Portada Racó
 

En aquesta pàgina del Racó de la Wiris es proposaran activitats de resolució de problemes o d'elaboració de programes a fi i efecte d'animar a l'intercanvi d'idees per "treure tot el suc" de la calculadora Wiris...
cosa que, en un aspecte més didàctic i no tan lúdic, també faran totes les persones que participen en el
curs D112.

A aquestes persones del curs D112 els dediquem les dues noves propostes (problemes 7 i 8). Aquelles i aquells que ja coneixíeu aquesta pàgina trobareu com a novetat en aquesta actualització de la pàgina les solucions rebudes per als problemes 4, 5 i 6.

Podeu participar...

  • enviant solucions als problemes proposats; encara que ja hagin rebut solucions resten sempre oberts a noves idees per a la solució
  • i també aportant nous suggeriments de reptes que publicarem per veure si algú ens envia la solució!

Ànim! Esperem la vostra col·laboració!


Índex de problemes plantejats

Problema 11: Un problema d'aritmètica [nou]
Problema 10: Una pregunta sense resposta (de moment) [nou]
Problema 9: La lletra del DNI [nou]
Problema 8: Quant de temps ha passat? [pendent]
Problema 7: Nombres molt compostos. [pendent]
Problema 6: Dibuixeu la nostra portada!  [solucions]
Problema 5: Feliç 2004!    [solucions]
Problema 4: Sabríeu continuar el triangle?   [solucions]
Problema 3: Juguem a tres en ratlla? (primers intents)
Problema 2: Problema bovinum (Arquimedes)  [solucions]
Problema 1: La llei d'Hondt  [solucions]


 

11. Un problema d'aritmètica

Comproveu que si m és un nombre imparell i feu la divisió de mm per m+1...

  • el residu és m
  • el quocient és divisible per m i per m-1.
  • el resultat de dividir el quocient per m·(m-1) és la suma de mi per als valors de i del conjunt
    {0, 2, 4, ..., m-3}

10. Una pregunta sense resposta: punts a distància entera

A través de la bústia del Racó de la Wiris ens han fet arribar una pregunta que transcrivim seguidament... de la qual encara no en sabem la resposta! A veure si la trobem entre totes i entre tots!

  • Ja sabem que, si hi ha la malla visible, els punts només es poden moure pels vèrtexs del reticulat. Però, com ho podríem fer perquè un punt mòbil només es pogués moure per punts que estiguin a una distància de l'origen que sigui un nombre enter d'unitats?

Ànim, a investigar!


9. La lletra del DNI

Us proposem que apliqueu els recursos de la Wiris per fer un exercici que ja comença a esdevenir "un clàssic" en les lliçons d'iniciació a la programació: heu d'entrar el número del DNI i el programa ha de contestar la lletra del NIF.

L'entrada prioritària del Google per aquest tema ho explica així (sic):

  • El procedimiento empleado para el cálculo consiste en hallar el módulo (o resto) de dividir el DNI por 23, es decir, dividir el DNI entre 23, eliminar los decimales y el número resultante multiplicarlo por 23, para finalmente calcular la diferencia entre el DNI y este número. El número resultante (comprendido entre 0 y 22) tiene una letra asignada. La secuencia no es correlativa; es la siguiente:

T R W A G M Y F P D X B N J Z S Q V H L C K E


8. Quant de temps ha passat?

Us proposem que si entreu al principi d'una finestra de Wiris dues llistes que representin dates (dia/mes/any),

feu un programa que:

  • controli, si escau, la correcció de les dades entrades (o "d'algunes" dades entrades)
  • en una primera versió ens digui quants anys i mesos complerts han passat de la primera data a la segona
                              
  • I, si teniu ganes de "més refinament", podeu fer-li comptar quants anys, mesos i dies han passat.
                            

Ànim! Esperem les vostres propostes!


7. Els nombres molt compostos

Direm que un nombre natural positiu, N, és molt compost si N té més divisors que qualsevol altre nombre natural positiu n que sigui n < N.

Us proposem que feu un programa amb dues variants...

  • que ens digui si un nombre és o no molt compost
  • que escrigui una llista de nombres molt compostos

Ànim, que no és gaire complicat i hi trobareu uns nombres ben coneguts!


6. Dibuixeu la nostra portada!

La portada del Racó de la Wiris mostra un tauler gràfic amb el dibuix del logotip de la Wiris i "la capçalera" de la pàgina. També es veu un fragment del codi que serveix per a elaborar aquest gràfic.

Sabríeu completar el codi per dissenyar "la nostra portada"... o, alternativament, podríeu dissenyar el mateix gràfic però d'una altra manera?

Ànim!

    • Haureu d'investigar bé la comanda arc i les opcions de dibuix que s'hi poden aplicar

5. Feliç 2004!

Com a resposta a una Nadala on desitjava "Feliç 2004!" em van contestar: "Segurament que no hi arribarem a l'any 2004!"

Havien "fet veure" que entenien l'any 2004 factorial. I és clar, a aquest no hi arribarem!

Per cert...

  • La Wiris escriu el nombre 2004! amb totes les xifres. Us proposem que compteu amb la Wiris quantes xifres té 2004!
  • I si anem una mica més enllà i hi afegim un 0, a veure si també podeu comptar quantes xifres té 20004!
    • Anirem publicant les solucions rebudes... i buscarem la manera d'arribar a dir "de totes les propostes que hem rebut, el programa que calcula més ràpidament el nombre de xifres de 20004! és...
    • ... amb el benetès que, naturalment, la manera més ràpida d'arribar a la resposta és aplicar la fórmula de Stirling:
                                        
      però no és d'això del que es tracta sinó de copsar la possiblitat de la Wiris de treballar exactament amb enters llargs ("molt i molt llargs", fins i tot) i de fer un exercici de programació.

4. Un problema de programació: sabríeu continuar el triangle?

Quina llista de nombres hauria d'aparèixer a la fila següent en el triangle numèric que teniu a la figura?

    • Aquest problema es troba plantejat perJean-Paul Delahaye (premi d'Alembert 1998) al llibre Jeux mathématiques et mathématiques des jeux (1998) BELIN, Bibliothèque pour la Science. Paris. (edicions del Museu de la Ciència de la Villete). Podeu llegir "la clau" d'interpretació del triangle numèric que ens ocupa.

Us proposem que elaboreu un programa amb la calculadora Wiris que, donada una llista de nombres naturals construeixi la nova llista que es dedueix a partir de la llista donada seguint els criteris d'elaboració del triangle numèric anterior.


3. Un gràfic amb resposta: Juguem a tres en ratlla?

Al Racó de la Wiris va arribar la pregunta:

  • creieu que es podria ensenyar a la WIris a jugar al tres en ratlla? Seria un bon exercici de gràfic amb resposta combinat amb potents idees de programació.

A fe de Déu que serà un bon exercici! Des de la coordinació del Racó tenim l'esperança que arribarem a fer que la resposta sigui ""...

...i us proposem que hi anem avançant. Així quan publiquem les solucions d'aquests primers reptes si alguns o algunes us afeccioneu a resoldre aquest repte, potser entre totes i entre tots arribarem a tenim una bonica versió del tres en ratlla per jugar "amb la Wiris" o bé "contra la Wiris".

  • Primera proposta: escriviu el codi d'una pantalla activa de Wiris que dibuixi un engraellat de 3x3 i a més 3 fitxes que inicialment estaran situades a fora de l'engraellat però que l'usuari o la usuària podran moure pel tauler gràfic fins que ocupin caselles de l'engraellat. Haureu de fer que la Wiris escrigui un missatge "tres en ratlla!" quan això sigui cert (i amb el benentès que han de ser tres fitxes en ratlla en tres caselles diferents)

  • Segona proposta ("comencem nosaltres"): escriviu el codi d'una pantalla activa de Wiris que dibuixi un engraellat de 3x3 i a més 1 fitxa que inicialment estarà situada a fora de l'engraellat. Els usuaris mourem aquesta fitxa "nostra" pel tauler gràfic fins que ocupi una casella de l'engraellat i la màquina haurà de dibuixar tot seguit "la seva tirada" (és a dir, haurà de dibuixar en una altra casella de l'engraellat una fitxa "seva", de manera consistent per continuar el joc de "tres en ratlla" de la millor manera possible.)

  • Segona proposta alternativa ("comença la màquina"): escriviu el codi d'una pantalla activa de Wiris que dibuixi un engraellat de 3x3 i a més 1 fitxa "nostra" que inicialment estarà situada a fora de l'engraellat.
    Com que primer tira la màquina i juga bé, dibuixeu una "fitxa de la màquina a la casella central".
    Els usuaris mourem llavors la "nostra" fitxa pel tauler gràfic fins que ocupi una casella de l'engraellat i la màquina haurà de dibuixar tot seguit "la seva segona tirada" (és a dir, haurà de dibuixar en una altra casella lliure de l'engraellat la segona fitxa "seva", de manera que continui jugant bé el joc de "tres en ratlla".)
      • El dia 30 de gener de 2004 publicarem les solucions rebudes. Així podrem afrontar nous reptes en el context de la proposta que ens van fer ¿Podria la Wiris aprendre a jugar a tres en ratlla?

