Información general

• Los sonidos simples funcionan mejor para estos experimentos. Cuando más parecido sea el sonido al que corresponde a una onda senoidal, más simple será su Análisis de Fourier y más evidente resultará la frecuencia fundamental. Se recomienda emplear órganos electrónicos baratos seleccionando el sonido tipo "flauta", sin vibrato. Instrumentos tales como flautas o trompetas también funcionan bien; se debe mantener el tono constante al analizar cada nota. 
• En estos experimentos los estudiantes descubrirán regularidades en las frecuencias de las notas de una escala musical. Al menos hay dos regularidades que pueden descubrir. Si se concentran en la escala diatónica (teclas blancas, empezando con el Do), deberían descubrir que todas las notas tienen relaciones simples de frecuencias respecto la de la primera nota: 


Re: 1 + 1/8 = 9/8 La: 1 + 2/3 = 5/3

Mi: 1 + 1/4 = 5/4 Si: 1 + 7/8 = 15/8

Fa: 1 + 1/3 = 4/3 Do: 2 = 2/1

Sol: 1 + 1/2 = 3/2

Un instrumento musical afinado con estas relaciones tiene afinación justa.

• Si estudian todas las notas de la escala cromática (teclas blancas y negras empezando con Do), los estudiantes pueden descubrir que la relación de la frecuencia de una nota con la de la anterior es siempre la misma. Muchos instrumentos musicales se afinan de esta manera y esta afinación se denomina temperada. Un instrumento afinado de esta manera es más fácil de usar en diferentes tonalidades y permite transportar fácilmente una composición de una tonalidad a otra. Cada nota tiene una frecuencia 2^1/12= 1,0594 veces mayor que la nota anterior. El intervalo de una nota a la siguiente se llama semitono. El intervalo de una nota hasta la misma nota en la octava siguiente contiene 12 semitonos.
• La afinación temperada es un compromiso que funciona bien. Permite recorrer una octava de la escala cromática en 12 pasos iguales lo que supone muchas ventajas para los músicos. En la afinación temperada las frecuencias que corresponden a las notas de la escala diatónica son muy parecidas a las que les corresponden en la afinación justa.
• Algunos instrumentos se afinan con afinación justa pero se han de usar en una tonalidad determinada. Por ello, la afinación de la inmensa mayoría de instrumentos modernos es temperada.
• La música se basa en relaciones. La misma relación de frecuencias provoca la misma sensación, tanto si ocurre en un rango de frecuencias bajas como de frecuencias altas.
• La tabla que se da como ejemplo contiene una columna adicional que se ha llamado "Relación respecto C₄ para afinación justa": Es la relación que se esperaría si el instrumento, en vez de tener afinación temperada tuviera afinación justa.
• En la discusión no se han tenido en cuenta los efectos fisiológicos del sistema auditivo en la afinación. Estos efectos fisiológicos hacen que, a veces, se prefieran octavas algo estiradas, es decir, con una relación de frecuencias algo mayor de 2.

Respuestas a las Cuestiones iniciales

• Frecuencia
• Amplitud
• Puede haber distintas respuestas. Puede ocurrir que algún alumno en un grupo sepa música y sepa qué se debe esperar en el experimento.

• Las diferencias en las frecuencias de las notas aumentan gradualmente. No se ve una regularidad. 
• Él valor de cada relación es prácticamente 1,06 ó, aproximadamente 2^1/12.
• Las notas de la escala diatónica tienen frecuencias cuya relación con la frecuencia de la nota C₄ se pueden expresar como:


Do: 1 = 1/1 Sol: 1 + 1/2 = 3/2

Re: 1 + 1/8 = 9/8 La: 1 + 2/3 = 5/3

Mi: 1 + 1/4 = 5/4 Si: 1 + 7/8 = 15/8

Fa: 1 + 1/3 = 4/3 Do: 2 = 2/1
 

• Cada nota sucesiva de la escala cromática incrementa su frecuencia en un factor 1,06
• Frecuencias: Do₃= mitad de la frecuencia de Do₄; Do₆= doble de la frecuencia de Do₅; Re₅= doble de la frecuencia de Re₄
• Las frecuencias de dos notas que forman una "tercera" están en la relación 5:4; las "octavas" corresponden a una relación 2:1; Fa₄ y Do₄ son una "cuarta" y su relación es 4:3.

