Títol : ITERACIONS
Objectius: Iniciar a la programació presentant una sèrie de petits problemes que es poden resoldre per iteració. Distingir entre recurrència i iteració. Mostrar que un problema, de vegades, es pot resoldre per aproximacions successives. Introduir la noció de sistema dinàmic i la d’atractor del sistema.
Continguts:
1. Càlcul per iteració i per recurrència.
a) Factorial recursiu d’un nombre
b) Factorial iteratiu
c) Nombre de Fibonacci (recurssiu)
d) Nombre de Fibonacci (iteratiu)
e) Nombre d’or
f) Càlcul recursiu d’un nombre combinatori
g) Càlcul iteratiu d’un nombre combinatori
h) Algorisme de Collatz.
i) Cercles de Ford.
Arxiu: arrel-quadrada.htm
2. Obtenció de l’arrel quadrada d’un nombre natural.
a) Amb la fórmula d’Heró i obtenir-la amb alguns centenars de xifres utilitzant l’aritmètica racional de la Wiris
b) Gràfic relacionant les mitjanes aritmètica i harmònica.
c) Gràfic relacionant les mitjanes aritmètica, geomètrica i harmònica
d) Trobant per iteració el seu desenvolupament en fracció contínua simple i després trobar, iterativament, el valor de la fracció que serà una aproximació de l’arrel.
e) Trobant el valor de la fracció contínua recursivament.
3. Obtenció del nombre p
a) Per iteració amb la fórmula de Vieta amb només 15 xifres pel fet de no poder utilitzar l’aritmètica de nombres racionals.
b) Amb el mètode iteratiu de Arquimedes
c) Amb el mètode iteratiu de Cusano.
d) Obtenint centenars de xifres amb les fórmules de l’arc tangent.
e) Amb la fórmula de Bailey
Arxiu: iterador-quadratic.htm
4.
Iterador quadràtic
Presentar l’iterador quadràtic i mostrar que un sistema iteratiu no necessàriament
és convergent o divergent, sinó que pot tenir òrbites periòdiques i fins i tot
ser caòtic.
Arxiu: bidimensional.html
5. Atractors de iteradors bidimensionals:
a) Triangle de Sierpinski. Mitjançant el joc del caos i iterant aplicacions lineals.
b) La falguera de Barnsley
c) L’atractor de Henon.
Per cada un dels punts penso fer una finestra activa i gràfics en la majoria d’elles.
Bibliografia:
Iniciación al Caos. Miguel Àngel Martín i altres. Educación Matemàtica en Secundaria.
Editorial Síntesis. Madrid 1995.
Cálculo Numérico Fundamental. B.P. Demidovich i I..A. Maron. Paraninfo. Madrid 1977
Geometria fractal. Javier Barrallo Calonge. Guías Monográficas. Ediciones Anaya Multimedia. Madrid 1993
Aprendiendo Matemàticas con su Ordenador I. Arthur Engel. La Tortuga. Editorial Euler. Madrid
Utilització en l’aula: explicar algun mètode en classe, en un grup reduït de batxillerat, i després anar a l’aula d’informàtica que ho escriguin a la Wiris i facin modificacions.
Jo només ho he provat amb el mètode iteratiu de fer arrels quadrades, (amb tres alumnes molt espavilats de 3r d’Eso, no tinc alumnes de Batxillerat) van trobar 500 xifres de l’arrel de 2, d’arrel de 3 i d’arrel de 5, els ordinadors de l’institut tenen poca memòria Ram i no en permeten més, després van editar amb el Word la pàgina htm de la Wiris i van copiar les xifres en un fitxer.
Llavors per comprovar que les xifres obtingudes eren correctes van anar a la pàgina web del Projecte Gutenberg on hi ha arxius que tenen registrades un milió de xifres d’aquest nombres.
Van quedar impressionats i possibles usuaris de la Wiris