Els problemes de mates a l'escola i les TIC

Introducció

Els problemes són un tipus d'activitat de la classe de matemàtiques que serveix per descobrir i afiançar continguts, procediments i significats que en els primers nivells educatius fan referència als aspectes organitzatius i quantitatius de la realitat.
El problemes poden arribar a ser l'eix vertebrador de la classe de matemàtiques degut a la facilitat per adaptar-lo a diferents continguts i a la diversitat de l'alumnat.
La finalitat de la resolució de problemes no és tant l'obtenció de la solució concreta sinó el coneixement que es pot generar amb aquesta situació. Per això, l'activitat no es finalitza amb la resolució de problema sinó que es pot perllongar mentre les possibilitats d'aprenentatge de la situació encara no s'hagin esgotat.

Què és un problema?

Un problema matemàtic es pot concebre com:

• una situació que estem en condicions d' entendre,
• de la qual en coneixem una determinada informació i a partir de la qual
• volem deduir una nova situació o informació, però que
• no sempre tenim un camí clar per passar del conegut al desconegut

Antònia Canals diu que "Cal diferenciar el que és una pura activitat d'aplicació de continguts del que ha de ser un "problema" o situació on d'entrada no es tenen els procediments, recursos i estratègies per a resoldre, sinó que cal cercar-los a mesura que es va desenvolupant la seva resolució". Resulta aclaridor distingir entre:

• Activitats d'aplicació situacions que requereixen una simple aplicació de les operacions
• Situacions problemàtiques on cal un procés de raonament per trobar la solució
• Projectes matemàtics on cal una investigació per definir la situació

En la resolució de problemes intervenen molts processos, però cal destacar:

1. la comprensió de l'enunciat, que encara que és una activitat extramatemàtica, suposa un obstacle per aquells alumnes que tenen dificultats en el llenguatge o en comprendre la situació que se'ls proposa. Una lectura superficial de l'enunciat no és suficient per a la resolució de problemes.

   La lectura mecànica ens pot ajudar a identificar les dades rellevants del problema a partir expressions que automàticament s'associen amb determinades operacions aritmètiques.

   Cal la lectura en profunditat de l'enunciat per destriar les dades significatives i les irrellevants i les relacions que s'estableixen entre elles. La comprensió de l'enunciat és una activitat de lectura comprensiva on podem utilitzar estratègies de comprensió d'un text narratiu ( activació dels coneixements previs, identificació de la idea principal, dels personatges que intervenen...)

2. la modelització del problema, traduint l'enunciat a un llenguatge manipulatiu, representatiu o simbòlic que demostri la comprensió de l'enunciat
3. la recerca de diverses estratègies de resolució i la selecció de la més adequada intentant arribar fins al final.
4. la revisió del procés seguit que comprèn els següents aspectes: pertinència de la solució, verificació i realització d'un informe del procés seguit

És per això que la resolució de problemes presenta dificultats a:

• Nivell lingüístic (morfo - sintàctic, semàntic, contextual...)
• Nivell lògic (lògic - lingüístic; lògic - matemàtic)
• Nivell matemàtic (operatiu, algorísmic - simbòlic)
• Nivell metacognitiu (elaboració d'estratègies, gestió de l'activitat,..)

I tal com expliquen la Núria Carazo i en Francesc X. Alegria, els errors més freqüents observats són:

• Dificultat en la lectura comprensiva de text
• Incapacitat de modelitzar la situació
• Incapacitat de fer un plantejament
• Dificultat en organitzar la informació donada
• Operacions inadequades
• Incomprensió de les relacions existents entre les dades del problema

La comprensió de l'enunciat

Una de les primeres dificultats que trobem en la resolució del problema és la comprensió de l'enunciat. L'alumnat no sempre comprèn l'enunciat i encara ha de fer un esforç més gran per representar la situació i operar amb les dades que intervenen.

Els enunciats no tenen la mateixa significació i dificultats per a tots els alumnes. Dependrà de la seva capacitat en comprendre del text, en comprendre la situació i la dificultat en trobar el camí a seguir.

Cal defugir dels problemes amb situacions estereotipades i processos de resolució estandarditzats que sovint es troben en els llibres de text. Cal fer un esforç per plantejar situacions que siguin significatives per a l'alumnat i expressar-se en llenguatges que els siguin comprensibles.

D'aquesta manera aconseguireu que entenguin els problemes, estiguin motivats per resoldre-les i puguin emetre judicis sobre l'adequació o no del resultat.

