Problemes de la primera fase (2003)

PROBLEMA 1. Amb dos quadrats iguals es pot formar una fitxa de dòmino, que per abreujar anomenarem "dòmino".

Amb tres quadrats iguals podem formar dues fitxes que anomenarem "triminos": Una barra de tres i una "L".

• Amb quatre quadrats iguals quants "tetraminos" es poden formar?
• I amb 5 quadrats, quants "pentaminos"?
• Un cop tinguis tots els pentaminos possibles pots fer el següent trencaclosques: tria un dels "pentaminos" i ara intenta construir-ne un d’igual forma però amb les mides dels costats doblades, utilitzant quatre "pentaminos" de la teva col·lecció. Aquesta operació es pot fer amb tots?

PROBLEMA 2.Diu una vella història que un rei oriental va prometre a l’inventor dels escacs de donar-li la següent quantitat d’arròs: Un gra per la primera casella, dos per la segona, quatre per la tercera, vuit per la quarta, setze per la cinquena, així fins arribar a la casella 64 del tauler d’escacs.

• Podries calcular la quantitat total de grans d’arròs que això representa, d’una manera més o menys fàcil? Fes-ho.
• Esbrina quina és la producció mundial d’arròs en un any i calcula quants anys serien precisos per poder complir la promesa.

PROBLEMA 3.En Jordi i la Loubna juguen al joc següent: en un paper hi marquen sis punts que més o menys formen un hexàgon regular i agafen dos llapis de diferent color un per cada un. En cada tirada un dels jugadors ha d’unir dos dels sis punts amb el llapis del seu color. Perd el primer que forma un triangle amb els tres costats del seu color, que tindrà els tres vèrtexs sobre l’hexàgon.

• Sabries justificar que en aquest joc no hi pot haver empat? (un dels dos jugadors ha de perdre per força, perquè quan s’hagin format tots els segments possibles segur que hi haurà un triangle amb tots els costats del mateix color)
• Sabries trobar un desenvolupament del joc en què durant les primeres 14 jugades no es formés cap triangle amb els tres costats del mateix color i a la quinzena (la darrera possible) es formessin dos triangles del mateix color?

PROBLEMA 1. Amb dos quadrats iguals es pot formar una fitxa de dòmino, que per abreujar anomenarem "dòmino".

Amb tres quadrats iguals podem formar dues fitxes que anomenarem "triminos": Una barra de tres i una "L".

• Amb quatre quadrats iguals quants "tetraminos" es poden formar?
• I amb 5 quadrats, quants "pentaminos"?
• Un cop tinguis tots els pentaminos possibles pots fer el següent trencaclosques: tria un dels "pentaminos" i ara intenta construir-ne un d’igual forma però amb les mides dels costats doblades, utilitzant quatre "pentaminos" de la teva col·lecció. Aquesta operació es pot fer amb tots?

PROBLEMA 2.Coneixeu l’anècdota de l’expressió "eureka!" que va cridar Arquimedes quan va resoldre un problema? Tot seguit podeu fer d’Arquimedes. Diu la tradició que el rei Hieró II de Siracusa va encarregar a un joier que li fes una corona i va ordenar que li donessin les quantitats d'or i plata necessàries. Quan li van lliurar la corona va ordenar que la pesessin i va resultar que pesava el mateix que la quantitat total de plata i or subministrats, però el rei no es fiava del joier, perquè es pensava que s’havia quedat part de l’or per a ell i l’havia substituït per plata. Llavors va fer cridar Arquimedes i li va proposar de trobar quina era la composició de la corona, sense fer-la malbé. Arquimedes ho va resoldre (mentre era a la banyera, i va ser llavors que va cridar el cèlebre "eureka!") sabent que l'or pur perd en l'aigua 1/20 del seu pes, mentre que la plata en perd 1/10.

