|
5-Considera els punts `P(1,1,-1)`, i `Q(2,1,1)` i `R(-2,-1,1)` i la recta `r:(x-1)/2=(y-3)/2=(z+1)/3`. Troba els punts `S` de la recta `r` que fa que el volum del tetraedre de base el triangle `PQR` i l'altre vèrtex al punt `S` sigui `6 u^3`. Recordem que el volum d'un tetraedre es pot calcular calculant `1/6` del determinant (producte mixt) dormat per tres vectors que defineixen el tetraedre. El tres vectors poden ser els que van de `\vec(PQ)=(1,0,2)`, `\vec(PR)=(-3,-2,2)` i el que va de `\vec(PX)`, de `P` a qualsevol punt `X` de la recta `r`. $$ \begin{cases}x=1+2\lambda\\ y=3+2\lambda\\ z=-1+3\lambda\end{cases} $$ `\vec(PX)=(1+2lambda-1,3+2lambda-1,-1+3lambda-(-1))=(2lambda,1+2lambda,3lambda)` $$ Volum=\frac{1}{6}|\begin{vmatrix} 2\lambda & 2+2\lambda & 3\lambda\\\ 1 & 0 & 2\\\ -3 & -2 & 2 \end{vmatrix}|=6 $$ `|-6lambda-12-12lambda-(-8lambda+4+4lambda)|=36` `|-14lambda-16|=36` $$ \begin{cases}-14\lambda_1-16|=36 => \lambda_1=\frac{52}{-14}=\frac{-26}{7}\\ \\ 14\lambda_2+16=36 => \lambda_1=\frac{20}{14}=\frac{10}{7}\end{cases} $$ `\lambda_2=10/7 => (1+20/7,3+20/7,-1+30/7)=(27/7,41/7,23/7)` |