Entre d'altres coses, és possible:

• Adaptar el context a la situació particular de cada escola...
• Afegir o treure dades de l'enunciat per tal de treballar quina informació és pertinent i quina no...
• Crear problemes a partir de situacions reals d'escola, d'informacions tretes del diari o a la televisió, de contes i narracions...
• Proposar situacions obertes que admeten diferents graus de resolució i facilitar la participació dels diferents tipus d'alumnes
• Plantejar problemes visuals a partir de fotografies diverses, o narracions gràfiques...
• Treballar amb problemes on l'enunciat sigui oral i que es resolguin amb càlculs mentals o representacions gràfiques.

Textos per a calcular

Inventar-se problemes i després resoldre'ls és una activitat que:

• ajuda a l'alumnat a comprendre altres enunciats,
• proporciona un inventari de problemes "significatius" a resoldre i
• permet crear un espai de debat entre els "autors" de l'enunciat i els que han resolt el problema.

La redacció de problemes o "textos per a calcular", com diu Helena Forrellad en el seu article, és un procés creació personal on l'autor té la finalitat d'organitzar la seva expressió en funció del coneixement que té de la situació, de les matemàtiques i de la llengua.

Aquests enunciats no tenen perquè ser escrits, sinó que l'alumnat pot expressar-se utilitzant el llenguatge oral, el gràfic o el multimèdia que ens proporciona l'ordinador.

En la producció d'aquests "textos per a calcular" podem aplicar amb adaptacions les diferents estratègies que utilitzem en la creació de textos narratius.

Helena Forrellad, en el seu article, explica la construcció de diferents textos per a calcular.

L'inventa problemes és una experiència que ens expliquen la Núria Carazo i Francesc X. Alegria.

L'activitat es fa per parelles i consisteix en inventar-se un problema a partir d'objectes o imatges trobats dins d'una capsa. Cal elaborar un història / problema i després resoldre la situació. Es plantegen diferents nivells d'elaboració:

• al Cl Observació de la imatge i elaboració d'un enunciat de forma oral,
• al CM Observació la imatge i redacció d'un enunciat de forma escrita, amb resolució o sense. La resolució pot ser per parelles o en petit grup.
• al CS Observació de la imatge i redacció escrita d'un enunciat on podem posar condicions (problema de diverses etapes, amb dades irrellevants, amb dades falses, amb una operació concreta, amb dades absents... )

Com aprendre a resoldre problemes?

Luís Puig i Fernando Cerdán en el seu article ens parlen de que el Kilpatrick (1985) agrupa els mètodes per ensenyar a resoldre problemes en cinc categories:

• Per osmosi o repetició postula que l'important per d'aprendre a resoldre problemes és resoldre molts problemes. L'estratègia consisteix en elaborar una col·lecció de problemes que contingui implícitament el que es vol ensenyar.
• Per memorització la solució d'un problema es descompon en procediments atòmics que s'ensenyen un a un i que cal seguir pas a pas.
• per imitació l'alumnat observa la resolució de problemes d'una persona competent que ha d'imitar. D'alguna manera s'ensenya a analitzar la conducta competent i a comparar-la amb conductes pròpies o alienes. En aquest mètode és important mostrar tot el procés per arribar a la solució i no solament al resultat final. El professor sol actuar com a expert en resoldre problemes i pot utilitzar tres estratègies diferents:
  1. realitzant el procés de resolució d'un problema pas a pas, fins i tot si ja es coneix el resultat
  2. embarcant-se en processos de resolució a partir de les propostes de la classe
  3. resolent problemes sense haver preparat prèviament la solució

 

• mitjançant la cooperació Els alumnes s'ajuden mútuament utilitzant els seus propis procediments en la resolució de problemes. No sols han d'observar i analitzar conductes competents del professorat per imitar-los, sinó que han de poder observar i analitzar també les conductes dels seus companys per cooperar amb ells.
• mitjançant la reflexió dels processos seguits i altres factors de tipus metacognitius que ajudin a elaborar estratègies adequades i executar-les

  Entre les tècniques proposades hi ha l'observació i anàlisi de vídeos de sessions de resolució de problemes, observar i comentar l'activitat del professor o analitzar les estratègies d'un grup de companys quan resolen uns problemes.Igualment es pot proporcionar una guia que faciliti el propi control mitjançant unes preguntes generals de gestió ( Què estàs fent? Per què ho estàs fent? Com encaixa el que estàs fent en el conjunt de la resolució del problema?) o amb ajudes estructurades orientades a millorar la comprensió de l'enunciat, la selecció i organització de la informació o a seqüenciar les etapes de càlcul.

Luís Puig i Fernando Cerdán prefereixen utilitzar un esquema que anomenen etapes - estats, on l'alumnat va assumint progressivament diferents rols posant en joc nous procediments metacognitius. Ells els seqüencien en:

1. Resolvent: L'alumnat s'esforça en trobar la solució del problema produint-se l'aprenentatge per osmosis.
2. Resolvent / observador de si mateix. L'alumnat resol el problema i de forma conscient pot explicar com ho ha fet. Igualment pot plantejar possibles formes de solució sense haver-les de portar a terme.
3. Resolvent / observador dels altres. L'alumnat observa i compren el procés desenvolupat per altres persones i el pot explicar. Igualment, a partir d'un problema en pot proposar d'altres que estiguin resolts en part o tingui idea de com resoldre'ls gràcies a la resolució del problema plantejat.
4. Resolvent / observador / investigador. L'observació ja no és ingènua, sinó sistematitzada pel coneixement de les eines heurístiques, que s'ensenyen de forma explícita. L'estudiant pot considerar-se com investigador, no de la solució sinó dels processos de resolució.

   És capaç de variar sistemàticament un problema per generar-ne altres, així com descriure el procés de resolució usant els elements teòrics pertinents.

5. Observador / investigador / professor on s'abandona l'estat de resolvent i s'introdueix el de professor.

Les TI en la resolució de problemes

Les tecnologies de la informació són eines de propòsit general que en la resolució de problemes poden ser d'alguna utilitat en:

• l' elaboració de la informació numèrica mitjançant els instruments de càlcul general o especialitzats ( calculadora, full de càlcul, o un calculador simbòlic)
• la comprensió de la informació textual mitjançant la síntesi de veu, sistemes pictogràfics, els diccionaris o l'hipertext...
• la representació del problema o de la realitat mitjançant recursos gràfics o models numèrics o tridimensionals, ja sigui amb programes específics (Cabri Geometre, fulls de càlcul) com en eines de propòsit general (processador de text, programes de dibuix , Power point).
• la generació i correcció automàtica d'activitats d'exercitació, difícilment autèntics problemes matemàtics, on l'alumnat podrà interpretar l'enunciat, seleccionar la informació significativa i aplicar estratègies i algoritmes coneguts.
• la presentació de problemes en llenguatge multimèdia on la comprensió de l'enunciat no depengui del text escrit i la solució no requereixi utilitzar uns algorismes fonamentats en la memòria.
• la creació de nous problemes i móns virtuals que tinguin el seu origen en l'ordinador ( tetris, winlogo, jocs d'estratègia...).

Existeixen materials concrets que poden ser d'aplicació en aquests àmbits:

Clic: diferents paquets del Clic proposen resoldre problemes aritmètics amb càlculs mentals

Problemes de càlcul mental basats en "El quinzet" - 1

Problemes de càlcul mental basats en "El quinzet" - 2

Fem problemes al cicle inicial

Problemes variats (cicle superior)

Fem problemes del Quinzet amb la Formiga Matemàtica ( Nou paquet)

Calcvaw és una calculadora parlant que inclou un mòdul d'exercicis i problemes de càlcul mental.

Sòcrates és un programa que permet plantejar problemes que es poden resoldre pas a pas. Els exemples es corresponen a coneixements d'ESO.

Bibliografia

Carazo Torres, Núria Alegria Folch, Francesc X. (CEIP Joan Ardèvol de Cambrils) (2002) Fem Problemes com? Curs d'Actualització en l'ensenyament - aprenentatge de les matemàtiques Presentació d'Experiències Departament d'Ensenyament

Canals, Antònia (2002) Resolució de problemes Curs d'Actualització en l'ensenyament - aprenentatge de les matemàtiques Ponències i conferències Departament d'Ensenyament

Girondo, Luisa(2002) Els problemes a la classe de matemàtiques Curs d'Actualització en l'ensenyament - aprenentatge de les matemàtiques Ponències i conferències Departament d'Ensenyament

Puig, Luis; Cerdán, Fernando;(1996) Un curso de Heurística matemàtica para la formación del profesorado Revista UNO 8, 83-90 Barcelona

Callejo, Maria Luz (1996),Evolución de procesos y progresos del alumnado en la reoluciónde problemas Revista UNO 8, 83-90 Barcelona

Puig, Luis; Cerdán, Fernando; (1988) Problemas aritméticos escolares Editorial Síntesis Barcelona

Forrellad Helena (CEIP Bellaterra) "Textos para calcular" Revista Aula de Inovación educativa 107, 26 - 30