• Si el experimento se hace empezando con otra tecla, las notas que corresponden a la escala diatónica en esta nueva tonalidad deben modificarse con los sostenidos o bemoles correspondientes. 
• La gráfica corresponde a los datos de la tabla que se ha dado como ejemplo. La curva que ajusta a los datos es una exponencial f= 247 e^0,0577n. Es interesante constatar que e^0,0577 =1,0594 =2^1/12. Una función 2^{1/12 n} doblará su valor a cada valor de n múltiplo de 12, tal como sucede cada 12 teclas del órgano.





 
• Quizá los estudiantes podrán encontrar otro instrumento preparado para tocar en una sola tonalidad, con afinación justa. Algunos "instrumentos" formados por tubos metálicos que se golpean están afinados de este modo.
• Internet puede resultar útil para encontrar las relaciones de frecuencias que corresponden a instrumentos de otras culturas.

Introducción

• La escala musical que es usa en la música occidental se originó en la antigua Grecia. Originalmente, una escala tenía siete notas. Esta es la escala diatónica e incluso los que no saben música conocen los nombres de las notas: do-re-mi-fa-sol-la-si-do. Esta escala corresponde a las notas sucesivas de las teclas blancas de un piano, empezando por el Do. La octava tecla vuelve a ser un Do y, por ello, este rango de notas se llama octava.
• Al transcurrir el tiempo se añadieron cinco notas más a la escala musical occidental. Globalmente, esta escala de 12 notas se llama escala cromática. En una escala que empiece en la tecla Do de un piano, las 5 notas extra corresponden a las teclas negras.
• Las escalas musicales están estrechamente relacionadas a las matemáticas. En este experimento usarás un micrófono conectado a una interface, que a su vez está conectada a un ordenador, para registrar las formas de la ondas sonoras de las notas musicales. El ordenador hará el análisis matemático llamado Análisis de Fourier para determinar la frecuencia fundamental del sonido. Deberás medir las frecuencias de todas las notas de la escala cromática y buscar el modelo matemático que corresponde a estas frecuencias.
• Las frecuencias de dos notas que al sonar al mismo tiempo dan un sonido agradable, normalmente, tienen una relación matemática especial. En esta experiencia también estudiarás las relaciones matemáticas que hay en los intervalos que son usuales en música.


Para esta experiencia se recomienda un órgano electrónico, pero se pueden usar otros instrumentos.

Objetivos

• Determinar las frecuencias de las notas de la escala musical.
• Examinar las diferencias y las relaciones entre estas notas.
• Estudiar los modelos matemáticos que se usan en las escalas.

Cuestiones Iniciales

• ¿Qué concepto físico está más estrechamente relacionado con lo que los músicos conocen como altura del sonido? 
• ¿Qué concepto físico está estrechamente relacionado con la intensidad sonora de una nota musical?
• Elabora una hipótesis sobre la relación entre las frecuencias de las notas de la escala diatónica (do-re-mi...). ¿Crees que cada nota tiene un número concreto de Hz por encima de la nota precedente? ¿Crees que cada nota sucesiva tiene una frecuencia más alta en un factor constante respecto la nota precedente? ¿Qué sucede con las frecuencias en la escala cromática completa?

• Montaje general

• Conecta el micrófono a la entrada 1 de la interface.

• Colocación de los sensores

• Coloca el micrófono cerca del altavoz del órgano.

• Calibración de los sensores

1. No es necesario un calibrado. Si la captación que se va a realizar muestra una señal poco intensa se debe acercar el micrófono al altavoz.

