Sisè de Primària
PROBLEMA 1
Els daus de colors
La
Mireia té dos daus de colors; un és de color blau i
l’altre de color vermell. Els tira tots dos a la vegada i suma
el valor dels punts que li han sortit. Una de les vegades n'ha sumat
8, perquè al dau blau li ha sortit un 3 i al dau vermell li ha
sortit un 5. Fixeu-vos que també podria haver estat a
l’inrevés: un 5 en el dau blau i un 3 en el vermell, i
també obtindria un 8.
Això la fa pensar: De quantes maneres diferents puc obtenir un 8 en tirar aquests dos daus? Ajudeu-la vosaltres a respondre.
Ara vol mirar d'esbrinar tots els possibles nombres que pot obtenir en sumar els punts quan llança aquests dos daus i quantes (i quines) maneres diferents té d'obtenir cada un d'aquests resultats. Feu un estudi que expliqui totes aquestes possibilitats i tracteu de mostrar-ho de la manera més clara possible.
Com que li ha agradat aquesta recerca, ara la Mireia ha agafat un tercer dau de color groc i vol esbrinar de quantes maneres diferents pot obtenir el número 9 com a resultat de la suma de punts dels tres daus. Feu vosaltres també aquest estudi.
PROBLEMA 2
Un joc de cartes
Volem fer un joc de cartes però que en comptes de figures tingui les 19 lletres i números de la frase FEM MATEMÀTIQUES 2006. Una vegada tinguem les cartes preparades amb les lletres per un costat i en blanc per l’altre, les hem d'ordenar de manera que si estan sobre de la taula en un munt...
• aixequem la primera carta, i al girar-la volem que sigui la lletra F;
• la segona carta, en comptes de girar-la, l'agafem i sense mirar-la, la
posem sota de tot el munt;
• la tercera la girem i la posem al costat de la primera F; voldríem que
fos una E;
• la quarta es posarà sota del munt...
• i així fins que quedin totes destapades i formem la frase
F E M M A T E M A T I Q U E S 2 0 0 6
Troba l'ordre en què han d’estar les cartes en el munt. Explica clarament
l'estratègia que has fet servir per trobar-lo.
PROBLEMA
3
Enrajolant i desenrajolant rajoles
La figura següent, la podríem recobrir (enrajolar) de diferents maneres utilitzant sempre peces iguals; observa’n unes quantes maneres:
Cadascuna
de les següents sis figures pot ser recoberta (enrajolada) de
moltes maneres.
1) Podríeu trobar unes quantes maneres d’enrajolar cadascuna d’elles amb les condicions que...
• totes les peces que recobreixen una figura siguin iguals
• en totes les figures es facin servir les mateixes peces
2) Quina és la peça més gran que us permet recobrir les sis figures?
3) Podríeu comparar l’àrea de les sis figures? Raoneu-ho
Primer d'ESO
P
ROBLEMA
1.
Els daus de colors
La Mireia té tres daus de colors, un és de color blau, un altre de color groc i l’altre de color vermell. Tira tots tres daus a la vegada i suma el valor dels punts que li han sortit.
Una de les vegades ha sumat 12, perquè al dau blau li ha sortit un 5, al dau groc un 3 i al dau vermell un 4. Fixeu-vos que també podria haver estat d’una altra manera: un 3 en el dau blau, un 4 en el dau groc i un 5 en el vermell, i també obtindria un 12.
1) Això li fa pensar la següent pregunta: De quantes maneres diferents puc obtenir un 12 en llançar aquests tres daus? Ajudeu-la vosaltres a respondre.
2) Ara vol mirar d'esbrinar tots els possibles nombres que pot obtenir en sumar els punts de llançar aquests tres daus i quantes maneres diferents té d'obtenir cada un d'aquests resultats. Feu un estudi que expliqui totes aquestes possibilitats i tracteu de mostrar-ho de la manera més clara possible.
PROBLEMA 2.
Les
cartes quadrades
En Miquel té un joc de 81 cartes quadrades, totes de les mateixes dimensions. Cada carta té una cara vermella i una altra cara blanca.
En Miquel col·loca totes les cartes unes al costat de les altres, amb la cara blanca mirant cap al damunt i formant amb totes elles un quadrat gran (com el de la figura).
Ara el joc li demana girar cartes, de manera que en quedin el màxim nombre possible amb la cara vermella al damunt, però amb una condició:
que
cada carta de color vermell tingui almenys 7 cartes veïnes que siguin blanques.
Què vol dir això? Una carta és veïna d'una altra si tenen en comú un costat o un vèrtex. Observa el següent exemple que et mostra només una part d’aquell gran quadrat.
La
carta A i la carta C tenen 7 cartes veïnes blanques; però
la carta B té només 6 cartes veïnes blanques.
Ajudeu el Miquel: Quantes cartes es poden girar com a màxim?
PROBLEMA
3.
