritme de Wallis
    2      3 x 3 x 5 x 5 x 7 x 7 x ...
    pi =    1   +     1     +     1        + ...                                          Algoritme de Leibniz
    8     1 x 3     5 x 7      9 x 11
    p2 = 1 +  1  +  1  +  1  + ... +   1   , és a dir,  p2 = 6 · S 1/n2    Algoritme d'Euler
    6             4      9     25             n2
    Així el nombre de decimals trobats de pi va anar augmentant sense parar:
    Van Ceule en va trobar 35 que va fer gravar a la seva tomba.
    Sharp va arribar a 72, Lagny: 127, Vega: 139, Rutherford va arribar als 208 en 1.841 i a 440 en 1.872, però el britànic William Shanks, que hi va dedicar 20 anys de la seva vida, va establir la última gran marca dels calculistes, diguem-ne que manuals, al arribar al decimal 707 al 1.874. Fou homenatjat com un heroi i es van escriure sota la cúpula del palau de la Découverte de Paris.
    Malauradament a l'any 1.947, D.F. Ferguson va descobrir que el decimal 528 era incorrecte, i òbviament tots els següents...
    A partir de la dècada dels 40, l'aparició dels ordinadors ha permès aprofundir en el càlcul de pi ràpidament, així al 1.949 es va arribar als 2.036 decimals, al 1.959 ja eren 10.000, al 1.974 s'aconseguia arribar al 1.000.000. Un dels últims rècords ultrapassava els 6 mil milions al 1995.
   Aquí teniu, a títol informatiu, els 100 primers decimals de pi que, òbviament, no aplicareu en els vostres problemes geomètrics, però que sempre són curiosos de veure i, fins i tot, us pot servir d'entrenament memorístic. S'hi atreviu?
    p = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 ...
 
Un senzill algoritme de càlcul del número pi
 
     Per acabar aquest capítol dedicat al número p, us proposo un algoritme bastant senzill per a calcular de manera aproximada una bona sèrie de decimals.
    El procediment està basat en el mètode dels polígons inscrits i circumscrits d'Arquímedes, però, és clar, amb l'avantatge actual de les calculadores científiques.
    D'aquesta manera ens acostarem al mètode de càlcul de pi que va estar vigent durant quasi dos mil anys i el podrem comprendre millor.
    Aquest procediment consisteix en calcular els perímetres dels dos polígons regulars un inscrit i l'altre circumscrit i comparar-los amb la longitud de la circumferència, d'aquesta manera podem trobar dos valors diferents de p, un inferior pi corresponent al polígon inscrit i l'altre superior pc obtingut amb el circumscrit.
    Llavors podrem concloure que pi és la mitjana aritmètica d'ambdós valors trobats:
p =  (pi + pc) / 2
    La longitud de la circumferència, com ja sabeu, és L = 2 · p· r
    El perímetre d'un polígon regular inscrit és:  pi = n · c
    c = 2 · r · cos a (expressant la mesura del costat c en funció del radi r)  i  n és el nombre de costats del polígon
    Per a simplificar el càlcul es pren com a radi el valor r = 1
    Substituint s'obté:   pi = 2 · n · cos a
     L'angle a és la meitat dels angles interiors b del polígon regular que podem obtenir amb la fórmula vista anteriorment:
b = (n - 2) · 180º / n,   a = b / 2
  Si ara igualem la longitud de la circumferència amb el perímetre del polígon inscrit, obtenim el valor pi, és a dir, el límit o valor inferior de pper a aquest polígon:
  2 · n · cos a = 2 · pi    =>  pi = n · cos a
    El perímetre del polígon regular circumscrit és:  P' = n · c'
      c' = 2 · r / tg a     (fixeu-vos que pel polígon circumscrit l'apotema ap' és igual al radi)
    Per tant:   P' = 2 · n / tg a
    Igualant la longitud de la circumferència amb el perímetre del polígon circumscrit, s'obté el valor pc, és a dir, el límit o valor superior de p:
  2 · n / tg a  = 2 · pc    =>  pc = n / tg a
    Finalment obtenim que pi =  (pi + pc) / 2
    Vegem un exemples aclaridors:
    En el cas de l'octàgon de la figura, i amb ajut de la calculadora científica, tenim que:
      n = 8
      b = (8 - 2) · 180º / 8 = 135º,   a = b / 2 = 67,5º
      pi = 8 · cos 67,5º = 3,061467458920718173827
      pc= 8 /  tg 67,5º  = 3,313708498984760390413
      pi =  (pi + pc) / 2  = 3,1875879789527392821205
    Un valor de p encara no gaire correcte.
    Però si ara provem amb un polígon regular de n = 10.000 costats, veurem que:
      b = (10.000 - 2) · 180º / 10.000= 179,964º,   a = b / 2 = 89,982º
      pi = 10.000 · cos 89,982º = 3,14159260191266569297934647928899
      pc= 10.000 /  tg 89,982º  = 3,14159275694405291972467077191176
      pi =  (pi + pc) / 2 = 3,14159267942835930635200862560038
    Un valor que ja és correcte fins al setè decimal, per tant, força interessant...
    Lògicament es pot seguir buscant més precisió augmentant el nombre d'angles del polígon regular que prenguem com a base del càlcul, però això, si us ha agradat el tema, ja és feina d'investigació vostre!
 
