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El teorema del valor medio del Cálculo Diferencial
El teorema de más aplicación teórica en todo el Cálculo Diferencial es el llamado teorema del valor medio. Intuitivamente, el teorema es evidente, tanto en su interpretación geométrica como en su interpretación física. Como puedes ver en la figura de la derecha,
Eso significa que las pendientes de ambas rectas serán coincidentes, es decir, Escrito de otro modo: Pues bien, éste es el Teorema del valor medio Si f es una función derivable en el intervalo [a,b], existe al menos un número c, entre el a y el b, con el cual se cumple la fórmula: Como hemos dicho, sus consecuencias son muchas. Aquí nos limitaremos a la siguiente:
En efecto, si a y b son puntos en I tales que , Obviamente, si en un intervalo, f es decreciente, de todo lo cual resulta el siguiente método para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función (llamados intervalos de monotonía) Cómo hallar los intervalos de monotonía.
Donde cambie el crecimiento, siendo continua la función, obtendremos un máximo, o un mínimo, según el caso. |
Vista geométrica del teorema del valor medio
El teorema del valor medio en Cinemática En un movimiento rectilíneo, en el que el espacio venga dado en función del tiempo por una ecuación , la velocidad media en un intervalo de tiempo es Según el teorema del valor medio, ese valor, es decir, la velocidad media, debe coincidir con alguna expresión de la forma con algún valor de t comprendido entre los instantes inicial y final. Como es la velocidad en el instante t, la conclusión resulta evidente:
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Representación de funciones polinómicas:
Representación de funciones racionales:
Las etapas son sustancialmente las mismas que en el caso anterior, pero en la etapa 1 determinaremos ya las discontinuidades de la función y las asíntotas:
(Señalados sobre el eje X los valores obtenidos en a) y en b), darán el llamado esquema de zonas)
(Las verticales las obtendrás igualando a 0 el denominador, pero ¡debes comprobarlas! Recuerda que, cuando se puede hacer la división, la fracción se puede descomponer en suma y, una vez hecha esa descomposición, queda a la vista si hay asíntota horizontal u oblicua. Recuerda también que las asíntotas de una función de este tipo lo son por ambos lados) Mira el ejemplo 1
(Señaladas sobre el eje X, nos darán el esquema de monotonía) Consejo: Antes de desarrollar cuadrados en el denominador..., ¡cuenta hasta 1000! ¿Entiendes? Mira el ejemplo 1 (no desarrollando el denominador, vemos claras simplificaciones posteriores)
(Señaladas sobre el eje X, permiten obtener el llamado esquema de concavidad) Mira el ejemplo 1 (una vez más, por no desarrollar el denominador, vemos una simplificación posterior) Observaciones
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Ejemplo 1: Gráfica de Etapa 1:
luego es la asíntota (horizontal) Etapa 2:
Mín. en (¡OJO! No digas que hay máximo en x=1, ¡no está definida!) Etapa 3:
Trazado de la gráfica
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Ejercicios propuestos
1. Dibuja las gráficas de las siguientes funciones:a) b) c)
2. Idem, de las funciones: a)
b)
c)
Dos ejemplos de funciones no racionales
En casos de funciones no racionales, las etapas son esencialmente las mismas que en el caso de funciones racionales, pero en la primera etapa debes empezar determinando el dominio (los esquemas que hagas deberán referirse sólo al dominio), y debes prestar especial atención a la posibilidad de que
Ejemplo 3: Gráfica de la función
A.H.Izq. A.H.Der. No hay
Mínimo en (1, f(1)) = (1, e)
En la tabla siguiente, puedes ver la gráfica resultante. |
Ejemplo 4: Gráfica de Etapa 1: Es evidente que , luego la función es periódica, de período 2p. Basta, pues, representarla en [0,2p], y buscar sólo datos en dicho intervalo. Por tanto,
Etapa 2: Por tanto, Máximo en ( Mínimo en Etapa 3: Por tanto, En la tabla siguiente, puedes ver la gráfica resultante. |
Gráfica de |
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Gráfica de |
La gráfica se completaría copiando este mismo arco en los intervalos restantes: |