-
La funció lineal
 0. Introducció

Aquest és un guió interactiu, per aprendre conceptes bàsics sobre les rectes.

Si hi han preguntes, és necessari que les respongueu correctament per poder seguir endavant amb el guió.

Entendre els conceptes que es plantegen, és molt important per resoldre bé els problemes de teoria.

És molt recomanable que feu servir aquesta eina, per aclarir dubtes i prendre apunts.
La funció lineal
 1. Un sol punt

Imaginem que tenim un punt (x=2, y=3), i volem dibuixar una recta que passi pel seu damunt.
La funció lineal
 1. Un sol punt
Imaginem que tenim un punt (x=2, y=3), i volem dibuixar una recta que passi pel seu damunt.

Podem dibuixar una recta qualsevol, que passi per sobre d'aquest punt.
La funció lineal
 1. Un sol punt
Imaginem que tenim un punt (x=2, y=3), i volem dibuixar una recta que passi pel seu damunt.

Podem dibuixar una recta qualsevol, que passi per sobre d'aquest punt.

Fixa't que en podem dibuixar una altre que passi per sobre del mateix punt.
La funció lineal
 1. Un sol punt
Imaginem que tenim un punt (x=2, y=3), i volem dibuixar una recta que passi pel seu damunt.

Podem dibuixar una recta qualsevol, que passi per sobre d'aquest punt.

Fixa't que en podem dibuixar una altre que passi per sobre del mateix punt.

I encara en podem dibuixar una altre de diferent, perquè en realitat hi ha moltes rectes que passen per sobre d'aquest punt.
La funció lineal
 2. Dos punts
Ara imaginem que tenim dos punts (x=3, y=-2 i x=-4, y=3), i volem dibuixar una sola recta que passi pel seu damunt.
La funció lineal
 2. Dos punts
Ara imaginem que tenim dos punts (x=3, y=-2 i x=-4, y=3), i volem dibuixar una sola recta que passi pel seu damunt.

Podem dibuixar una línia que passi per sobre d'aquests dos punts.
La funció lineal
 2. Dos punts
Ara imaginem que tenim dos punts (x=3, y=-2 i x=-4, y=3), i volem dibuixar una sola recta que passi pel seu damunt.

Podem dibuixar una línia que passi per sobre d'aquests dos punts.

Podem dibuixar una altre línia diferent que passi per sobre d'aquests dos punts?


Si
No
La funció lineal
 2. Dos punts
Ara imaginem que tenim dos punts (x=3, y=-2 i x=-4, y=3), i volem dibuixar una sola recta que passi pel seu damunt.

Podem dibuixar una línia que passi per sobre d'aquests dos punts.

Podem dibuixar una altre línia diferent que passi per sobre d'aquests dos punts?


Podem dibuixar altres línies, que poden passar (o no) per sobre d'algun d'aquests punts, però només hi ha una recta que passi alhora per sobre d'aquests dos punts.
La funció lineal
 3. Tres o més punts
Ara imaginem que tenim tres punts (x=-4, y=2 ; x=2, y=3 i x=4, y=-6), podem dibuixar una sola recta que passi pel damunt de tots tres punts alhora?


Si
No
La funció lineal
 3. Tres o més punts
Ara imaginem que tenim tres punts (x=-4, y=2 ; x=2, y=3 i x=4, y=-6), podem dibuixar una sola recta que passi pel damunt de tots tres punts alhora?


Només podem dibuixar una recta que passi per sobre de tres o més punts, si aquests punts estan alineats entre ells.
La funció lineal
 4. Equació de la recta
La funció lineal amb una única variable independent x, es sol escriure així :

     y = mx + b

Per exemple, la funció f(x) = 2x + 3 segueix aquesta estructura.

     y = 2x + 3
     m = 2
     b = 3
La funció lineal
 4. Equació de la recta
Anem a trobar alguns punts d'aquesta funció.

     y = 2x + 3
La funció lineal
 4. Equació de la recta
Anem a trobar alguns punts d'aquesta funció.

     y = 2x + 3


x=-6 : y = 2 * (-6) + 3 = -12 + 3 = -9
La funció lineal
 4. Equació de la recta
Anem a trobar alguns punts d'aquesta funció.

     y = 2x + 3


x=-6 : y = 2 * (-6) + 3 = -12 + 3 = -9
x=-4 : y = 2 * (-4) + 3 = -8 + 3 = -5
La funció lineal
 4. Equació de la recta
Anem a trobar alguns punts d'aquesta funció.

     y = 2x + 3


x=-6 : y = 2 * (-6) + 3 = -12 + 3 = -9
x=-4 : y = 2 * (-4) + 3 = -8 + 3 = -5
x=-1 : y = 2 * (-1) + 3 = -2 + 3 = 1
La funció lineal
 4. Equació de la recta
Anem a trobar alguns punts d'aquesta funció.

     y = 2x + 3


x=-6 : y = 2 * (-6) + 3 = -12 + 3 = -9
x=-4 : y = 2 * (-4) + 3 = -8 + 3 = -5
x=-1 : y = 2 * (-1) + 3 = -2 + 3 = 1
x= 0 : y = 2 * ( 0) + 3 = 0 + 3 = 3
x=+2 : y = 2 * (+2) + 3 = +4 + 3 = 7
x=+3 : y = 2 * (+3) + 3 = +6 + 3 = 9
La funció lineal
 4. Equació de la recta
Anem a trobar alguns punts d'aquesta funció.

     y = 2x + 3


x=-6 : y = 2 * (-6) + 3 = -12 + 3 = -9
x=-4 : y = 2 * (-4) + 3 = -8 + 3 = -5
x=-1 : y = 2 * (-1) + 3 = -2 + 3 = 1
x= 0 : y = 2 * ( 0) + 3 = 0 + 3 = 3
x=+2 : y = 2 * (+2) + 3 = +4 + 3 = 7
x=+3 : y = 2 * (+3) + 3 = +6 + 3 = 9

Si els unim, veiem que formen una recta.
La funció lineal
 5. Desplaçament de la recta
Què creus que passarà si canviem el (+3) per un (+5), és a dir si canviem y = 2x + 3 per y = 2x + 5?


