FEM MATEMÀTIQUES 2004

Sisè de Primària

PROBLEMA 1

Marcs amb fitxes de dòmino

Fixeu-vos amb el següent marc, format amb quatre fitxes de dòmino.

Tant les dues files com les dues columnes sumen 4.

Proveu de fer marcs amb quatre fitxes de dòmino que compleixin les

mateixes condicions: que totes les files i les columnes sumin el mateix.

Trobeu-ne almenys deu de diferents. (Fixeu-vos que el marc de continuació es considera el mateix que el que teniu dibuixat més amunt, perquè té les mateixes fitxes en el mateix ordre.)

Busqueu el marc amb la suma més petita possible. I el marc amb la

suma més gran possible.

Dibuixeu set marcs amb les mateixes condicions, de manera que entre els

set marcs feu servir totes les fitxes d’un joc de dòmino.

PROBLEMA 2

Dibuixos curiosos en una circumferència

Anem a fer dibuixos curiosos unint els sis punts d’una circumferència

com la del dibuix.

Les condicions que han de complir els dibuixos és que s’han d’unir tots

els punts en línia recta, tornant al final al punt de partida, sense aixecar

mai el llapis del paper i sense passar més d’un cop pel mateix punt.

Aquí teniu un exemple:

Quantes figures diferents podeu fer? Dibuixeu-les totes. (Vigileu, però,

de no repetir-les; les figures han de ser diferents per molt que les gireu.

Per exemple, la figura següent és la mateixa que l’anterior si la mireu des

d’un altre lloc.)

PROBLEMA 3

El joc d’omplir rectangles

Preneu tres fitxes vermelles, tres de grogues i tres de blaves. Amb elles

i amb el tauler que teniu a continuació podeu jugar a un joc per a dos

jugadors.

El joc consisteix en què, per torns, cada jugador posa una fitxa de color

a un dels espais numerats que estigui buit, amb la condició que en cap

dels espais del voltant no hi hagi una fitxa del mateix color. Perd qui no

pot fer cap jugada.

Jugueu unes quantes partides. Podeu trobar una partida on hàgiu lograt

posar les nou fitxes sobre el tauler?

Imagineu-vos que les tres primeres tirades de la partida les feu amb fitxes

de color vermell. Quantes posicions diferents podeu trobar desprès

d’aquests tres primers moviments?

Ara intenteu fer la partida tant curta com pugueu. Quantes fitxes hi

haurà com a mínim sobre el tauler quan no es pugui fer cap tirada?

Primer d’ESO

PROBLEMA 1

Quants costats podem dibuixar?

Intenteu dibuixar polígons en una quadricula de 3 × 3 punts (amb els

vèrtexs en els punts de la quadricula). Teniu un parell d’exemples en el

dibuix.

Fixeu-vos que en els dos exemples teniu polígons de sis costats. Podeu

dibuixar-ne algun de set costats? I algun de vuit? Quin és el màxim

nombre de costats que pot tenir un polígon en una quadricula de 3 × 3

punts?

Repetiu la investigació en una quadricula de 4 × 4. Quin és el polígon

amb el nombre més alt de costats? I en una quadricula de 5 × 5? I en

una de 6 × 6?

Sense dibuixar-los, podríeu intentar endevinar quants costats tindrà, com

a màxim, un polígon en una quadricula de 8 × 8? I en una de 10 × 10?

Per què?

PROBLEMA 2

Tetrahexàgons

Feu figures de cartolina amb quatre hexàgons regulars, de manera que els

hexàgons estiguin units per les arestes. En el dibuix en teniu un exemple.

Quantes figures diferents podeu formar amb quatre hexàgons? (Les figures

es consideraran diferents si és impossible posar-ne una sobre l’altra,

per molt que les gireu.)

Junteu totes les figures que heu obtingut per formar el raïm del dibuix.

I torneu-les a juntar per fer la forma d’un cuc.

PROBLEMA 3

Acorralem al contrari

En el següent tauler quadrat s’hi pot jugar un joc per a dos jugadors.

