Realitza els exercicis indicats amb ajut de les construccions.

1. De les teves investigacions, emplena la següent taula:

Indica tots els que són polígons regulars d'entre els que no superen els 17 costats.

2. Quants costats té un polígon (n,d) ?

3. Quantes voltes es donen al voltant del polígon incial fins que s'acaba la construcció d'un polígon (n,d) ?

4. Són (n,d) i (n,n-d) el mateix polígon? En què es diferencien?

5. Quantes interseccions de costats es produeixen en un polígon (n,d); és a dir, quants punts dobles té?

6. Podríen obtenir-se tots els polígons estrellats si demanem que d < n/2 ?

7.Quina relació s'ha de verficar entre els números naturals n i d per tal que pugui formar-se el polígon (n,d) ? Investiga els següents supòsits:

• k divideix a n.
• n i d tenen divisors comuns, però d no divideix a n.
• n i d primers entre ells.

8. En geometria un polígon regular de n costats es definieix com la figura geomètrica de n costats i n angles iguals, podríes donar una definició d'aquest tipus per al polígon estrellat (n,d) ?

9. Una estrella està formada per diversos polígons convexos o bé per diferents polígons estrellats. Quants costats té? Quants polígons formen una estrella? Prova diferents combinacions de n i d, i dóna una resposta general.

10.En la construcció de corbes per envolupants, investiga les figures que pots obenir si uneixes:

• El punt n amb el n + 5
• El punt n amb el n + 15
• Cada punt amb el seu triple (nefroide).

11.Quant mesura cadascun dels angles centrals d'un polígon estrellat? Pots trobar una fórmula general?

12.Determina el valor de l'angle del vèrtex segons els valors de n i d.

13. Determineu el valor de l'angle en la punta de l'estrella segons els valors de n i d.

14.Pots observar que quan deixem n fix segons s'incrementa d el polígon canvia la seva forma fent-se més o menys punxegut. Intenta descriure aquest comportament segons els valors de d i n.

15. Si a1, ... , ak són els factors primers del nombre n, el nombre N de polígons estrellats interns construïbles a partir del polígon regular de n costats (aquest inclós) vé donat per:



(és la meitat de l'indicador d'Euler de n). Verifica la validesa de la fórmula en els casos n = 3, ..., 12.

16.Construeix el següent fractal: a partir d'un quadrat i dividint cada costat en tres parts crea una reixa de 3 per 3 de la que has d'extreure el quadrat central, repetint el procés amb els quadrats que et resten obtens el fractal anomenat "tapís de Sierpinski".

17.Contesta les següents preguntes relacionades amb el triangle de Sierpinski.

• Sigui 1 l'àrea del triangle original. Quina àrea resta després de la fase 1? Quina àrea s'ha eliminat?
• Sigui 1 la longitud del costat del triangle original. Quin és el perímetre de la figura amb el triangle central eliminat?
• Repeteix aquestes preguntes a mesura que anem fent iteracions.
• Escriu la fórmula de l'àrea del triangle de Sierpinski després de n iteracions.
• Escriu la fórmula del perímetre del triangle de Sierpinski després de n iteracions.

18.De forma semblant als quadrats màgics poden construir-se altres figures màgiques.

• Posa deu dels dotze primers números en els punts del pentagrama, de manera que les sumes de tots els números situats en línia siguin iguals a 24.
• Posa els dotze primers números en els punts de l'estrella de David (hexagrama), de manera que els números alineats sumin 26.
• Fes el mateix amb l'heptagrama de manera que la constant màgica sigui 30.

tornar