1-Troba el simètric del punt `P(-1,1,4)` respecte al pla `pi:(x,y,z)=(1,-2,3)+lambda(1,0,1)+mu(-2,1,3)` En primer lloc trobarem l'equació general del pla: $$ \begin{pmatrix} x-1 & y+2 & z-3\\\ 1 & 0 & 1\\\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}=-x-5y+z-12=0 $$ La recta perpendicular al pla serà la recta que passa pel punt `P` i té com a vector director l'associat del pla. `(x,y,z)=(-1,1,4)+lambda(-1,-5,1)` $$ r:\begin{cases}x=-1-\lambda\\ y=1-5\lambda\\ z=4+\lambda\end{cases} $$ Per trobar el punt d'intersecció substituïm l'equació paràmètrica de la recta a l'equació del pla i trobarem `\lambda`. `-x-5y+z-12=0` `-(-1-\lambda)-5(1-5\lambda)+(4+\lambda)+12=0` `1+lambda-5+25lambda+4+lambda+12=0` `27lambda-12=0` `lambda=12/27=4/9` Substituïm a l'equació de la recta i tenim el punt d'intersecció (Projeccció de `P` sobre el pla `pi`, `P'`). `P'=(-1-4/9,1-5·4/9,4+4/9)=(-13/9,-11/9,40/9)` Per acabar i per trobar el simètric recordem que aquest punt, `P'`, és el punt mig entre el punt cercat, `P_1(x_1,y_1,z_1)`, el simètric, i el punt inicial `P`. `((-1+x_1)/2, (1+y_1)/2,(4+z_1)/2)=(-13/9,-11/9,40/9)` `(x_1,y_1,z_1)=(-17/9,-31/9,44/9)`