Enrajolant i desenrajolant rajoles
La figura següent la podríem recobrir (enrajolar) de diferents maneres utilitzant sempre peces iguals; observa’n unes quantes:
Pel mateix motiu, cadascuna de les següents sis figures pot ser recoberta (enrajolada) de moltes maneres.
1) Podríeu trobar quina és la peça més gran que us permet recobrir qualsevol de les sis figures? Tingueu presents les següents condicions:
totes les peces han de ser iguals
en cadascuna de les figures s’han de poder fer servir les mateixes peces
2) Podríeu comparar l’àrea de les sis figures? Raoneu-ho
3) Podríeu comparar els perímetres? Hi ha alguna relació entre el perímetre de cadascuna de les sis figures i la peça que feu servir per enrajolar? Ens podríeu convèncer de les vostres conclusions sense necessitat d’haver de prendre mides?
4) De totes les figures possibles que es podrien recobrir amb la peça que heu dissenyat a l’apartat 1), tant les que se us mostren en aquest full com les que us pugueu inventar vosaltres, quina és la que té màxim perímetre? quina és la que té mínim perímetre? Per poder respondre això, cal fixar-nos dues condicions:
només farem servir 8 peces de les que heu dissenyat a l’apartat 1)
dues peces han de tenir sempre com a mínim un costat en comú (per exemple les peces C i F, no compleixen aquestes condicions)
Segon d'ESO
PROBLEMA 1
Construïm Cubs
Estem buscant peces ortoèdriques de tal manera que utilitzant només moltes peces iguals a les trobades puguem construir un cub de costat 6cm. Al dibuix en teniu tres exemples. Una peça vermella de costats 1cm×1cm×1cm, una peça groga de costats 2cm×1cm×1cm i una peça verda de costats 3cm×2cm×1cm
Quantes peces ortoèdriques de costats 1cm×1cm×1cm necessitaríeu per a construir aquest cub? I si només utilitzem peces de costats 2cm×1cm×1cm? I només amb peces de 3cm×2cm×1cm?
Investiga totes les peces ortoèdriques amb costats sencers (no decimals) que podrien existir i amb les quals, utilitzant només aquella peça, podríeu construir un cub com el de l'exemple. Quantes peces necessitaríeu en cada cas?
c) Quins tipus de peces i quantes en sortirien si volguéssim construir un cub de 9 cm de costat? I si fos de 12? I de 7? Expliqueu en quins casos trobem més quantitat de peces diferents i que ens permeten construir un cub de costat n.
PROBLEMA 2
El Tsyanshidzi
El Tsyanshidzi és un antic joc d’origen xinès. Es juga partint de dues piles de pedres (o fitxes) amb una quantitat diferent a cada pila (es pot començar amb 6 i 7 fitxes i després anar variant el nombre de fitxes de cada pila). Cada jugador, al seu torn, pot retirar totes les fitxes que vulgui d’una de les piles, o bé treure fitxes de les dues piles, però en aquest cas la quantitat de fitxes que s’eliminin ha de ser la mateixa per a les dues piles. Qui aconsegueix retirar totes les fitxes que queden en aquell moment, guanya la partida.
Practiqueu el joc i digueu qui té avantatge, el primer o el segon jugador, segons el nombre de fixes inicial. Trobeu una manera de jugar que permeti guanyar sempre a un dels dos jugadors.
PROBLEMA 3
Billar
Estem jugant al billar en una taula de 2 metres de llargada per 1 metre d’amplada com la del dibuix. Fem una marca cada 25 cm a les 4 bandes del billar i col·loquem la bola en la posició que marca el dibuix (a 25 cm de la banda B4 i a mig metre de les bandes B1 i B3). En cadascuna de les cantonades tenim un forat. Anomenem totes aquestes marques amb P1, P2, P3... en sentit horari fins a P20.
a) Volem fer que reboti (sense efecte) sobre la banda B1 en el punt P3. En quina banda acabarà impactant després? En quin punt d’aquesta banda?
b) Ara volem que després de rebotar sobre la banda B1 acabi impactant sobre el punt P14. En quin punt de la banda B1 la faríeu rebotar?
Canviem de posició la bola: la col·loquem a mig metre de la banda B4 i a mig metre de les bandes B1 i B3. En aquesta nova posició:
c) Feu que reboti sobre la banda B1 en el punt P4. En quin punt acabarà impactant després?
Tornem a canviar la posició de la bola: la col·loquem a 75cm de la banda B4 i a mig metre de les bandes B1 i B3. En aquesta nova posició:
d) Si volem ficar la bola en el forat que hi ha en la cantonada que forma la banda B1 i B2 i que reboti a la banda B3, en quin punt de la banda B1 hauríeu de fer rebotar la bola?
e) Si donem una força a la bola perquè faci un recorregut de 3m, tindrà prou recorregut per arribar al forat o es pararà abans?
f) Feu un estudi de diferents posicions inicials i recorreguts que pot tenir la bola si només volem que reboti a les bandes B1 i B3 i acabar al forat de les cantonades. Quin és el recorregut més llarg i més curt en cada cas?