(2022-setembre-3-4)- a) Considereu la funció $$ f(x)=\begin{cases} ln(x) \text{, si } x \in (0,e)\\ \\ ax+b \text{, si } x \in [e,4) \end{cases} $$ , on `a` i `b` són nombres reals. Trobeu el valor de `a` i de `b` per tal que la funció sigui contínua i derivable a l’interval `(0, 4)`. [1,25 punts] b) Calculeu la funció `g(x)` que satisfà `g'(x)=x^3/(9x^4+1)` i que passa pel punt `(0, –1)`. [1,25 punts] SOLUCIÓ: a): Tenim una funció definida a trossós, una `ln(x)` que és contínua i derivble pels positius, en particular a l'interval `(0,4)` i un polinomi que és contínu i derivable per tots els `R`. Per la qual cosa l'únic lloc on cal que també sigui així és en la frontera, `e =>` `f(e)^(-) =ln(e)=1` i `f(e)^(+)=a·e+b => ae+b=1` I ha de passar el mateix amb les derivades: $$ f'(x)=\begin{cases} 1/x \text{, si } x \in (0,e)\\ \\ a \text{, si } x \in (e,4) \end{cases} $$ `f'(e)^(-) =1/e` i `f(e)^(+)=a => a=1/e` Agafant la primera equació que ens ha sortit `1/e·e+b=1 => 1+b=1 => b=0` $$ f(x)=\begin{cases} ln(x) \text{, si } x \in (0,e)\\ \\ \frac{x}{e} \text{, si } x \in [e,4) \end{cases} $$ b) Cal calcular la integral de la funció que ens donen: `g(x)=\int x^3/(9x^4+1) dx` Podem fer el canvi `(9x^4+1)=t => 36x^3 dx =dt => x^3 dx =dt/36` `g(x)=\int x^3/(9x^4+1) dx= \int dt/(36t)=1/36 ln(t) + C = ln(9x^4+1)/36+C` Com `g(0)=-1 => ln(1)/36+C=-1 => 0/36+C=1 => C=-1` `g(x)=ln(9x^4+1)/36-1`