Aquest exemple és la història de com es va iniciar un procés d'investigació sobre les fraccions equivalents a partir de diferents situacions del treball de l'aula.
L'Home que calculava
Una de les primeres situacions on sorgiren les fraccions equivalents fou en la lectura d'una novel·la sobre les matemàtiques. Ja hem parlat anteriorment del text setmanal i del seu funcionament. Durant el curs, algunes setmanes se'ls presenta la lectura d'un capítol de L'Home que calculava. Un dels primers capítols explica com de camí cap a Bagdad l'Home que calculava i el seu company es va trobar amb tres germans que s'estaven discutint per l'herència que els havia deixat el seu pare. El pare els havia deixat 35 camells, la meitat al germà gran, una tercera part al mitjà i la novena part al més petit. Per fer el repartiment havien de partir algun dels camells, cosa que era absurda, però no es posaven d'acord amb qui es quedava els camells. Quan li van explicar l'Home que calculava va dir que els ajudaria. Per començar els va regalar el seu camell i llavors ja en tenien 36 a repartir. Va fer els càlculs i al germà gran li varen tocar 18, al mitjà 12 i al petit 4. Els germans varen quedar molt contents perquè tots se'n van quedar un camell més dels que els tocava en els primers repartiments. Els sobraven dos camells, un era el de l'Home que calculava i l'altre se'l va quedar pel treball d'haver-los ajudat.
Després d'escoltar el capítol, van llegir-lo individualment i després van intentar explicar-lo (foto 1). Els textos que elaboraren no eren demostracions de perquè s'havia pogut resoldre així, sinó que eren textos descriptius. No utilitzaven gaire el llenguatge matemàtic tot i que s'havia explicitat el propòsit que ho fessin; necessitaven el discurs lingüístic.
Després de compartir tota la classe les idees sobre la lectura intentaren treure l'entrellat. La majoria de nens i de nenes es limitaven a explicar la seqüència. Les intervencions de la mestra anaven dirigides a què sorgís el perquè després fins i tot sobraven camells. Els arguments que utilitzaren per explicar-ho estaven relacionats amb la part decimal del nombre de camells que els tocava: deien que el camell que sobrava era la suma de les parts decimals de cada número. Es realitzaren les operacions i sumaren el nombre de camells que els tocarien a cada germà i no sumaven els 35 camells, sinó que en sumaven 32,99 quasi bé 33. Estigueren estona donant tombs sobre el mateix mirant de trobar nous arguments però no se'n sortien. Sempre acabaven dient que el problema era que els camells no es poden dividir perquè llavors sempre en tens un de menys.
La mestra va intervenir proposant que deixessin els camells i pensessin en una altra herència, com podia ser una vinya. Es van posar a pensar la nova situació i llavors arribaren a la conclusió que el pare no havia repartit tota la vinya, que la meitat, un terç i una novena part junta no feia tota la vinya, per tant en quedava una part que no havia destinat a ningú. Llavors de seguida s'aixecaren veus explicant el perquè sobrava el camell que es quedava l'Home que calculava, i perquè els havia costat: perquè el resultat de la meitat, un terç i una novena part de 35 eren nombres decimals, i els camells no es podien dividir. En sumar-hi un camell més, el nombre a repartir era 36 i la meitat, un terç i la novena part donava un nombre exacte.
Totes aquestes explicacions s'anaven escrivint als llençols o a la pissarra, ell mateixos o la mestra. A la sessió va aparèixer objectes matemàtics, les fraccions equivalents i els divisors.
En fer la repartició del terreny, s'hagué de comparar un terç amb un novè, fou llavors quan sorgí el concepte de fracció equivalent i la idea que per poder comparar fraccions havien de tenir el mateix denominador. Va quedar en el llençol pendent de reemprendre-ho (foto 2 i 3).
Foto 2 (dreta) Part de la pissarra on es veu la repartició de la vinya entre els tres germans. Per poder comparar les diferents parts s'havien d'utilitzar fraccions equivalents.
Moments de càlcul: compartir estratègies personals de càlcul
Els nens i les nenes de sisè saben que per resoldre moltes de les situacions de la vida quotidiana i les que sorgeixen en qualsevol projecte és necessari saber calcular, i si pot ser d'una manera àgil millor. En començar el curs es va pactar que cada setmana hi hauria alguns moments per compartir estratègies de càlcul i poder explicar tots els avantatges i els inconvenients de cada una d'elles. L'interès dels alumnes era aquest, el de la mestra anava més enllà. La mestra volia que en els moments de compartir com combinaven els nombres, quines relacions establien, s'utilitzés cada vegada més els llenguatges matemàtics i donar la possibilitat d'enriquir i reformular les estratègies de càlcul pròpies. Pensava que la comunicació als altres, de les estratègies que utilitzava cadascú quan calculava, els podia fer repensar el procés de càlcul de manera que els portés a millorar-lo.
El funcionament d'aquests moments era el següent: al començament sempre es feia en gran grup i la proposta de càlcul la feia la mestra; més endavant es van incloure unes variables, es feia per grups i/o un nen feia la proposta i transcrivia el que li anaven dient els companys.
Els càlculs s'escrivien en un llençol i s'utilitzaven diferents colors per distingir les diferents estratègies per un mateix càlcul. Aquests llençols quedaven penjats a l'aula, de manera que en tot moment podíem recordar les estratègies. Després, en alguns càlculs s'escollien algunes estratègies després de valorar-les i de considerar-les adequades per la seva claredat; perquè permetien un càlcul àgil i ràpid; perquè es podien utilitzar en moltes situacions de càlcul...; i quedaven com a acord.
Foto 5 (dreta) Transcripció del debat sobre les fraccions equivalents.
