Teoria dièdric

TEORIA DE DIÈDRIC

Representació d’un punt: Quan existeix un punt A a l’espai, aquest el projectem perpendicularment als plans de projecció, la representació al pla horitzontal l’anomenarem A’, al vertical A’’ i si ho fessim també al pla de perfil seria A’’’. La distància entre projeccions d’un mateix punt pot ser qualsevol.
Per anomenar els punts utilitzarem lletres majúscules i preferiblement de la primera meitat de l’alfabet.

Si girem el pla de perfil i el pla horitzontal sobre el pla vertical, totes les vistes del cos s'hauran col·locat en el pla vertical de projecció, de manera que es treballarà en un sol pla, el pla vertical .

- Reglades desenvolupades: Es poden desenvolupar sobre un pla, sense que es produeixi trencament. El grup es subdivideix en superfícies radials i polièdriques.

Són cossos geomètrics limitats per un conjunt finit de polígons (quatre o més), anomenats cares. Els costats dels polígons són les arestes del políedre, i els punts extrems, els vèrtex. Cadascun dels costats que formen aquesta figura geomètrica pertany a dos polígons consecutius, és a dir, cada una de les seves arestes forma part de dues de les cares que constitueixen un políedre sencer.

- L'angle que formen dues cares s'anomena angle pla.

És aquell que té per vèrtex un punt de cadascuna de les cares d'un altre políedre. El nombre de vèrtex del primer, és igual al nombre de cares del segon.

- Tetràedre: Concorren tres triangles equilàters en un vèrtex.

- Octàedre: Concorren quatre triangles equilàters en un vèrtex.

- Icosàedre: Concorren conc triangles equilàters en un vèrtex.

	TEORIA DE DIÈDRIC

Index - Pag. principal - Temes - Teoria Dièdric

	EL SISTEMA DIÈDRIC
	El sistema dièdric és el sistema de projecció cilíndrica ortogonal més utilitzat i rigorós de la geometria descriptiva per a la representació i la resolució gràfica en el pla de figures tridimensionals.

	Els plans de projecció: En el sistema dièdric treballem, normalment, amb dues projeccions de l'objecte que s'ha de representar: una projecció que anomenem horitzontal o planta, sobre un pla horitzontal de projecció (PH), i una projecció que anomenem projecció vertical o alçat, que s'efectua sobre un pla vertical (PV). El PH i el PV són plans perpendiculars entre si.
	De vegades, però, perque l'objecte quedi ben definit, utilitzem una tercera projecció, sobre un pla perpendicular als dos anteriors que anomanem pla de perfil (PP). la seva projecció s'anomena perfil.


	Quan dibuixem, les projeccions les fem coincidir sobre un mateix pla, a una distància indeterminada l'una de l'altre i sempre buscant la claredat del dibuix i sense perdre la correlació entre vistes d'un mateix objecte.




	Aplicació: El sistema dièdric és el que treballa més fàcilment amb veritables magnituds dels objectes. Aquesta raó fa que sigui el sistema més utilitzat.

	Representació d’un punt: Quan existeix un punt A a l’espai, aquest el projectem perpendicularment als plans de projecció, la representació al pla horitzontal l’anomenarem A’, al vertical A’’ i si ho fessim també al pla de perfil seria A’’’. La distància entre projeccions d’un mateix punt pot ser qualsevol. Per anomenar els punts utilitzarem lletres majúscules i preferiblement de la primera meitat de l’alfabet. Si tenim dos punts a representar, hi ha d’haver unes coordenades relatives entre ells. Si prenem el punt A com a referència del B, la diferència entre projeccions horitzontals ens permet parlar d’allunyament relatiu (y), i la diferència entre projeccions verticals s’anomena cota relativa (z). Si aquests dos punts els projectessim al pla de perfil, la diferència de posició seria la desviació relativa (x). Representació de la recta: La projecció d’una recta en l’espai es concreta a partir de les projeccions horitzontals i verticals (r’ i r’’), que es determinen per dos punts (A’-A’’, B’-B’’). Les rectes es designen amb lletres minúscules.Podem determinar una recta quan tenim dos punts, els punts que pertanyen a una recta, han de pertanyer també a la seva projecció horitzontal i vertical. Per tant el punt P pertany a la recta r, quan el punt P’ està sobre la r’ i el punt P’’ sobre la r’’.Podem agrupar les diferents posicions de rectes segons si són oblíques o tenen una posició favorable. Les rectes oblíques no tenen cap posició especial respecte als plans de projecció, les seves projeccions horitzontals i verticals són oblíques. Les posicions favorables tenen una posició de paral·lelisme o perpendicularietat en relació amb algun plà de projecció, tenen una projecció en VM. Posicions relatives entre rectes: - Paral·leles: dues rectes r i s són paral·leles si segueixen la mateixa direcció. Tindan sempre les seves projeccions paral·leles. - Es tallen: quan dues rectes es tallen en l’espai, vol dir que tenen un punt en comú. - Es creuen: dues rectes es creuen quan en una projecció les rectes són coincidents mentre que en una altra un d’aquests punts té un allunyament relatiu respecta l’altre. Posicions de la recta Representació del plà: Els plans són superfícies planes indefinides, però per delimitar-lo normalment utilitzem algun poligon. També podem utilitzar tres punts no alineats, una recta i un punt exterior, dues rectes que es tallin o bé dues rectes paral·leles.Diem que una recta pertany a un plà quan almenys dos punts de la recta hi pertanyen. Un punt pertany a un plà quan pertany a alguna recta d’aquest plà.








	Les vistes: Una aplicació del sistema dièdric és el sistema de vistes que s’utilitza per la representació dels objectes tridimensionals en dos o més plans de projecció. Ens imaginem una peça dins un cub i projectem cada una de les cares ortogonalment sobre les cares del cub. Si desplaguem el cub obtindrem sis vistes de la peça, la disposició lògica d’aquestes projeccions és el sistema de vistes. Anomenem les vistes: - Vista primera. Alçat: vista principal de l’objecte, és la mes representativa i la que ens aprotarà més informació, les característiques formals de l’objecte. - Vista segona. Planta o vista superior: és la projecció des de dalt en relació amb l’alçat. - Vista tercera. Perfil esquerre o lateral esquerre: projecció des de l’esquerra de l’alçat. - Vista quarta. Perfil dret o lateral dret: projecció des de la dreta de l’alçat. - Vista cinquena. Vista inferior: projecció des de baix en relació l’alçat. - Vista sisena. Vista posterior o alçat posterior: és l’oposada a l’alçat S’ha de tenir en compte quan es dibuixa el sistema dièdric: - La representació dels talls, les seccions i les arestes ocultes es dibuixen amb una linia discontínua. - Les vistes han d’estar alineades i a la mateixa distància - S’ha de dibuixar la figura amb el mínim de vistes possibles, s’han de dibuixar les mes representatives. Normalment dues o tres. - S’ha d’explicar perfectament la forma de les peces i les seves magnituds d’altura, amplada i profunditat.

	S'ha de tenir en compte quan es dibuixa el sistema dièdric: - S'ha d'explicar perfectament la forma de les peces i les seves magnituds d'altura, amplada i profunditat. - La posició del observador respecte als plans de projecció ha de facilitar la interpretació de la peça, per tant, la cara principal de la peça ha posar-se paral·lela a un dels plans principals de projecció (pla vertical o horitzontal de projecció). D'aquesta manera se'n simplifiquen les vistes.

	- L'observador o dibuixant s'ha de col·locar de manera que el cos estigui entre ell i el pla de projecció i que la direcció d'observació sigui ortogonal als plans de projecció. - L'observador o dibuixant traça sobre el pla de projecció i amb línia gruixuda les línies vistes que corresponen a les arestes visibles de la peça i amb línia discontinua, les parts amagades. Aquests contorns i arestes amagats queden dibuixats en el cos com si aquest fos transparent. Si girem el pla de perfil i el pla horitzontal sobre el pla vertical, totes les vistes del cos s'hauran col·locat en el pla vertical de projecció, de manera que es treballarà en un sol pla, el pla vertical .

	El resultat hauria de estat el mateix si en comptes del pla vertical s'hagués utilitzat el pla horitzontal de projecció per abatre el pla vertical i el pla de perfil.

	RECTES PRINCIPALS DEL PLA: Un pla pot contenir infiniatat de rectes, però n'hi ha que per les seves característiques ens faciliten la resolució de problemes; són les rectes principals del pla: - La recta hortzontal del pla, que compleix la doble condició de ser horitzontal i de pertànyer al pla. - La recta frontal del pla, que compleix la doble condició de ser frontal i de pertànyer al pla. En qualsevol pla podem traçar infinites horitzontals o frontals, totes paral·leles entres si. - La recta de màxim pendent és la recta del pla que forma l'angle més gran amb el pla horitzontal de projecció. És perpendicular a la recta horitzontal del pla. - La recta de màxima inclinació és la recta del pla que forma l'angle més gran amb el pla vertical. És perpendicular a la recta frontal del pla.

