7. Triangles inscrits
S'anomena
triangle inscrit aquell que té els seus vèrtexs sobre el perímetre
d'una figura geomètrica. En aquest apartat tractarem només els
triangles que estan inscrits en un altre triangle.
En aquest apartat ens referirem als triangles inscrits en un triangle
de referència. Per extensió,
també considerarem un triangle inscrit aquell que pugui tenir alguns
dels seus vèrtexs a les prolongacions dels costats del triangle
original.
Donat un punt P i un triangle de referència ABC,
anomenem triangle
podal de P aquell que té els vèrtexs en els punts
d'intersecció entre els costats del triangle de referència i les
perpendiculars a aquests costats que passen per P.
Donat un punt P i un triangle de referència ABC,
anomenem triangle
cevià
de P aquell que té els vèrtexs en els punts d'intersecció entre els
costats del triangle de referència i les cevianes que passen per P.
7.1. Triangle òrtic
El triangle òrtic d'un triangle de referència ABC
és aquell que té els vèrtexs en els peus de les altures.
Propietats del triangle òrtic:
- És el triangle podal i el triangle cevià de
l'ortocentre.
- Quan el triangle de referència és agut, el
triangle òrtic és el triangle inscrit que té un perímetre menor.
- El seu circumcentre és el centre dels nou punts
del triangle de referència.
7.2. Triangle medial
El triangle medial d'un triangle de referència ABC és aquell que té
els vèrtexs en els punts mitjans dels costats.
Propietats del triangle medial:
- És el triangle podal del circumcentre.
- És
similar al triangle de referència, i tenen el mateix
baricentre.
Els seus costats en són la meitat i la seva àrea n'és una quarta part.
- La seva circumferència circumscrita és la circumferència dels nou punts del triangle de
referència. Per tant, el seu circumcentre també és el centre dels
nou punts.
- El seu ortocentre és el circumcentre del triangle
de referència.