    El número e: Aplicacions i curiositats

 Autora: Bharti Pridhnani
 
    El nombre e és un nombre real, dintre d’aquests és irracional i transcendent, la qual cosa vol dir que no és l’arrel de cap polinomi amb coeficients de nombre racionals.
    El seu valor és de 2,718281828459045..., té infinits decimals i aquests no són periòdics.
    El nombre e es defineix com el límit quan n tendeix a infinit de la successió (1+1/n)n , és a dir:
    Una altra definició del nombre e és el sumatori des de 0 fins a infinit de 1/ n! S’indica:
    El nombre e primer va ser estudiat pel matemàtic Leonhard Euler (1720) encara que destaca més pel seu treball John Napier, l’inventor dels logaritmes (1614).
    Euler va ser el primer en utilitzar la lletra e en 1727 per a aquesta constant, i també va calcular fins a 23 decimals el 1748 utilitzant la fórmula del sumatori.
    Més tard, W. Shanks va arribar als 205 decimals al 1871, nombre que fou superat al 1884 per Boorman, que en va calcular 346.
     Amb l’arribada de les computadores el càlcul es va simplificar i ràpidament els progressos foren enormes, així:
· J. von Neumann i el seu grup van fer servir l’ENIAC i van obtenir-ne 2.010 decimals el 1949.
· D. Shanks i J.W. Wrench en van trobar fins a 100.265 el 1961 amb la fórmula d’Euler en un IBM 7090. Es van trigar 2,5 hores.
· R. Nemiroff i J. Bonnell ja van arribar als 10.000.000 decimals el 1994
· Shigeru Kondo i X. Gourdon en van obtenir 12.884.901.000 l’agost del 2000, fent servir el programa de càlcul PiFast33 en un Pentium III 800. Es van necessitar 167 hores.
 
Curiositats sobre el número e
· La fórmula d’Euler:
    En aquesta fórmula s’observen tres tipus de nombres: e, p(pi) i el número imaginari i, és a dir, aquí intervenen les constants matemàtiques més importants:  0, 1, e, pi, i
· La derivada de ex:
    La derivada de ex és ella mateixa, és la única funció real que ho compleix,  és a dir:
· Aproximació del nombre e per mitjà de nombres racionals:
    Podem fer una aproximació del nombre e per mitjà de nombres racionals tot i que aquest és irracional:
       e = 2 +                                          1                _
                        1 +                                     1               _
                                 2 +                                1              _
                                         1 +                           1             _
                                                  1 +                      1            _
                                                         4 +                1            _
                                                               1 +            1          _
                                                                    1 +        1      _
                                                                         6 +    1      _
                                                                               1 + ...
 
 
Aplicacions del número e
 
   Veurem ara uns quants exemples d'aplicacions del número e en diverses ciències, he escollit alguns que ens poden semblar més propers a la nostre vida quotidiana i que potser us sorprendran:
· Intervenció del nombre  e  en un assassinat:
    Una aplicació del nombre “e” és poder determinar en un assassinat el moment de la mort.
    Cal aplicar la llei de Newton sobre el refredament que estableix que la velocitat a la que es refreda un cos és proporcional a la diferència entre la temperatura de l’objecte i la temperatura de l’entorn.
    Això vol dir que quan un objecte està molt més calent que l’aire exterior, la seva velocitat de refredament és alta, de manera que es refreda molt ràpidament; quan un cos està una mica més calent que el seu entorn, la seva velocitat de refredament és baixa i es refreda lentament.
    Una persona viva no es refreda contínuament. El metabolisme humà assegura el manteniment de la temperatura del cos a l’entorn dels 98,6º F. Però una persona morta deixa de produir calor i, per tant, comença a refredar-se seguint la llei de Newton que s’aplica amb la fórmula matemàtica següent:
T = Taire + (Tcos – T aire) / ek·t
    On T és la temperatura, t és el temps en hores després de mitjanit i k és una constant.
    Ara aplicarem aquesta fórmula en l’assassinat d’una persona. La seva temperatura en un moment donat després de la seva mort era de 85ºF i la temperatura de l’aire era de 68ºF. A les dues de la matinada la temperatura del cos havia disminuït fins els 74ºF. A partir d’això ens interessa determinar quan aquesta persona va morir. Sabem que la temperatura normal del cos és de 98,6ºF, llavors aquest és el moment de la seva mort. Així:
98,6º = 68º + (85º - 68º) / e0,5207·t
    Operant els termes resulta: (30,6º) ·  e0,5207·t = 17º
e0,5207·t = 17º / 30,6º = 0,5556
    Per tant, si apliquem el càlcul de logaritmes resulta:
0,5207 · t = L(e0,5207·t) = L(0,5556) = -0,5878
t = -0,5878 / 0,5207 = -1,13 hores = -68 minuts
    Amb això sabem, gràcies a l’ajuda del nombre e, que aquesta persona va morir 68 minuts abans de les dotze de la nit, és a dir, a les 22:52 h.
· A la matemàtica financera s'aplica per calcular l'interés continu:
    La fórmula de l’interés continu és:    C = c · (1 + r / m)m·t
    on C = capital final, c = capital inicial, r = interés anual, m = periodes de capitalització,
    t = nombre de periodes.
    Veurem l’aplicació del nombre e en la matemàtica financera a partir d’un exemple concret.
    Vegem el que produeixen 1000 euros a interés compost al 20% anual en un any. I a interés continu.
    a) Primer cas: Quan el període de capitalització és 1 any:
C = c · (1 +  r / 1 )1 = 1000 · (1 + 20/100)1 = 1000 · 1,2 = 1200 euros
    b) Segon cas: Quan el període de capitalització és 1 mes, és a dir hi ha 12 períodes de capitalització a l’any, llavors la fórmula és:
C = c · (1 +  r / 12 )12 = 1000 · (1 + 0,2 / 12)12 = 1219,39 euros
    c) Tercer cas: Quan el període de capitalització és 1 dia, és a dir hi ha 365 períodes de capitalització a l’any tenim que:
C = c · (1 +  r / 365 )365 = 1000 · (1 + 0,2 / 365)365 = 1221,34 euros
    Si ens fixem veiem que com més períodes de capitalització a l’any hi ha, el capital final produït és més gran, però sembla que tendeix a estabilitzar-se al augmentar el nombre de períodes perquè per exemple la diferència entre el capital final del segon i tercer cas és més petita que la del primer i segon cas.
    Quan el número de períodes de capitalització m tendeix a infinit, l’interés s’anomena continu.
    La fórmula d’aquest tipus d’interés és, per tant:
    Ara farem una sèrie de transformacions a fi de poder calcular aquest límit a partir del nombre e.
    Si considerem que r / m = 1 / (m / r) i ara substiuïm m / r = n, i a més tenim en compte que el límit d'una constant per una funció és igual a la constant pel límit de la funció, obtenim:
C = c · lim  (1 + 1 / n)n·r·t
                                                                  n->w
    Que podem transformar seguint les propietats dels límits en:
C = c ·[ lim  (1 + 1 / n)n]r·t
                                                                  n->w
    I com hem vist a la definició del número e:
    Per la qual cosa arribem a la fórmula final de l'interés continu:
C = c · er·t
    Llavors, si els 1000 euros els tenim ara a interés continu, el capital final serà:
C = c · er·t= 1000 · e0,2·1 = 1221,40 euros
    L’interés continu és, per tant, el de màxima producció.
    Havíeu imaginat algun cop que els vostres estalvis estaven sota control del número e?
· A l’enginyeria:
    Quan es penja una cadena o un cable pels extrems, tendeix a adoptar una forma que es relaciona amb el nombre e. La fórmula és la següent:
    Així que, a partir d'ara, cada cop que vegeu un cable, una corda, etc. penjat pels extrems, penseu que el número e és allà donant la curvatura corresponent!!
· El carboni 14:
    Per determinar d’una manera aproximada l’antiguitat d’un objecte que està format per matèria orgànica es mesura la quantitat de carboni 14 que conté. Els éssers vius tenen una quantitat de carboni 14 constant.
    Quan un ésser viu mor aquesta quantitat es va desintegrant. La funció que regula la desintegració es determina amb la següent fórmula:
Q = Qo · e-0,000124·t
    On Q és la quantitat de carboni 14 final, Qo és la quantitat de carboni 14 inicial, t és el temps.
· Espiral logarítmica:
    En els éssers vius hi ha corbes relacionades amb el nombre e. Una d’elles és l’espiral logarítmica la fórmula de la qual és:
r = ea·j
· Absorció dels rajos X per la matèria. Llei de Bragg-Pierce:
I = Io · e-m·x
    on  Iés la intensitat final del raig després de travessar el cos, Io és la intensitat inicial dels rajos X,
    més el coeficient d’absorció, x és el gruix del cos, .
· Creixement exponencial:
    Una de les nombroses aplicacions en biologia d’aquest nombre és el creixement exponencial. Aquest tipus de creixement sorgeix quan no hi ha factors que limiten el creixement. Poden experimentar un creixement exponencial les espècies pioneres que arriben, per exemple, a zones despoblades com ara una superfície boscosa en recuperació després d’un incendi.
     En aquest tipus de creixement hi ha la següent fórmula:
N = No · et
     Això ens permet esbrinar quina serà la població N en un temps t a partir de la població inicial No.
· Creixement logístic:
    Un altre tipus de creixement és el logístic. Moltes vegades les circumstàncies, com ara la intervenció del govern o les condicions extremes de supervivència, limiten el creixement. Aquest tipus de creixement ve donat per la següent fórmula:
f(x) = k / (1 + a · e-b·x)
    On k, a i b són constants que es troben experimentalment, depenen de cada aplicació concreta.

    Hi ha moltes més aplicacions de fenòmens o situacions on intervé el número e, però en sembla que després de llegir aquest article -obtingut a partir del treball de recerca de l'alumne Bharti Pridnani de Lloret- tindreu un concepte molt diferent d'aquest meravellós número irracional i transcendent, però força desconegut, que és el número e.
 
(índex matemeravelles)
 
Tornar a la pŕgina principal

Autor: Blai Figueras Álvarez

E-mail: mentaludix@hotmail.com