Van estar els treballs de Von Neuman i l’aplicació de l’àlgebra de Boole – George Boole, lògic i matemàtic britànic 1815-1846 - les que en un inici van possibilitar el que tenim avui en dia.

Von Neumann, va definir la idea de màquina universal. Aquesta resoldria qualsevol aplicació interpretant una sèrie de instruccions elementals simples però ordenades i combinades en un programa que ha de permetre solucionar qualsevol algoritme.

L’àlgebra booleana representa relacions lògiques mitjançant l’anotació algebraica de les funcions bàsiques suma, resta i negació o complementació.

Per què? Doncs, per què el seu pas a un llenguatge què entengués una màquina elèctrica era molt fàcil i com no lògic!

Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i regles matemàtiques que fem servir per representar dades numèriques o xifres.

El més utilitzat és el sistema decimal o base 10. En diem decimal o base 10, per que 10 són els símbols utilitzat per representat quantitats ( del 0 al 9). Tot número decimal es pot descomposar en potencies de deu.

Exemple 1:

Descomponeu el número 425,25 en potencies de deu.

425’25 = 400 + 20 + 5 + 0,2 + 0,05 = 4 · 100 + 2 · 10 + 5 · 1 + 2 · 1/10 + 5 · 1/100

425’25 = 4 · 10² + 2 · 10¹ + 5 · 10⁰ + 2 · 10^-1 + 5 · 10^-2

D’aquest exemple obtindrem el polinomi general que defineix el sistema numèric decimal:

N₁₀₎ = a _n · 10 ⁿ + a _n-1 · 10 ^n-1 + …+ a ₁ · 10 ¹ + a ₀ · 10 ⁰ + a _-1 · 10 ^–1 +…+ a _-(n-1) · 10 ^-(n-1) + a _-n · 10 ^-n

on:

N ₁₀₎ = número d’un sistema ( com aquí és el 10, sistema decimal).

a = xifra o símbol numèric ( segons número amb el que treballem).

10 = Base sistema numèric ( aquí es el decimal).

n = Posició que ocupa la xifra ( ordenades segons posició, des de la coma a esquerra positius, negatius a la dreta) (També es denomina pes).

Per utilitzar aquest polinomi amb altres sistemes numèrics només caldrà substituir la base.

El sistema de numeració binari és un sistema que només utilitza dos símbols el 0 i l’1, per això també es denomina base dos. Aquest sistema és idoni per sintetitzar la informació i per això serà l’utilitzat per l’anàlisi i el disseny dels circuits digitals.

Sistema Octal.

Sistema amb buit dígits, també es diu de base 8.

Sistema Hexadecimal.

Sistema amb els deu dígits del decimal i les cinc primeres lletres de l’abecedari, també es diu de base 16.

Donat que aquests son sistemes àmpliament utilitzat caldrà conèixer com fer la Conversió entre sistemes numèrics:

Per convertir un número a decimal, des de qualsevol altre sistema utilitzarem, el polinomi general amb la base del sistema origen.

Exemple 2:

Quin número decimal és el número binari 1001.

1001 en base dos = 1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 8+0+0+1 =9

Per passar del sistema decimal a qualsevol altre sistema dividirem successivament aquest per la base del sistema al qual volem convertir.

Exemple 3:

Quin número binari és el 32 en base deu?

32:2=16 i la resta és 0

16:2=8 i la resta és 0

8:2=4 i la resta és 0

4:2=2 i la resta és 0

2:2=1 i la resta és 0

Agafarem l’últim quocient ( que serà la xifra més significativa) i les restes successives i obtimdrem el número en base dos

100000

Per passar de binari a octal o hexadecimal i al inreves, Veiem uns exemples clarificadors.

Exemple 4:

Passeu el següent número binari 1110001 al sistema octal.

El primer que fareu és agrupar en blocs de 3 xifres, a partir de la de menys pes el número binari.

1              110          001

Desprès el  donareu el valor en el sistema octal.

1=1                         110=6                     001=1

i ja tindreu el número en base 8.

161 en base 8

Exemple 5:

Passeu el número 67 en base 8 a base dos.

Aquí actuarem de manera inversa:

6=110                     7=111

El resultat és:

110111 en binari

Exemple 6:

Passeu el següent número binari 11110001 al sistema hexadecimal.

El primer que fareu és agrupar en blocs de4 xifres, a partir de la de menys pes el número binari.

1111        0001

Desprès el  donareu el valor en el sistema octal.

1111=F                  001=1

i ja tindreu el número en base 16.

F1 en base 8

Exemple 7:

Passeu el número A32 hexadecimal al sistema binari

Aquí actuarem de manera inversa:

A=1010  3=0011   2=0010

El resultat és:

101000110010 en binari

Activitats

Feu les següents conversions de sistema numèric:

1. El número 14 en base deu al sistema binari. r.1110

2. El número decimal 37 a base dos. r.100101

3. El número binari 1110 , 1001 al sistema decimal. r. 14,56

4. El número binari 1110 a base 8. r.16

5. El número en base 2 100101 a base 8. r.45

6. El número octal 16 al sistema decimal.  r.14

7. El número octal 45 a base deu. r.37

8. El número decimal 110 a hexadecimal. r.6E

9. El número 25 hexadecimal a decimal. r.37

10. El número 25,86 decimal a hexadecimal. r. 19,DC2

Així doncs l’àlgebra de Boole té com objectiu definir una sèrie de símbols per representar objectes o fenòmens que donin lloc a expressions matemàtiques més complexes anomenades funcions., Aquestes funcions, com veurem més endavant, no operem amb relacions quantitatives, sinó que ho fa amb relacions lògiques.

Entendrem com funció lògica aquella que tindrà “n” variables (representades per lletres), les quals no més podran tenir dos valors, i que estaran relacionades per les operacions bàsiques : suma, producte.

Veiem per exemple la següent funció:

F = a·b·c+a·b

D’ella podriem dir:

Que es pot representar de forma genèrica: F = f (a,b,c)

Que llegirien com: F és una funció de a, b i c.

La funció o variable depenent és la F.

Les variables binaries son a, b i c.

Les operacions son la suma i el producte.

L’expressió algebraica es llegiria així: La funció lògica serà 1 quan el producte de a, b i c o a per b siguin 1.

Els valors lògics de les variables seran:

0 = 0 lògic o nivell baix de tensió o absència de tensió.

1 = 1 lògic o nivell alt de tensió o presència de tensió.

Si bé un senyal digital es representa per un valor lògic, en realitat correspon a una franja de tensió, així direm per exemple que l’1 lògic serà el valor de tensió compres entre 7 i 10 volts i 0 lògic entre 0 i 3 volts. La zona intermitja  es denomina prohibida ja que el valor lògic queda indeterminat.

Operacions i propietats bàsiques de l’àlgebra de Boole.

En aquest tipus d’àlgebra tindrem tres operacions bàsiques: la suma, el producte i la complementació o inversió que també denominarem negació.

La següent taula ens mostra la forma de representar-la i els seus postulats bàsics

Funcions lògiques o boleanes. A més del sistema numèric binari, caldrà un nou component que ens permeti relacionar i operar amb aquest sistema, per tal de poder operar en el complex món del disseny i la síntesi dels sistemes que fan sevir la lògica cablejada. Això ens ho permet l’àlgebra de Boole.

Encara que existeixen nombrosos teoremes, hi ha 10 que es necessari conèixer donada la seva extrema utilitat. D’aquest 10 també coneixerem la seva forma dual. Que és una forma dual? Doncs aquella expressió en la que canviant les operacions suma per producte i producte per suma, defineixen altre teorema. Veieu-les a continuació: