Treball final de curs

El treball final de curs té dues parts diferenciades. La primera d'elles és de caire didàctic, i la segona està centrada en la realització de determinades construccions o investigacions geomètriques. 
 
    Treball didàctic

    En aquesta edició del curs es proposen tres temes dels quals cal elegir-ne un. El desenvolupament del tema ha de ser un conjunt de figures preparades, fitxes de treball, il·lustracions, exercicis complementaris, etc. i tot allò que es cregui necessari per treballar amb alumnes d'ESO el tema triat. Cal especificar amb quin nivell (de Primer a Quart) es farà, quins coneixements previs se suposen, si es farà dins del currículum comú o del variable, etc.

    Els temes proposats són:
     

        • TD1. Les simetries
        • TD2. Àrees de figures planes
        • TD3 La tangència recta - circumferència

     
     

    Treball geomètric 

    A continuació alguns suggeriments per a aquest treball. Podeu proposar-ne d'altres pel vostre compte, però aquests hauran de ser prèviament comunicats al professor tutor del curs perquè hi doni el seu vist-i-plau. 

    Estan classificats en tres categories:

           
          A) Treballs per a constructors
          B) Treballs per a investigadors
          C) Treballs per a navegants


    Tots els treballs han de presentar-se el més complets possible: han d'incloure figures i potser macroconstruccions, textos explicatius, etc. Tot el material en un fitxer comprimit XXXX_TG.ZIP.
     
     

    A. Treballs per a constructors

    A.1 Construccions amb inaccessibles

    Un punt és inaccessible si es coneix només com a intersecció de dues rectes i no s’hi pot posar el regle ni el compàs.

    Una recta és inaccessible si se’n coneixen dos punts, però els altres no es poden utilitzar. Una variant és el cas en què es pot utilitzar un segment.

    Es tracta de resoldre i il·lustrar les construccions següents: 

      • recta que passa per un punt ordinari i un punt inaccessible
      • intersecció d’una recta ordinària amb una recta inaccessible 
      • intersecció de dues rectes inaccessibles 
      • recta que passa per dos punts inaccessibles

        •  
    Les pistes són al llibre d’Argunov i Skorniakov citat a la bibliografia.
     

    A.2 Perspectives

     Elaboreu materials amb Cabri-Géomètre per il·lustrar gradualment els fonaments de la representació amb perspectiva. Podeu mirar les figures 2pt.fig i 3pt.fig proporcionades amb el programa original, per fer-vos una idea de per on va la qüestió.
     

    A.3 Retorn als orígens

    Preneu el llibre primer dels elements d’Euclides i prepareu amb Cabri-Géomètre les construccions que hi figuren, respectant les eines amb què Euclides treballava.
     

    A.4 La fàbrica de triangles

     És possible construir un triangle, entre moltes altres condicions, a partir de: 

          • dos costats i la mitjana sobre el tercer 
          • dos costats i la bisectriu de l’angle que formen 
          • dos costats i la diferència dels angles oposats 
          • un costat, un angle adjacent, i la suma dels altres dos costats 
          • un costat, l’altura sobre ell, i la suma dels altres dos costats 
          • un costat, l’angle oposat, i l’altura que va de l’un a l’altre 
          • un costat, la mitjana sobre ell, i l’angle oposat 
          • un costat, l’angle oposat, i la suma dels altres dos costats 
          • un costat, l’altura sobre ell, i la mitjana sobre ell 
          • un costat, i les distàncies dels seus extrems a l’ortocentre 
          • dos angles i el perímetre 
          • les tres mitjanes 
          • les tres altures 
          • dos angles i una mitjana 
          • dos angles i una altura 
          • dos angles i una bisectriu 
          • un angle, la suma dels costats que el formen i la suma de dos dels altres costats
          • un costat, un angle adjacent i la diferència dels altres dos costats.
          • un angle i les dues altures que surten dels altres vèrtexs.
          • els tres angles i les distàncies d'un punt interior als tres costats

            •  
    Prepareu com a mínim deu d'aquestes construccions.
     

    A. 5 L’àrbelos

     Preneu l’article de Martin Gardner citat a la bibliografia i adapteu-lo tot el possible a Cabri-Géomètre.
     

    A.6 El problema d’Apol·loni

     El problema d'Apol·loni és la construcció, amb regle i compàs, d'una circumferència determinada per les seves relacions amb tres objectes, que poden ser punts, rectes i circumferències, tenint en compte que: 

    • la relació amb un punt és "passar per ell", 
    • la relació amb una recta és "ser tangent a ella", 
    • la relació amb una circumferència és també "ser tangent a ella".

      •  
    Designant per P el cas punt, per R el cas recta, i per C el cas circumferència, es presenten deu variants del problema: 
       
      1. PPP circumferència que passa per tres punts. El problema és ben conegut, i la seva solució és la circumferència circumscrita al triangle que formen.
      2. PPR circumferència tangent a una recta i que passa per dos punts.
      3. PPC circumferència tangent a una circumferència i que passa per dos punts.
      4. RRR circumferència tangent a tres rectes. També és un problema conegut: és la circumferència inscrita al triangle que formen.
      5. RRP circumferència tangent a dues rectes i que passi per un punt.
      6. RRC circumferència tangent a dues rectes i a una circumferència.
      7. CCC circumferència tangent a tres. És el cas més "genèric" del problema.
      8. CCP circumferència tangent a dues circumferències i que passa per un punt.
      9. CCR circumferència tangent a dues circumferències i a una recta.
      10. CRP circumferència que passa per un punt i és tangent a una recta i a una circumferència.

      Aquests casos es subdivideixen en molts altres, segons les posicions particulars dels objectes que hi intervenen. Mireu de resoldre’n alguns de no trivials.
       

    Podeu trobar informació al llibre de Dörrie citat a la bibliografia.
     
     

    B. Treballs per a investigadors

    B.1 Quadrilàters de quadrilàters

     Les mediatrius dels costats d’un quadrilàter Q1 formen un quadrilàter Q2. Anàlogament a partir de Q2 es pot formar Q3.

     Estudieu la relació de Q1 i Q3.

     Estudieu la forma de Q2 i relacioneu-la amb la de Q1.

     Feu el mateix substituint les mediatrius per: 

      • les bisectrius 
      • les "mitjanes" que uneixen cada vèrtex amb el punt mitjà del costat oposat (com no és clar quin és l’"oposat" haureu de fer dos estudis, un quan el trieu "per l’esquerra" i un quan el trieu "per la dreta") 

        • les "altures" que són perpendiculars per cada vèrtex al costat "oposat", amb les mateixes precisions que en el cas anterior.
    B.2 Regularitzar la irregularitat
     
      B.2.1 Napoleon - Fermat
      Sobre cada costat d’un triangle qualsevol es construeix un triangle equilàter "cap a l’exterior". Estudieu:
      • el triangle format pels centres d’aquests triangles equilàters 
      • els segments que uneixen cada vèrtex lliure dels triangles equilàters i el vèrtex oposat del triangle inicial 
      • què passa si els triangles equilàters es construeixen cap a l’interior?

        •  
      B.2.2 Van Aubel
      Sobre cada costat d’un quadrilàter qualsevol es construeix un quadrat "cap a l’exterior". Estudieu:
      • els segments que uneixen els centres oposats d’aquests quadrats 
      • la forma dels quadrilàter format pels centres dels quadrats, en relació amb la del quadrilàter inicial 
      • què passa si els quadrats es construeixen cap a l’interior? 
      • què passa si en lloc de quadrats es construeixen rectangles semblants? 
      • què passa si en lloc de quadrats es construeixen rombes semblants?

        •  
      B.2.3Vecten
      Sobre cada costat d’un triangle qualsevol es construeix un quadrat "cap a l’exterior". Estudieu:
      • els segments que uneixen els centres dels quadrats i els vèrtexs oposats del triangle original 
      • els punts notables del triangle dels centres dels quadrats

        •  
      B.2.4 ????
      Per simetria, falta una figura. Vosaltres mateixos...

     

    B.3 La recta de Simson (o de Wallace)

     Si projecteu ortogonalment un punt P de la circumferència circumscrita a un triangle sobre els tres costats, veureu que les tres projeccions estan alineades formant la recta de Simson de P.