• Parámetros de la captación

• Prepara la captación activando las opciones del menú: Captación/Captación modo PC/Rápida. Cuando aparezca la ventana para definir los parámetros de la captación, selecciona:
• 1000 muestras, que corresponden a una captación con una duración total de 0,05 s. 
• Captación inmediata

• Ejecución y tratamiento matemático inicial

• Aprieta la primera tecla que vas a estudiar: el Do medio (su frecuencia debería ser de 262 Hz, aproximadamente). En un teclado de un pequeño órgano esta puede ser la primera nota. Mientras suena la nota aprieta el botón "Aceptar" para hacer la captación. 
• Utiliza la opción: Útiles/Análisis de Fourier, y selecciona el número de armónicos que se calcularán (256). Ajusta el cursor en la posición en la que empezará el Análisis de Fourier de los datos. Con la opción: Representación/Punto a Punto podrás medir el valor de la frecuencia más baja en el análisis, que se denomina frecuencia fundamental. Anota el valor en la tabla de datos.
• Repite los pasos 4-6 para cada nota de la Tabla de Datos. Las notas 1 a 12 de la figura 2 corresponden a una octava completa. Las notas 13, 17, 20 y 25 de la figura corresponden a octavas superiores. Si no sabes música la Figura 2 te será útil para localizar las notas que se deben analizar (en la tabla de datos cada nota tiene el número que le corresponde en el teclado).

Análisis de Datos

• Calcula la diferencia entre las frecuencias de una nota y de la anterior (excepto la primera y las tres últimas de la tabla). Anota tus resultados en la columna D f (Hz) de la tabla de datos. ¿Cómo son los valores que has calculado, a lo largo de la octava?
• Calcula el cociente (relación) entre cada frecuencia y la anterior (excepto la primera y las tres últimas de la tabla). Anota tus resultados en la tabla de datos. ¿Cómo son los valores que has calculado, a lo largo de la octava?
• Completa los espacios que no están sombreados de la última columna de la Tabla de Datos con la relación de la frecuencia de la nota correspondiente con la frecuencia de la nota Do₄. 
• Estudia los datos que corresponden a las teclas blancas del órgano (escala diatónica). Estas notas están en letra negrita en la Tabla de Datos. Trata de identificar alguna regularidad entre las relaciones de sus frecuencias. Las relaciones de la última columna pueden reducirse a relaciones entre números enteros pequeños. ¿Cuales serían las relaciones de números enteros correspondientes? (por ejemplo, la relación 1,33 corresponde al cociente 4/3).
• Si se consideran todas las notas ¿qué regularidad hay entre notas sucesivas? Justifícalo a partir de los datos de tus experimentos.
• Basándote en tus datos haz una predicción de las frecuencias de las notas: Do₃, Do₇ y Re₅.
• Las notas Mi₄ y Do₄ constituyen una "tercera" musical y el sonido conjunto de las dos notas resulta agradable. Lo mismo ocurre con el sonido de Sol₄ y Do₄ que son una "quinta", y con Do₅ y Do₄ que son una "octava". ¿Qué relación de números enteros caracteriza estos intervalos musicales? ¿ Crees que todas las terceras, quintas u octavas tendrán la misma relación de números enteros?

• Repite las mismas medidas empezando en una tecla distinta de Do₄, calculando todas las relaciones respecto esta nueva tecla.
• Si se numeran las teclas como en la figura 2, se puede hacer una gráfica de la frecuencia en función del número correspondiente a la tecla. Ajusta una curva a estos datos. ¿Qué ecuación corresponde a esta gráfica? ¿Cómo interpretas esta ecuación?
• Investiga los distintos tipos de afinación de instrumentos musicales: Justa, Temperada, Pitagórica, Diatónica. Estudia las frecuencias de un instrumento musical que utilice un sistema de afinación completamente distinto de estos, como los del Sudeste de Asia.