Aquests moments de càlcul són molt participatius. Quan alguna de les estratègies que s'expliquen no queda prou clara per part d'algú, sempre hi ha qui es presta per aclarir-la o comparar-la amb una altra.
Va ser en una de les estratègies per resoldre 5/10 x 20 que algú proposà utilitzar _ en comptes de 5/10. S'encetà un debat sobre les fraccions i es va connectar amb els càlculs de l'Home que calculava.
Temporització del projecte
L'aula de sisè estava immersa en plena tria del projecte. Hi havia un conflicte d'interessos entre dos temes: L'anime i La Pesca. La mestra els proposà la possibilitat de fer els dos projectes, però calia fer una bona distribució del temps, calia temporalitzar els dos projectes.
Comptaren els dies que quedaven fins a final de curs, i individualment elaboraren una proposta de temporització: cada un repartia segons les seves preferències. En la posada en comú es posaren d'acord que dedicarien més temps a la pesca i menys a l'anime i al manga. (Fotos 6 i 7)
Per elaborar la proposta i resoldre els càlculs necessaris utilitzaren els nombres fraccionaris, els percentatges i els decimals. En la devolució dels treballs individuals, va tornar a sorgir el tema de les fraccions. De seguida es va connectar amb els altres debats i va augmentar l'interès d'aprofundir-hi.
Hem explicat tres moments de l'aula en què s'utilitzaven les fraccions equivalents per resoldre diversos càlculs. Tres moments que no tenen a veure un amb l'altre i que van generar un debat i un acord per aprofundir més en les fraccions equivalents.
Aquí fou on es combinaren l'interès de la mestra en aprendre un contingut curricular i l'interès dels alumnes en aprofundir sobre les fraccions, amb l'objectiu de millorar les seves estratègies de càlcul. La mestra va dissenyar aquest procés basant-se en tot moment en la comunicació: del que ja sabien sobre les fraccions, de les informacions observades en les diferents situacions i de les informacions que donaven els llibres de texts, amb l'objectiu de transformar aquestes informacions en nous coneixements i ampliar els que ja tenien.
A la foto 8 un dels esquemes, realitzats pels alumnes, del procés de les fraccions equivalents. A la figura 10 veiem l'esquema del procés acordat a classe. A la figura 9 l'esquema de la Laura de l'última devolució.
Foto 10 (dreta) Esquema acordat per tota la classe del procés de les fraccions..
Procés d'investigació de les fraccions equivalents
És a partir de la devolució de l'Home que calculava que s'acorda aprofundir sobre les fraccions equivalents.
La primera feina fou individual i se'ls donà un full on hi havia la foto de dos dels llençols que varen escriure en alguna devolució de l'Home que calculava i dels moments de càlcul (figura 10) amb l'encàrrec que cadascú, a casa, havia d'escriure el que sabia de les fraccions.
El dia de recollida de la feina individual, s'organitzaren 5 grups de treball. Cada grup havia de buscar la informació que necessitava per aprofundir en les fraccions i elaborar-ne un text. Se'ls repartiren llibres de text de matemàtiques de diferents editorials i de diferents cursos, cinquè, sisè i 1r d'ESO i també n'hi havia un de 1r de BUP. S'adonaren que els llibres d'una determinada editorial de 5è i de 6è, la informació que donaven era la mateixa només canviant els exemples i els colors de les fletxes tal i com ho deien ells. Algun grup utilitzà també els llibre de BUP, altres no.
En la devolució col·lectiva aquest grup explicà la classificació dels nombres, en naturals, enters, racionals i reals. Durant la devolució cada grup va explicar les informacions que havia trobat sobre les fraccions. Cadascú prenia els apunts que creia convenient a la seva llibreta.
El pas següent fou que cada grup millorés el seu text sobre les fraccions amb les informacions que havien obtingut en la devolució. Aquestes informacions les tenien en la llibreta d'apunts i també se'ls donà una còpia dels textos dels altres grups. Alguns grups completaven el seu text i altres ja el donaven per bo.
Finalment cadascú podia elaborar el seu propi text amb els coneixements de les fraccions equivalents.
Per acabar es va valorar com havia anat tot el procés i se'ls demanà que l'expliquessin. En la sessió col·lectiva de valoració una nena encetà el debat dient que els llibres que havia consultat hi havia quasi bé la mateixa informació, i això que eren de diferents cursos. També es va fer la reflexió que el llibre només dedicava un o dos temes per parlar de les fraccions, i quan s'acabaven ja no es tornaven a estudiar fins l'any següent. Un altre digué que es pensava que era més difícil.
Les valoracions que feien traspuaven la preocupació que tenen els nens i les nenes de sisè davant de l'entrada a l'institut. I també la comparació constant amb els alumnes de les altres escoles que se'ls fa fora de l'escola.
Els mateixos amics els diuen que ells no saben res perquè no tenen llibres, perquè no fan els temes que toquen. Ens agradi o no, és un fet real i cal donar-li sortida. A l'aula es parla clarament, i se'ls fa partícips de què aprenen i de com aprenen. Reben visites dels companys que ara fan 1r d'ESO, i aquests els tranquil·litzen.
Els alumnes han de fer-se conscients de què aprenen i de com ho aprenen. Quan observen el procés realitzat, tant el de les fraccions, com d'altres que ja s'han explicat, prenen consciència del treball que han fet, de les estratègies que han utilitzat, de com millorar-les i enriquir-les, dels coneixements que han après i dels que han emergit provocant nous processos d'investigació i d'estudi. Aquest fet és el que els dóna més seguretat en el que estant fent.
Al final del procés de les fraccions, es va fer un control avaluatiu. També cal aprendre el funcionament de formes avaluatives que es trobaran en cursos propers. Si més no, cal conèixer-les.