Preneu cinc fitxes blanques i cinc de negres i poseu-les tal com indica

el dibuix. Per torn, cada jugador mou una fitxa, endavant o endarrera,

el nombre de quadres que vulgui, però sempre per la mateixa columna i

sense passar per sobre de la fitxa de l’altre jugador. Guanya el jugador

que logra acorralar contra la paret al contrari, és a dir, que deixa el seu

contrincant sense cap jugada possible. Comencen a jugar les blanques.

Jugueu unes quantes partides. Busqueu una estratègia per guanyar sempre.

Què és millor, triar blanques o negres?

Què passa amb un tauler de 6 × 6? Què és millor en aquest cas, triar

blanques o negres? I amb un tauler de 7 × 7? I amb un de 8 × 8?

Segon d’ESO

PROBLEMA 1

Nombres escala

Hi ha nombres, com el 6 o el 7, que s’anomenen nombres escala perquè

es poden posar com a suma de nombres consecutius: 6 = 1 + 2 + 3 i

7 = 3 + 4. El nombre 20 També és un nombre escala, com es pot veure

en el dibuix.

A més, hi ha nombres que es poden posar com escales diferents. Per

exemple, el nombre 15:

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 4 + 5 + 6.

Estudieu els nombres de l’u al vint. Quins d’ells són nombres escala?

Podeu trobar totes les maneres que teniu d’escriure’ls en escala?

Sabríeu donar un criteri que us permeti saber si un nombre és o no escala

(encara que sigui més gran de vint)?

PROBLEMA 2

Despleguem un cub

Volem tallar amb tisores un cub de cartolina, de manera que ens quedi el

seu desenvolupament pla. Evidentment, hi ha moltes maneres de fer-ho,

com les tres que us mostrem a continuació.

El problema és que el costat tallat amb tisores es veu rugós i no queda

bonic. Per això volem desplegar el cub de manera que el tall de tisores

sigui el més curt possible.

Construïu-vos tres cubs iguals amb cartolina i talleu-los per obtenir els

tres desenvolupaments del dibuix. Mesureu la longitud del tall que heu

hagut de fer en cada cas amb les tisores. En quin cub el tall era el més

curt?

Mesureu el perímetre dels desenvolupaments plans que us han quedat.

Quin era el més curt? Quina relació hi ha entre el perímetre del desenvolupament

pla i la longitud del tall de tisores?

Torneu ara a la pregunta que ens plantejàvem: com podem desplegar un

cub de cartolina de manera que la longitud del tall de tisores sigui la

mínima possible? Feu el dibuix del desenvolupament pla que us quedi.

PROBLEMA 3

El joc dels punts i les línies

Us proposem que jugueu a un joc matemàtic per a dos jugadors. Es tracta

de dibuixar alguns punts sobre un paper (els que vulgueu). Cada jugador

ha d’unir amb una línia (pot ser recta o corba) dos punts qualssevol i

dibuixar un altre punt sobre la línia que acaba de fer. La condició és que

cap línia no pot passar per sobre d’una altra ni de cap més punt fora dels

dos dels extrems. Tampoc no està permès que d’un punt surtin més de

tres línies. Perd el jugador que no pot dibuixar cap més línia.

En el dibuix teniu un exemple d’una partida que està a mitges.

Hem començat amb els punts A, B i C. El primer jugador ha unit A i B

i ha afegit el punt D. El segon jugador ha unit els punts C i D i ha afegit

el punt E. Ara el punt D ja no es pot tornar a fer servir, perquè ja té tres

línies que en surten. S´ý que podem jugar encara amb els punts A, B, C

i E.

Quantes tirades podeu fer si només comenceu amb un punt? I si comenceu

amb dos punts, quin és el nombre màxim de tirades que podeu fer?

I el mínim?

Què passa si comenceu amb tres punts? Quants moviments durarà, com

a màxim, una partida? I com a mínim?

Quin és el nombre màxim i mínim de tirades en una partida que comença

amb quatre punts? I amb cinc? I amb n punts?