"Las formas que vemos en la naturaleza, y las formas geométricas tradicionales de la matemática, no siempre guardan semejanza entre ellas.
Algunas veces la guardan. En 1610, Galileo dijo que la matemática es el lenguaje de la naturaleza, y <<sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas>>.
Su espectacular éxito en dinámica explica su punto de vista. Pero en 1726 Jonathan Swift ridiculizó tal filosofía en Voyage to Laputa de Gulliver: <<Si ellos elogiasen la belleza de una mujer, o cualquier otro animal, la describirán mediante rombos, círculos, paralelogramos, elipses y otros términos geométricos>>.
Estas citas encuentran un eco actual en una afirmación muy repetida por Benoît Mandelbrot en The Fractal Geometry of Nature: <<Las nuves no son esferas, las montañas no son círculos, y la corteza no es lisa, ni el relámpago viaja en línea recta>>. A diferencia de sus predecesores, Mandelbrot - un investigador de IBM en Yorktown Heights, que ahora ha alcanzado puestos de relevancia en Yale y Harvard - decidió hacer algo al respecto. Desde finales de los años cincuenta hasta comienzos de los setenta, desarrolló un nuevo tipo de matemática capaz de describir y analizar la estructura irregular del mundo natural, e inventó un nombre para las nuevas formas geométricas involucradas: fractales."
STEWART, Ian . ¿Juega Dios a los dados?

Sembla impossible romandre indiferent després de llegir aquest fragment. Totes les formes geomètriques a què estem acostumats: triangles, cercles, quadrats,... poden ser útils en problemes matemàtics, però sembla que a la realitat, passen a un segon terme davant un nou tipus de geometria.
Aquest fet ens suscita tot un munt de preguntes com per exemple: de què ens serveix l'estudi de totes les figures geomètriques, si a la realitat no hi trobem cap? Per què mai hem sentit parlar d'aquesta geometria que descriu els fenòmens de la natura? Potser no es considera en igual importància? Per què s'obvia en l'ensenyament? , i la més important : En què es basa?
Va ser a arrel d'això quan, davant la nostra inquietud, i aprofitant que ens trobàvem en el moment de triar el tema per al treball de recerca, vàrem decidir investigar en què consisteix aquest tipus de geometria de la que fins al moment, no havíem tingut noticies.
En les següents pàgines presentem el resultat de la nostra investigació, la qual, desprès de moltes recerques, hem decidit centrar-la en tres fractals concrets, i on la part pràctica més important recau en l'elaboració de programes informàtics capaços de generar aquests conjunts geomètrics.
Us animem a llegir-ho, i sobretot a no desistir, ja que entenem, que si les matemàtiques no és una assignatura per què teniu especial interès, us semblarà, de ben segur, força pesat. Tot i això creiem que és important, si més no, adonar-nos que no tot són figures tan perfectes com un cercle o un quadrat, sinó que la complexitat de les figures reals va molt més enllà.


Fractals: una nova geometria

La geometria tradicional, l'euclidiana, és la branca de la matemàtica que s'encarrega de les propietats i les mesures dels elements tals com: punts, línies , plans i volums.
La geometria euclidiana també descriu els conjunts formats per la reunió dels elements esmentats, les combinacions dels quals formen figures o formes específiques.

D'altra banda, les formes trobades a la natura, com muntanyes, zones costeres, sistemes hidrogràfics, núvols, fulles, arbres, vegetals, flocs de neu, i un nombre infinit d'altres objectes no són fàcilment descrits per la geometria tradicional.
Serà la geometria fractal la que ens doni una descripció i una forma de model matemàtic per les aparentment complicades formes de la natura.

Les diferències fonamentals entre els dos tipus de geometria són:

Euclidiana Fractal
Tradicional (més de 2000 anys) Moderna (aprox. 10 anys)
Dimensió sencera Dimensió fractal
Tracta objectes fets per l'home Apropiada per a formes naturals
Descrita per fórmules Algoritmes recursius (iteració)


Etimologia de la paraula "fractal"

La paraula fractal va ser encunyada pel matemàtic francès Benoît Mandelbrot, cap a la dècada dels 70, derivant-la de l'adjectiu llatí fractus. El corresponent verb llatí: frangere, significa trencar, crear fragments irregulars.

Però...què són els fractals?

Els fractals són estructures matemàtiques caracteritzades per:
Tenir una estructura complexa i detallada a qualsevol escala. Al mirar molt de prop els objectes normals (no-fractals) apreciem fins l'últim detall, ja que estan definits fins a una certa escala, és a dir, arribem a un punt en què ja està tot a la vista i no revela més. En canvi els fractals són objectes infinitament detallats; com més ens apropem més detalls ens mostren, de forma indefinida.
És per això que s'acostuma a dir que un fractal és un objecte rugós: els seus límits són irregulars. A més pot dividir-se en parts que són una còpia reduïda del total. I amb cada part es pot procedir recursivament dividint-la, de manera que sempre obtenim formes similars a les anteriors. Així, si observem dues fotografies d'un objecte fractal amb escales diferents (una en metres i l'altra en mil·límetres, per exemple) sense res que ens doni referència per saber quin és el tamany, ens resultaria difícil dir quina de les ampliacions es major, o si son distintes. Aquesta propietat és l'anomenada autosimilitud.

A banda d'això, la característica decisiva per anomenar-los fractals és la seva dimensió fraccionària. No tenen dimensió u, dos o tres, com la majoria d'objectes als quals estem acostumats, sinó que tenen usualment una dimensió que no és sencera, com per exemple: 1,55 (aquesta característica és aprofundida a l'apartat "dimensió fractal")

La raó per la qual un terme matemàtic com aquest, ha traspassat les fronteres dels llibres d'àlgebra o geometria és clarament visual. Alguns algoritmes matemàtics generen imatges espectaculars. Aquestes imatges es coneixen també com fractals.
Per tant, el plantejament és atractiu per dues raons: d'una banda per la senzillesa i per la seva capacitat per ser computeritzat amb relativa facilitat (com veurem més endavant, en l'elaboració dels programes), i d'altra per donar models per representar i descriure algorítmicament una gran varietat de formes naturals.