     Estudieu: 

    • els simètrics de P respecte dels costats del triangle 
    • les rectes de Simson dels extrems d’un diàmetre 
    • l’angle que formen les rectes de Simson de dos punts 
    • el triangle que formen les rectes de Simson de tres punts 
    • la relació de la recta de Simson amb l’ortocentre del triangle 
    • l’angle que formen les rectes de Simson d’un punt respecte de dos triangles amb la mateixa circumferència circumscrita

      •  

       
       
       
       
       
       
       
       
       

    B.4 Incentre i excentres

     Els segments que uneixen cada vèrtex d’un triangle amb el punt de contacte d’una circumferència exinscrita amb el costat oposat són concurrents en un punt anomenat punt de Nagel.

     Recordeu que la circumferència inscrita al triangle mitjà és la circumferència de Spieker i el seu centre és el punt de Spieker.

     Estudieu: 

    • la posició del punt de Nagel respecte dels punts notables del triangle 
    • la posició del punt de Nagel respecte del triangle mitjà 
    • la posició del punt de Spieker respecte dels punts notables del triangle 
    • la posició del punt de Spieker respecte del triangle dels excentres 
    • les tangents comunes a la circumferència inscrita i a la circumferència de Spieker 
    • el centre radical de les tres circumferències exinscrites 
    • els punts notables del triangle dels excentres 
    • la relació entre l’incentre, els excentres i la circumferència circumscrita

      •  

       
       
       
       
       
       
       
       
       

    B.5 Triangles inscrits i circumscrits

     Si es tracen la circumferència circumscrita CC a un triangle i la circumferència inscrita CI al mateix triangle, llavors qualsevol triangle circumscrit a CI és inscrit en CC. Mostreu-ho.

     Els llocs geomètrics dels baricentres i dels ortocentres de tots els triangles simultàniament circumscrits a CI i inscrits en CC són dues circumferències. Estudieu-les amb el màxim detall.
     
     

    B.6 La transformació de Newton

     Siguin C i D dues corbes, i O un punt pel qual es tracen dos eixos perpendiculars. Cada raig que surt d’O talla C en A i D en B. Siguin X i Y dos punts tals que XAYB sigui un rectangle. Llavors els llocs geomètrics de X i Y al variar el raig són dues corbes que s’anomenen les transformades de Newton de C i D.

    Quan D és una recta paral·lela a un eix només hi ha una transformada de Newton que s’anomena hiperbolisme de C. Recíprocament, C és l’antihiperbolisme d’aquesta corba.

     Estudieu la transformació de Newton de: 

    • dues circumferències 
    • dues rectes 
    • una circumferència i una recta

      •  
    Tingueu en compte les posicions relatives de les dues corbes originals entre elles, en relació als eixos, i la posició del punt O.

     En particular, estudieu l'hiperbolisme i l’antihiperbolisme d’una recta i d’una circumferència, d’acord amb la posició d’O i de la recta D.

     També podeu estudiar  les hiperbolismes de les còniques.
     
     

    C. Treballs per a navegants

    Adreceu-vos a una d'aquestes pàgines web i exploreu-la. Totes elles contenen diverses figures amb Cabri o en Java: descarregueu-les (si es deixen, i si no reproduïu-les), traduïu-les si cal, expliqueu-les i comenteu-les. Amb una sola web és suficient, però possiblement us vindrà de gust mirar-les totes.

    C1. http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html 
           (en anglès)

    C2. http://www.macchinematematiche.unimo.it/Sito_Macchine/Materiale/
            materiale_macchine/tesi_Dinelli/indice.htm
           (en italià)

    C3. http://www15.addr.com/~dscher/
           (en anglès)

    C4. http://www.irem.univ-montp2.fr/archi/
           (en francès)

    C5. http://terra.es/personal/joseantm/Mecan/mecpral3.htm
           (en castellà)

    C6. http://pages.infinit.net/cabri/CabriOscope/cabrioscope.index.html
           (en francès)

    C7. http://www.ac-nantes.fr/peda/disc/math/lgallard/doc8/accueil.htm
          (en francès)

    C8. http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/atividades/ativ18/ativ18.htm
          (en portuguès)