6. Circumferència dels 9 punts i generalitzacions
6.1. Circumferència dels nou punts
La
circumferència dels 9 punts (n)
és molt
notable en un triangle, perquè encara que una circumferència ja queda
determinada amb només tres punts, en aquesta n’hi pertanyen fins a nou,
i són senzills de localitzar. És tangent a la
circumferència
inscrita i a les circumferències exinscrites, com es pot observar en la
representació en GeoGebra. És el lloc geomètric equidistant de l'ortocentre i
de la circumferència circumscrita. A més, té moltes altres
propietats
especials, sobretot de relacions entre àrees, que sobrepassen
els
límits
d’aquest
treball.
A principis segle XIX
diversos
matemàtics van demostrar que els tres punts de tall de les altures amb
els
respectius costats o les seves prolongacions
(Pa, Pb i Pc)
i els tres punts mitjans
de cada
costat (Ma, Mb i Mc)
formaven una única circumferència. El francès Olry Terquem va
ser el
primer en
utilitzar el nom circumferència dels nou
punts, en adonar-se que, a més, els punts mitjans dels
segments que uneixen
l’ortocentre amb cadascun dels vèrtexs (Qa, Qb
i Qc) també pertanyen a aquesta
circumferència.
S’anomena centre dels nou punts (N) al centre d'aquesta circumferència.
Les seves propietats són:
- Se situa en el punt mitjà de cadascun dels
segments MaQa, MbQb i McQc.
- Pertany a la recta d’Euler i, dins d'aquesta, es
compleix la relació de distàncies següent: HG = 4 NG.
- Donat
que sabem, per la demostració de la
recta d'Euler, que HG =
2 GO, quan igualem aquesta equació amb
la propietat anterior (punt 2),
obtenim GO = 2 NG.
6.2. Cònica dels nou punts
Ha quedat constància que Bertrand Russell el 1893
i Henry Frederick Baker el 1922 ja coneixien la generalització cònica
de la circumferència dels nou punts. Tot i així, fou apartada de
l'ensenyament i anà quedant a l'oblit. Michael de Villiers, professor de matemàtiques a
la Universitat de KwaZulu-Natal, Sudàfrica, la redescobrí i en trobà una nova
demostració l'any 2005.
De la mateixa manera que en la construcció del
cercle dels nou punts s'utilitzen les altures del triangle, per fer la
seva generalització s'utilitzen tres cevianes qualssevol que siguin
concurrents en un punt (P). Es poden trobar igualment els punts de tall
amb els costats o les seves prolongacions
(Pa, Pb i Pc), els punts mitjans dels
segments que uneixen el nou punt P amb cadascun dels vèrtexs (Qa, Qb
i Qc) i els tres punts mitjans
de cada
costat (Ma, Mb i Mc).
Encara que una cònica ja queda definida amb cinc
punts, si la definim amb cinc dels anteriors nou punts, la resta de
punts també hi pertany. A aquesta cònica l'anomenem cònica dels nou
punts (n') per a un punt de concurrència P donat. Té les següents
propietats:
- La cònica és una circumferència quan
P és l'ortocentre (vegeu 6.1. Circumferència
dels nou punts).
- La cònica és un el·lipse quan P
no és l'ortocentre i se situa:
- dins del triangle.
- fora del triangle, en la zona delimitada pels
angles oposats als angles interns del triangle.
- La cònica és una hipèrbola quan P se
situa fora del triangle, en la zona que no està delimitada pels angles oposats als angles interns del triangle.
- Quan P se situa en un costat o la seva
prolongació,
els nou punts se situen en dues rectes paral·leles i, per tant, no hi
ha
cap cònica que hi passi.
- Quan P se situa en un dels vèrtexs del
triangle, el peu de l'altura d'aquest vèrtex no queda definit. Els
altres vuit punts s'ajunten en tan sols quatre punts, i per
tant
no defineixen cap cònica. També es pot dir que hi ha infinites còniques
que passen per aquests punts.
Així doncs, es pot considerar que la
circumferència dels nou punts és només un cas particular d'aquesta
cònica.
El centre de la cònica (N') manté la primera
propietat del centre dels nou punts: se situa en el punt mitjà de cadascun dels
segments MaQa, MbQb i McQc. De
fet, el centre dels nou
punts és un cas particular del centre de la cònica.
Tot i així, la propietat de pertinència a la recta d'Euler no es manté,
com es pot veure en la següent representació en GeoGebra:
6.3. Generalització de la recta d'Euler
El 2005, Michael de Villiers, seguint amb les
seves investigacions, descobrí un nou teorema basant-se en la
cònica dels nou punts: el punt P, el centre de la cònica i el
baricentre pertanyen a una mateixa recta. A aquesta recta l'anomenà
recta d'Euler generalitzada (e'), ja que la recta d'Euler
n'és només un
cas particular. Tot i així, el circumcentre només pertany a la
recta generalitzada quan aquesta se superposa amb la recta d'Euler.
Dins de la recta d'Euler generalitzada, el centre
de la cònica dels nou punts manté la relació entre distàncies que
complia el centre dels nou punts: PG
= 4 N'G, on se substitueix l'ortocentre (H) pel punt P.