3-Troba `a` per tal que la recta $$ r:\begin{cases}x+2ay+z=2\\ 2x+3y-z=2\end{cases} $$ estigui continguda al pla `pi:4x-y-az=6`. Hi ha algún valor d'`a` que fa que el pla i la recta siguin estrictament paral·leles? Calcularem el determinant de la matriu del sistema format per les tres equacions i mirarem quins valors de `a` fan que sigui `0` (rang matriu del sistema `=2`) i amb aquests valors mirarem el rang de l'ampliada. Nota: les dues equacions són d'una recta ja que sigui quin sigui el valor de `a` el rang és `2` ja que: $$ \begin{vmatrix} 1 & 1\\\ 2 & -1\end{vmatrix}= -2-2=-4 \ne 0 $$ Matriu `2`x`2` formada pels coeficients de les `x` i les `z`. $$ \begin{vmatrix} 1 & 2a & 1\\\ 2 & 3 & -1\\\ 4 & -1 & -a \end{vmatrix}=4a^2-11a-15=0 $$ `a=(11\pmsqrt(121+240))/8=(11\pm19)/8 => a_1=-1` i `a_2=15/4` O sigui, si `a_1=-1` o `a_2=-15/4` el rang de la matriu del sistema és `2`. Ara calcularem el determinant de la matriu ampliada en cada cas. `a_=-1` $$ \begin{vmatrix} 1 & -2 & 2\\\ 2 & 3 & 2\\\ 4 & -1 & 6 \end{vmatrix}=18-16-4-(24-2-24)=-2+2=0 $$ Rang matriu ampliada també és `2`. Com els rang són iguals el sistema és compatible i com el nombre d'incògnites és `3` és indeterminat i la recta està continguda en el pla. `a_2=15/4` $$ \begin{vmatrix} 1 & 15/2 & 2\\\ 2 & 3 & 2\\\ 4 & -1 & 6 \end{vmatrix}=18+60-4-(24-2+90) = -38 \ne 0 $$ Rang matriu ampliada és `3`. Com els rang són diferents el sistema és incompatible i com el nombre d'incògnites és `3` és incompatible, són estrictament paral·leles.