2. (2009-juny-4) 6. Siguin r i s dues rectes de l’espai les equacions respectives de les quals, que depenen
d’un paràmetre real b, són les següents: , a) Trobeu el punt de tall de la recta r amb el pla d’equació x = 0 i el punt de tall de la recta s amb aquest mateix pla. a) Punt de tall
x = 0 y + 3z = 1 Solució: y = -2 Punt de tall (0, -2, 1) a') Punt de tall
x = 0
0 = y - b Punt de tall (0, b, -1)
b) Per trobar el vector director de la primera recta podriem trobar les equacions paramètriques o bé calcular el producte vectorial dels dos vectors associats dels dos plans que defineixen aquesta recta. Ho farm de la segona manera: (-1, 3 - 5b, 2b - 1) Per trobar el vector director de la segona, és més fàcil, senzillament cal agafar els 3 denominadors de l'equació continua. (1, b+1, -1)
c) Per trobar la posició relativa de les dues rectes ho podriem fer troban l'equació general de la segona recta i estudiar el sistema de 4 equacions amb 3 incògnites resultant. Però també ho podem fer d'una altra manera podem veure quina relació hi ha entre els dos vectors directors de les dues rectes i el vector PQ, sent P un vector de posició de la primera recta i Q un vector director de la segona recta. Com a P agafem el punt (0, -2, 1) trobat en l'apartat a I Q agafem el punt (0, b, -1) trobat en l'apartat a'. PQ = (0, b, -1) - (0, -2, 1) = (0, b+2, -2) Anem a discutir el rang de la matriu formada per aquests vector i els dos vectors directors:
El rang d'aquest matriu com a mímin és dos ja que si agafem la matriu 2 x 2 amb els extrems:
Cerquem quan no serà 3 el rang.
I mirem quan això serà 0 (b + 2) · (2b - 2) + (4 - 4b)·(-2) = 0 b2 - 3b + 2 = 0 b = 1 c1) Si b diferent de 1 i 2 aquest últim determinant és diferent de 0 la qual cosa vol dir que les dues rectes es creuen. c2) Si b = 1 Els vectors directors (-1, 3 - 5b, 2b - 1) Són paral·lels per la qual cosa les dues rectes són paral·leles c3) Si b = 2 Els vectors directors (-1, 3 - 5b, 2b - 1) No són paral·lels. Ho sigui les dues rectes es tallen en un punt. |