La recta anirà cap a amunt
La recta anirà cap a avall


Recorda, per y = 2x + 3

x=-1 : y = 2 * (-1) + 3 = -2 + 3 = 1
x= 0 : y = 2 * ( 0) + 3 = 0 + 3 = 3
La funció lineal
 5. Desplaçament de la recta
Què creus que passarà si canviem el (+3) per un (+5), és a dir si canviem y = 2x + 3 per y = 2x + 5?


Si augmentem el valor del paràmetre b de l'equació de la recta (y = ax + b), la recta es desplaça cap a amunt.

Per la recta y = 2x + 3 :

x=-1 : y = 2 * (-1) + 3 = -2 + 3 = 1
x= 0 : y = 2 * ( 0) + 3 = 0 + 3 = 3

Per la recta y = 2x + 5 :

x=-1 : y = 2 * (-1) + 5 = -2 + 5 = 3
x= 0 : y = 2 * ( 0) + 5 = 0 + 5 = 5
La funció lineal
 5. Desplaçament de la recta
Com ho podem fer per què la recta se'n vagi cap a la dreta? (y = ax + b)


Augmentar el valor de b
Disminuir el valor de b
Canviar el valor de a
La funció lineal
 5. Desplaçament de la recta
Si disminuim el valor de b (y = ax + b), la recta anirà cap avall i ens crearà l'efecte d'un desplaçament cap a la dreta.


Per la recta y = 2x + 3 :

x=-1 : y = 2 * (-1) + 3 = -2 + 3 = 1
x= 0 : y = 2 * ( 0) + 3 = 0 + 3 = 3

Per la recta y = 2x + 5 :

x=-1 : y = 2 * (-1) + 5 = -2 + 5 = 3
x= 0 : y = 2 * ( 0) + 5 = 0 + 5 = 5

Per la recta y = 2x - 7 :

x=-1 : y = 2 * (-1) + 7 = -2 - 7 = -9
x= 0 : y = 2 * ( 0) + 7 = 0 - 7 = -7
La funció lineal
 5. Pendent de la recta
El pendent és la inclinació de la recta respecte els eixos de coordenades.

Aquesta senyal informe d'un pendent molt gran:


En aquesta altre senyal gairebé no hi ha pendent
(és molt pla):
La funció lineal
 5. Pendent de la recta
Què hem de fer perquè aquesta recta sigui més plana?

(Recorda : y = mx + b)


Canviar el terme m per un valor més gran
Canviar el terme m per un valor més proper a 0
Canviar el terme b per un valor negatiu


Recorda, per y = 2x + 3

x=-1 : y = 2 * (-1) + 3 = -2 + 3 = 1
x= 0 : y = 2 * ( 0) + 3 = 0 + 3 = 3
La funció lineal
 5. Pendent de la recta
Per fer que una recta sigui més plana hem d'acostar el valor de m a 0.

(Recorda : y = mx + b)


Per la recta y = 2 * x + 3
x=-1 : y = 2 * (-1) + 3 = -2 + 3 = 1
x= 0 : y = 2 * ( 0) + 3 = 0 + 3 = 3

Per la recta y = 1 * x + 3 :
x=-1 : y = 1 * (-1) + 3 = -1 + 3 = 2
x= 0 : y = 1 * ( 0) + 3 = 0 + 3 = 3

Per la recta y = 0 * x + 3 :
x=-1 : y = 0 * (-1) + 3 = 0 + 3 = 3
x= 0 : y = 0 * ( 0) + 3 = 0 + 3 = 3
La funció lineal
 5. Pendent de la recta
Què hem de fer perquè aquesta recta sigui decreixent?

(Recorda : y = mx + b)


Canviar el terme m per un valor més gran
Canviar el terme m per un valor més proper a 0
Canviar el terme b per un valor negatiu


Recorda, per y = 2x + 3

x=-1 : y = 2 * (-1) + 3 = -2 + 3 = 1
x= 0 : y = 2 * ( 0) + 3 = 0 + 3 = 3
La funció lineal
 5. Pendent de la recta
Per fer que una recta sigui decreixent, hem de donar un valor negatiu a m.

(Recorda : y = mx + b)


Per la recta y = 2 * x + 3
x=-1 : y = 2 * (-1) + 3 = -2 + 3 = 1
x= 0 : y = 2 * ( 0) + 3 = 0 + 3 = 3

Per la recta y = -1 * x + 3 :
x=-1 : y = -1 * (-1) + 3 = 1 + 3 = 4
x= 0 : y = -1 * ( 0) + 3 = 0 + 3 = 3

Per la recta y = -3 * x + 3 :
x=-1 : y = -3 * (-1) + 3 = 3 + 3 = 6
x= 0 : y = -3 * ( 0) + 3 = 0 + 3 = 3
La funció lineal
 6. Fi