2. Introducció al triangle

2.1. Etimologia

La paraula triangle o d'altres paraules amb forma similar són les utilitzades en la major part de les llengües indoeuropees per a referir-se al concepte que estudia aquest treball. El mot procedeix del francès antic triangle (s. XIII), i aquest del llatí triangulum, de l'adjectiu triangulus: tri- "tres" + angulus "cantonada, angle".

És curiós comparar aquesta etimologia amb la de quadrilàter (del llatí quadrilaterus: quadri- "quatre" + latus "costat"), que per un concepte anàleg es refereix als costats en comptes de als angles. Podria ser que aquest ús sigui herència de la importància que tenen les relacions entre els costats en la classificació dels quadrilàters (paral·lelograms, trapezis), mentre que en l'estudi dels triangles prenen més importància els valors dels seus angles (agut, recte o obtús). D'altra banda, la etimologia de triangle també és diferent de la de pentàgon, hexàgon, heptàgon, polígon, o la resta de n-gons, que tenen l'origen en el grec antic gonia "angle". Per referir-se al triangle, els grecs sí que utilitzaven una de les seves formes genuïnes (com trigonon), però la singularitat d'aquest polígon i del quadrilàter ha fet que aquestes paraules evolucionessin de manera diferent. De totes formes, en català, juntament amb la paraula triangle, d'arrel llatina, utilitzem la paraula trigonometria, d'arrel grega.

2.2. Definicions

En el lèxic comú, un triangle és una “figura formada en unir tres punts no alineats amb tres segments de línia recta”. La idea matemàtica de triangle és tanmateix una figura abstracta, és producte de la raó i es pot definir a partir d’axiomes.
 
En el camp de la geometria, s’han anat succeint diverses definicions cada vegada més rigoroses i formals. El primer en donar-ne una va ser Euclides d’Alexandria, que en el primer volum de la seva obra Els Elements, definició 19, escriu: 
“Figures rectilínies són aquelles que estan formades per línies rectes. Trilàters les formades per tres, quadrilàters les formades per quatre i multilàters les formades per més de quatre línies rectes.”
Aquesta definició es completa amb les definicions anteriors que fa de recta, línia i punt.
 
El sistema axiomàtic de geometria definit per Euclides inclou un postulat, el cinquè, que es pot formular com que per un punt exterior a una recta hi passa una sola recta paral·lela a la primera. Aquesta és la base de l’anomenada geometria euclidiana, que dóna lloc a les figures planes, i a partir d’aquest tipus de geometria es desenvolupa aquest treball. Es tracta, per tant, el concepte de triangle pla. Altres definicions anàlogues s’han aportat per a geometries no euclidianes, com l’esfèrica o la hiperbòlica, però no les tindrem en compte en aquest estudi.
 
Actualment, una definició general acceptada de triangle podria ser: 
“Un triangle és una figura plana, tancada i amb tres costats”. 
Tot i així, segons el context, la mateixa paraula també es pot per referir a les rectes que formen la figura o bé a la superfície que cobreix. 

2.3. Convencions d'escriptura

En aquest treball s'aplicaran les convencions d'escriptura generals de la geometria, sense extremar-ne la dificultat, per tal que pugui ser entès per qualsevol persona que hagi rebut una formació en matemàtiques de nivell d'ESO.

Els punts importants d'una construcció geomètrica reben per nom alguna lletra majúscula de l'alfabet llatí (P). Per punts correlacionats, s'utilitzen lletres consecutives en l'alfabet (P, Q, R), i per punts que comparteixen un gran nombre de característiques pot utilitzar-se la mateixa lletra amb diferents subíndexs (P1, P2). Els segments s'anomenen pels punts dels seus dos extrems (PQ) i les rectes s'escriuen amb una lletra minúscula (r). Els angles es poden anomenar amb una lletra grega minúscula (α) o bé amb el nom dels tres punts que el formen sota d'un barret (); en aquest segon cas, el punt que s'escriu al mig és el punt on es tallen les dues rectes que formen l'angle.

