Activitat 4: La inequació de segon grau amb una incògnita.

Introducció

Aquesta última activitat s'assembla bastant a l'anterior i ens permetrà resoldre inequacions de segon grau (és a dir, apareixent una lletra elevada al quadrat) a partir d'una representació gràfica, en aquest cas haurem de fer prèviament el gràfic de la seva funció associada que serà una paràbola.

De fet, per aquest mateix mètode també podríem resoldre qualsevol inequació de grau major a dos.

Problema

Imaginem que ens demanen calcular tots els números del món que compleixen que ells més el seu quadrat és major que el número 2. Si aquest enunciat el transformem a llenguatge de lletres (algebraic) ens estaran demanant que cerquem tots els números x del món complint la relació x+x²>2. És a dir, arribem a una inequació i per resoldre-la hem de seguir els mateixos passos que si fos de primer grau, és a dir:

Primer hem de deixar totes les coses a un costat de la desigualtat: x+x²-2>0.

I llavors pensant en la funció y= x+x²-2, el problema inicial es redueix, com en l'activitat tercera, a veure quan y>0 (perquè fixa't que y i x+x²-2 és el mateix). És a dir, el problema es transforma a veure quins números he de posar en comptes de la lletra x perquè y>0. És a dir, he de buscar els punts (x,y) que compleixen que y>0 (segona coordenada positiva). En altres paraules, seguint la dinàmica de la segona activitat d'aprenentatge sabem que hem de buscar els punts (x,y) que estan dibuixats per sobre de l'eix de les abscisses. Així si vull resoldre el problema utilitzant les prestacions que em proporciona la calculadora Wiris, haurem de fer-li dibuixar la gràfica de la funció y= x+x²-2 i mirar els seus punts que queden situats per sobre de l'eix de les abscisses. De fet a nosaltres, com abans, no ens interessarà tot el punt (x,y) sinó només la primera coordenada, la x, per això a l'hora de donar la solució de la inequació no pintarem tot el punt (x,y) sinó que només pintarem la x i ho farem sobre de l'eix d'abscisses. Si obres la finestra posterior tens fet tot això que t'acabem de comentar. Com a solució tant surten els números més petits que -2 com els més grans que 1:

Observació: La calculadora Wiris ens calcula la solució de la inequació anterior de manera directa:

De la mateixa manera seríem capaços de resoldre la inequació: -2x+6>x². Observa que com a solució apareixen els números compresos entre els dos que tallen l'eix de les abscisses, si vols saber quins són clica a la icona Valor i acosta't a aquests punts. Veuràs que són -arrel quadrada de 7 menys 1 i arrel quadrada de 7 menys 1:

O directament amb la Wiris:

També ens podem proposar de resoldre: 10-3A A². Fixa't que com a solució apareixen els nombres compresos entre -5 i 2, agafant també tant el -5 i el 2:

O ràpid:

Un altre possible exemple seria la resolució de la inequació: 2B²<-5B+3. Clica i veuràs que la resposta són els números compresos entre -3 i 0.5:

També es pot resoldre fent:

Observació primera: Al igual que vam comentar en l'activitat d'aprenentatge anterior també podries haver resolt totes les inequacions anteriors, passant-ho tot a l'altre costat de la desigualtat. Evidentment el resultat final no varia. Fixa't en la primera inequació x+x²>2 resolta d'aquesta altra manera, és a dir, deixant-la escrita de la forma 0>-x-x²+2. Tornen a aparèixer tant els nombres menors que -2 com els majors a 1:

Observació segona: Igualment que vam comentar en l'activitat tercera, si no saps precisar els punts de tall de la paràbola amb l'eix de les abscisses, ho pots fer de les dues maneres explicades allà. Practica-ho aquí.

Si vols pots resoldre altres inequacions inventades per a tu mateix, i a partir de la següent finestra sabràs si les has resolt bé o no. Compte el que poses en l'espai buit que se t'ofereix. De fet és el mateix programa que hi havia al final de tot de l'activitat d'aprenentatge tercera:

Observació:

Si la funció amb que estàs treballant no té per domini tots els nombres reals, millor que utilitzis aquest altre programa, si bé la seva execució és força lenta (de fet és el mateix que a l'activitat tercera) :

Per tornar a l'índex d'aprenentatge.