Resol el problema pel cas que hi haguessin 8 kg d'or i 2 kg de plata i que la corona en l'aigua pesés 9,25 kg

PROBLEMA 3.En Jordi i la Loubna juguen al joc següent: en un paper hi marquen sis punts que més o menys formen un hexàgon regular i agafen dos llapis de diferent color un per cada un. En cada tirada un dels jugadors ha d’unir dos dels sis punts amb el llapis del seu color. Perd el primer que forma un triangle amb els tres costats del seu color, que tindrà els tres vèrtexs sobre l’hexàgon.

• Sabries justificar que en aquest joc no hi pot haver empat? (un dels dos jugadors ha de perdre per força, perquè quan s’hagin format tots els segments possibles segur que hi haurà un triangle amb tots els costats del mateix color)
• Sabries trobar un desenvolupament del joc en què durant les primeres 14 jugades no es formés cap triangle amb els tres costats del mateix color i a la quinzena (la darrera possible) es formessin dos triangles del mateix color?

PROBLEMA 1.Coneixeu l’anècdota de l’expressió "eureka!" que va cridar Arquimedes quan va resoldre un problema? Tot seguit podeu fer d’Arquimedes. Diu la tradició que el rei Hieró II de Siracusa va encarregar a un joier que li fes una corona i va ordenar que li donessin les quantitats d'or i plata necessàries. Quan li van lliurar la corona va ordenar que la pesessin i va resultar que pesava el mateix que la quantitat total de plata i or subministrats, però el rei no es fiava del joier, perquè es pensava que s’havia quedat part de l’or per a ell i l’havia substituït per plata. Llavors va fer cridar Arquimedes i li va proposar de trobar quina era la composició de la corona, sense fer-la malbé. Arquimedes ho va resoldre (mentre era a la banyera, i va ser llavors que va cridar el cèlebre "eureka!") sabent que l'or pur perd en l'aigua 1/20 del seu pes, mentre que la plata en perd 1/10.

Resol el problema pel cas que hi haguessin 8 kg d'or i 2 kg de plata i que la corona en l'aigua pesés 9,25 kg

PROBLEMA 2.Els egipcis tenien una manera de multiplicar molt enginyosa, coneguda també com "el mètode del camperol rus". Quan havien de multiplicar dos nombres, com per exemple 365 per 18, ho feien de la manera que s’explica tot seguit:

Disposaven els dos nombres com a capçaleres de dues columnes que anaven formant així: a sota del nombre més gran hi posaven el doble (per exemple a sota del 365 el seu doble, 730), mentre que a la columna encapçalada pel nombre petit anaven posant la meitat del nombre de sobre si aquest era parell (a sota del 18 el 9) i si era senar hi posaven la meitat per defecte (a sota del 9 el 4). Quan en aquesta columna arribaven a 1, paraven de posar nombres a les columnes i ratllaven totes les files en què els nombres de la dreta eren nombres parells (en el nostre exemple les files 365 18, 1460 4 i 2920 2) i els nombres que quedaven sense ratllar de la columna de l’esquerra els sumaven (en el nostre exemple 730+5840=6570) i aquest és el resultat de la multiplicació.

• Escriu altres exemples i comprova que aquest mètode realment funciona.
• Com hauria de ser el nombre petit per què no calgués fer cap suma?
• Sabries dir per què funciona aquest mètode?

PROBLEMA 3.En Jordi i la Loubna juguen al joc següent: en un paper hi marquen sis punts que més o menys formen un hexàgon regular i agafen dos llapis de diferent color un per cada un. En cada tirada un dels jugadors ha d’unir dos dels sis punts amb el llapis del seu color. Perd el primer que forma un triangle amb els tres costats del seu color, que tindrà els tres vèrtexs sobre l’hexàgon.

• Sabries justificar que en aquest joc no hi pot haver empat? (un dels dos jugadors ha de perdre per força, perquè quan s’hagin format tots els segments possibles segur que hi haurà un triangle amb tots els costats del mateix color)
• Sabries trobar un desenvolupament del joc en què durant les primeres 14 jugades no es formés cap triangle amb els tres costats del mateix color i a la quinzena (la darrera possible) es formessin dos triangles del mateix color?