	Sorry, this page requires a Java-compatible web browser.

	SUPERFICIES I COSSOS Generació de les superfícies per la determinació dels cossos Les superfícies es generen mitjançant les posicions d'una línia, anomenada generatriu , que es mou en l'espai segons una llei determinada, la directiu , el camí que genera la superfície.
	Es necessari establir la definició dels següents termes:

	- Cos: Té una extensió limitada i pot considerar-se com una quantitat de matèria amb tres dimensions: longitud , profunditat , i altura . És a dir, té un volum concret i limitat.
	- Superfície: Té una extensió de dues dimensions, la longitud i la profunditat . Poden ser limitades o il·limitades . En el cas de ser limitades, considerant-se el volum tancat per la superfície, donaria lloc a un cos. Si son il·limitades, sempre es poden limitar mitjançant altres superfícies per tal d'aconseguir un cos.

	Classificació de superfícies
	- Reglades: Són generades per una línia recta que actua com a generatriu. La família de les reglades inclou dos subgrups:
		- Reglades guerxes: No es poden desenvolupar sobre un pla perquè la seva superfície es trenca o s'hi fan distorsions.
		- Reglades desenvolupades: Es poden desenvolupar sobre un pla, sense que es produeixi trencament. El grup es subdivideix en superfícies radials i polièdriques.


	- No reglades: Són generades per una línia generatriu corba que s'ha de moure de manera que dos punts consecutius de la seva trajectòria no estiguin en línia recta. Això fa que la superfície no tingui elements rectilinis.

	Cossos radials En aquests cossos la generatriu passa per un punt fix que pot ser propi o impropi. Si es propi el punt s'anomena vèrtex i si es impropi es trobarà a l'infinit, es podrà considerar el vèrtex propi o impropi com a centre d'una radiació formada per les infinites posicions de les generatrius. Per aquest motiu, reben el nom de cossos radials.

		Segons si el centre de radiació és propi o impropi, en el cas que la directriu sigui una circumferència obtindrem un con o un cilindre. Quan la directriu és un polígon, obtindrem una piràmide o un prisma. Si l'eix forma 90º amb el pla que el conté, la base serà recta.

	Políedres Són cossos geomètrics limitats per un conjunt finit de polígons (quatre o més), anomenats cares. Els costats dels polígons són les arestes del políedre, i els punts extrems, els vèrtex. Cadascun dels costats que formen aquesta figura geomètrica pertany a dos polígons consecutius, és a dir, cada una de les seves arestes forma part de dues de les cares que constitueixen un políedre sencer.

	Característiques:
	- Quan dos polígons d'un políedre tenen una aresta comuna, no poden pertànyer al mateix pla, pler tant, es pot dir que són polígons no coplanaris.
	- L'angle que formen dues cares s'anomena angle pla.
	- En cada vèrtex coincideixen tres arestes, que en tallar-se determinen un angle polièdric.
	- Un políedre és regular quan les seves cares són polígons regulars i els angles del políedre que formen les arestes també són iguals.
	- Un políedre és convex si al ampliar una de les seves cares el políedre queda en el mateix costat d'una cara. Quan això no succeeix el políedre és còncau.
	- Un políedre convex es tallat per una recta en només dos punts.

	Políedre conjugat:
		És aquell que té per vèrtex un punt de cadascuna de les cares d'un altre políedre. El nombre de vèrtex del primer, és igual al nombre de cares del segon.

	Classificació de políedres regulars convexos
	Com que a cada vèrtex d'un políedre concorren com a mínim tres cares i la suma dels angles d'aquestes cares ha de ser menor de 360º, es poden donar diferents casos de políedres regulars, segons el nombre de cares que concorren a cada vèrtex, donant lloc a les figures següents:

	- Tetràedre: Concorren tres triangles equilàters en un vèrtex.
	- Octàedre: Concorren quatre triangles equilàters en un vèrtex.
	- Icosàedre: Concorren conc triangles equilàters en un vèrtex.
	- Hexàedre o cub: Concorren tres quadrats en un vèrtex.
	- Dodecàedre: Concorren tres pentàgons regulars en un vèrtex.