      • Però, tanmateix, primer n'hem de saber nosaltres. Si voleu referències del tres en ratlla a la xarxa podeu consultar la pàgina del professor Ramon Bernaus (IES RIbera del Sió, Agramunt) on trobareu moltes coses interessants, o bé aquesta altra que exposa la variant del joc qu epotser per a molts i moltes era "la més clàssica".
        Us demanem que, a més de la solució a les propostes plantejades, ens envieu l'explicació de com jugàveu vosaltres a tres en ratlla quan èreu mainada?

2. Problema bovinum
(El ramat de bous i vaques del déu del sol) (Arquimedes)

 

El déu del sol tenia un ramat format per bous i vaques. Una part dels animals del ramat eren de color blanc, una altra part de color negre, també n'hi havia amb taques i, finalment, la resta eren de color marró.

El nombre de bous blancs superava el nombre de bous marrons en la meitat més la tercera part del nombre de bous negres.
El nombre de bous negres superava el nombre de bous marrons en la quarta part més la cinquena part del nombre de bous tacats.
El nombre de bous tacats superava el nombre de bous marrons en la sisena part més la setena part del nombre de bous blancs.

El nombre de vaques blanques coincidia amb la tercera part més la quarta part del nombre total d'animals negres del ramat.
El nombre de vaques negres era la quarta part més la cinquena part del nombre total d'animals del ramat amb taques.
El nombre de vaques tacades coincidia amb la cinquena part més la sisena part del nombre total d'animals del ramat de color marró.
El nombre de vaques de color marró igualava la sisena part més la setena part del nombre total d'animals del ramat de color blanc.

Quina era la composició del ramat? Això, sí, a més sabeu que...

  • el déu del sol tenia el seu ramat a Sicília, pàtria d'Arquimedes
  • no més de la desena part de la superfície de l'illa es pot dedicar al pasturatge
  • que un bou o una vaca del ramat del déu del sol necessiten per viure un mínim de 50 m2 de pastures


    • Publicarem les solucions rebudes a partir del dia 10 de desembre de 2003. Veureu que és un bonic exemple de resolució d'un sistema indeterminat que, amb la condició diofàntica que els nombres de bous i els de vaques han de ser enters esdevé determinat.

    • El problema plantejat és el primer que es troba en un llibre excel·lent. "100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their history and solution". Heinrich Dörrie. El mateix autor posa en dubte que el problema sigui realment una proposta inicial d'Arquimedes, però en canvi és partidari de la idea que, amb unes condicions afegidess [que potser ja comentarem en una altra ocasió i que introdueixen equacions de segon grau], sí que caldria atribuir el problema a Arquimedes.

 


1. La llei d'Hondt

Ara que és un tema de plena actualitat, us proposem d'elaborar un programa que demani el nombre de vots que ha tingut cada partit que participa en unes eleccions i el nombre d'escons a adjudicar...

...i que respongui el nombre d'escons que corresponen a cada partit. Per exemple:

  • La llei d'Hondt

  • Algunes idees que poden ser útils

    [publicarem les solucions rebudes a partir del dia 24 de novembre de 2003; en l'entorn proposat s'admeten totes les variants i millores que puguin semblar interessants]



Solucions rebudes

1. Solucions a la llei d'Hondt

La primera solució que hem rebut l'ha enviada Anna Isabel Fuster Calzón, IES Sant Andreu (Barcelona).
Serveix per al cas que participin cinc partits[*]

 


2. Solucions al problema bovinum

La millor solució que hem rebut l'ha enviada Elisabet Saguer de l'IES Vicens Vives de Girona.
Podeu veure que si es canvien els nombres de l'enunciat segueix funcionant.

També ha enviat la seva solució Anna Isabel Fuster Calzón, IES Sant Andreu (Barcelona)
.
Pere Vilardell (Col·legi PIVE, Tona) n'ha enviat una altra (esperem la versió amb Wiris!) on vol aprofitar la dada de la superfície de Sicília per trobar la solució. Tanmateix l'autor només afegia aquesta dada per deduir quina de les moltes possibles solucions del sistema indeterminat s'havia de triar. Només amb la que té els valors més petits possibles "els bous i les vaques caben a Sicília."


4. Solucions al triangle numèric

La professora Elisabet Saguer de l'IES Vicens Vives de Girona ha fet més feina de la que li demanàvem i ens ha enviat:

  • La solució al repte plantejat: quina llista numèrica "descriu" una altra llista donada?
  • La generalització del problema: l'escriptura de les successives llistes que es van generant a partir d'una llista donada.

5. Solucions al Feliç 2004!

Per comptar el nombre de xifres de 2004! i també de 20004! hem rebut aquestes solucions:

I encara queda obert el repte de trobar una manera de comptar les xifres que no faci servir logaritmes!


6. Solucions al dibuix del logotip

La professora Ester Cazcarra de l'IES Collserola de Barcelona ens ha enviat la seva solució.