Un triangle rep el nom dels seus tres vèrtexs (ABC), ordenats en el sentit contrari del de les agulles del rellotge, com es fa en la resta dels polígons. Els tres vèrtexs d'un triangle solen anomenar-se A, B i C; i els angles interns corresponents, α, β i γ. Finalment, les rectes que contenen els costats del triangle reben la mateixa lletra que el vèrtex oposat, però minúscula (a, b i c).

2.4. Propietats elementals

El triangle és, d'entre tots els polígons amb superfície, el més simple: és el que té menys vèrtexs i menys costats. No se'n poden modificar els angles sense modificar els costats, i viceversa. També és l'únic que no té diagonals. La resta de polígons es poden dividir en un nombre finit de triangles, mitjançant un procés que anomenem triangulació. Això és útil per calcular àrees i distàncies d'altres figures geomètriques que no tenen fórmules específiques per a fer-ho. A continuació es presenten les propietats elementals més representatives del triangle.

En general, la concavitat es dóna quan alguna diagonal passa per l'exterior de l'àrea que cobreix un polígon. El triangle, en no tenir diagonals, té la propietat de ser sempre convex.

La propietat de la desigualtat triangular afirma que, per a tot triangle, la longitud d'un dels costats mai no pot superar la suma de les longituds dels altres dos: a < b + c  ;  b < a + c  ;  c < a + b.

La suma dels angles interns d'un triangle és igual a dos angles rectes, és a dir: 180 graus, 2π radiants o un angle pla. Una construcció que demostra aquest fet, apareguda originalment a Els Elements d'Euclides, consisteix a fer una paral·lela a un costat que passi pel vèrtex oposat. Llavors, coneixent que una secant que talla dues rectes paral·leles ho fa amb el mateix angle, es pot deduir que els tres angles que queden sumant-ne un de pla en aquest vèrtex són precisament α, β i γ, els angles interns del triangle.



L'àrea del triangle es pot calcular a partir de diferents fórmules. La més coneguda diu que l'àrea és igual a la meitat de la base (b) per l'altura (h): A = b*h / 2. En la imatge següent es mostra com a partir d'un triangle, multiplicant per dos la seva àrea, es pot construir un rectangle. Com que l'àrea del rectangle és igual a la base per l'altura, i l'àrea del triangle ha de ser la meitat de la del rectangle, llavors l'àrea del triangle és igual a la meitat de la base per l'altura.


Altres maneres de calcular l'àrea s'expliquen als apartats 3.2.6. Fórmula d'Heró i 4.8. Càlcul de l'inradi i el circumradi.

2.5. Classificació

Els triangles es poden classificar segons els costats o segons els angles en tres tipus diferents en cada cas.

Segons la mesura dels costats:
 Segons la mesura dels angles interns:
 Donat que la suma dels angles és igual a un angle pla, no hi pot haver més d'un angle recte o obtús en un triangle.

2.6. Criteris d'isometria i de semblança

Es diu que un triangle és isomètric a un altre quan les mesures dels costats del primer són les mateixes que les del segon. En general, una figura és isomètrica a una altra si per passar d'una a l'altra és suficient amb utilitzar transformacions que mantenen les mesures dels costats, com la translació, la rotació o la simetria. Per tal què dos triangles siguin isomètrics és suficient que compleixin alguna de les següents condicions:
 Es diu que un triangle és semblant a un altre quan els valors dels angles del primer són els mateixos que els del segon. En general, una figura és semblant a una altra si per passar d'una a l'altra és suficient amb utilitzar transformacions que mantenen els valors dels angles, com la translació, la rotació, la simetria o l'homotècia. Per tal què dos triangles siguin semblants és suficient que compleixin algun dels criteris d'isometria o bé alguna de les següents condicions: