FUNCIONES PARA WINDOWS V: 2.0
Jordi Lagares i Roset
30 de Abril de 1993
Conceptos y palabras: 
dos sencillas palabras que enjaulan a dos grandes conceptos.

	INDICE


	0-Prlogo.									3

	1-Introduccin. Para los que tengan prisa.					4
		Agradecimientos.

	2-Datos identificativos del autor del programa.				6

	3-Descripcin del procedimiento. Mtodos de elaboracin.			7
		Diferencias con la versin del concurso anterior.

	4-Descripcin de procesos de validacin educativa.			11

	5-Requerimientos de hardware y software.					12

	6-Instalacin y puesta en marcha.						13

	7-Manual del Usuario.
		1-Cmo dibujar una funcin.						14
		2-Cuadro de dilogo: Funciones - entrada de datos.		15
		3-Normas de sintaxis.							17
		4-Cuadros de dilogo: 
			1-Interpolacin - Introducir valores .				18
			2-Regresin - Introducir valores .				20
		5-Opciones de los mens.						23
		6-Limitaciones.							28
		7-Fe de erratas.							29
		8-Diagnosis de problemas.						31

	8-Gua del profesor.								34
		1-Formas de utilizacin.						35
		2-Funcionamiento.							36
		3-Ejemplos. Fichas didcticas					37
			1-Matemticas - Estudio general de las funciones.		38
			2-Matemticas - Integral.					53
			3-Economa - Clculo de la cuota ntegra...			57
			4-Ciencias Sociales - Estudio de pluviometra.		61
			5-Matemticas - Series de Fourier.				64
			6-Economa - Bolsa.						67
			7-Matemticas - Regresin					70
		4-Ejemplos. Ideas.							75

	9-Gua del Alumno.								88
		Fichas del Alumno.
			1-Matemticas - Estudio general de las funciones.		89
			2-Matemticas - Integral.					99
			3-Economa - Clculo de la cuota ntegra...			103
			4-Ciencias Sociales - Estudio de pluviometra.		106
			5-Matemticas - Series de Fourier.				109
			6-Economa - Bolsa.						112
			7-Matemticas - Regresin					114

0 - PROLOGO.


	Este programa es el producto de la evolucin de FUNCIONES (presentado y premiado en el anterior concurso) hacia el entorno WINDOWS.

	La anterior versin (a partir de ahora le llamaremos Funciones para DOS) evolucion llegando hasta la versin 1.3 con unos cambios que le daban un gran valor aadido. Esta versin es actualmente de dominio pblico. Se incluye en un disco aparte, entregndola fuera de concurso para que dispongan de ella segn crean oportuno.

	Las modificaciones de la versin 1.3 respecto la 1.01, que fue la que particip en el pasado concurso, vienen explicadas en un fichero texto denominado LEERME.TXT.

	La presente versin FUNCIONES para Windows incorpora dichas novedades y muchas ms.  Las ms destacables son: 

	Funciona en el entorno Windows, que implica facilidad y uniformidad de manejo, y la prelacin ms interesante es el poder compartir con otras aplicaciones. De hecho las grficas hechas con este programa pueden ser incluidas en cualquier otro programa Windows (Procesador de texto, hoja de clculo...) haciendo la simple opcin de CORTAR en, y COPIAR del, PORTAPAPELES, que, en la prctica, son tres pulsaciones de ratn. Otra ventaja del entorno Windows es el poder ejecutar una misma aplicacin varias veces. As, si queremos estudiar dos funciones individualmente para compararlas, lo nico que tenemos que hacer es ejecutar el programa dos veces.

	La otra gran novedad es que puede representar funciones numricas, ofrecindose para ellas todas las posibilidades de clculo que ya tenamos para las explcitas.

1 - INTRODUCCION. Para los que tengan prisa.


	FUNCIONES  para Windows es un programa que representa funciones definidas de forma explcitanota_explicita o de forma numrica mediante una tabla de doble entradanota_tabla.

	Para arrancarlo desde la unidad de disquete, escriba WIN FW seguido de <RETURN>.

	Su campo de aplicacin es la asignatura de Matemticas, en cualquier dominio donde aparezca el tema FUNCION. Incluso puede aplicarse para otras materias en las que se trabaja con dicho concepto, como FISICA o ECONOMIA

	Permite  estudiar,  dada una funcin,  TODO (casi todo), lo que  hay en  las programaciones  oficiales  de  la  asignatura de Matemticas, durante TODA la enseanza primaria y secundaria.

	Su principal objetivo es ayudar a los alumnos a aprehender una gran mayora de los conceptos ligados con las funciones. As, la mayora de las opciones de los mens son referencias directas ligadas a stos, es decir: (una funcinh_Menu1f) Imagen, Antiimagen, Races,  Discontinuidades aisladas, Mximos, Mnimos, Puntos de inflexin, Derivada en un punto, Integral definida, Integral de lnea, Intervalos de crecimiento, Intervalos de decrecimiento, Intervalos de concavidad, Intervalos de convexidad, Funcin derivada, Segunda derivada, Funcin integral, Cortes y Area entre dos funcionesh_Menu2f.

	Tambin, creemos, puede facilitar el aprendizaje de otros conceptos relacionados con el tema FUNCION, no necesariamente matemticos y, lo que es ms importante, su interrelacin. Eso es darse cuenta de lo importante del tema en otros campos y cmo puede ayudar un concepto matemtico a resolver problemas no matemticos. Para una muestra de ello, vea el apartado EJEMPLOS del ndice.

	AGRADECIMIENTOS.


	Deseara agradecer a Fernando  Aisa  Mil, profesor agregado de Geografa e Historia,   a Jordi Pla Planas, profesor agregado de literatura, y a Antonio Cobos Fajardo, profesor agregado de lenguas clsicas, por su inestimable ayuda en la confeccin de esta memoria.

2 - DATOS IDENTIFICATIVOS DEL AUTOR Y DEL PROGRAMA.


Ttulo del programa:				FUNCIONES para Windows

Asignatura:					Matemticas, Ciencias Sociales, 							Ciencias Naturales, Economa...

Nivel educativo:				Primaria, Secundaria 12-16,  17-18
						Primer ciclo educacin Universitaria

Nombre y apellidos del autor:		JORDI LAGARES ROSET

DNI:						77906458

Direccin:					Passeig de l'11 de Setembre n 15
						17850 BESALU (GIRONA)

Pas:						Espaa

Telfono:					(972) 590045

3 - DESCRIPCION DEL PROCEDIMIENTO. MTODOS DE ELABORACION.


	El programa ha sido realizado en  un  ordenador PC compatible. Se ha empleado la versin 3.1 del entorno Windows (Funciona perfectamente mediante la versin 3.0) utilizando el lenguaje BORLAND PASCAL v: 7.0 . Los derechos han sido adquiridos por el autor.

	El Boletn Oficial del Estado donde se presenta la RESOLUCION de la convocatoria de este concurso habla de este apartado con los trminos siguientes: Descripcin del procedimiento y mtodos usados en su elaboracin, especificando los problemas surgidos, as como las opciones y soluciones adoptadas, con explicacin razonada para ello. Creo que es aqu donde puedo comentar las razones que me impulsaron a escribir este programa para el entorno Windows.

	La primera de ellas surgi el mismo da de la entrega de premios del ao anterior, donde, hablando con varios asistentes todos convenamos la futura preponderancia de este entorno. De hecho creemos que la premonicin era bastante acertada. En una revista de informtica fechada a finales de verano, se deca que se prev para final de ao que las ventas de aplicaciones Windows superen a las de DOS.

	La segunda, y ms importante, se dio cuando tuve el primer contacto con el entorno Windows, cuando vi la posibilidad que ofrece de intercambiar datos entre aplicaciones. De hecho, no decid en firme embarcarme en la elaboracin de este programa para presentarlo en la presente convocatoria, hasta que consegu trasladar los grficos a otros programas.

	Otra de las ventajas es la uniformidad del manejo de aplicaciones. Exagerando un poco, conocida una, conocidas todas.

	A nivel de programacin, quizs sea algo ms complicado que en el entorno DOS, pero las ventajas superan en mucho a las desventajas. En entorno DOS, uno tiene que preocuparse de todo: el tipo de monitor, las impresoras (???)... Recordemos que las grandes aplicaciones llevan uno o dos discos con los "drivers" de impresoras y muchas veces, precisamente, la nuestra no se halla. En entorno Windows esto no sucede. El programa  escribe en la pantalla. Windows ya cuidar de que se materialice. Si quiere imprimir, tambin ser Windows quien lo haga. De hecho, la presente aplicacin no permite imprimir, pero s puede pasar sus dibujos a otros programas que s saben hacerlo, y muy bien. 

	Esta es, segn creo, la ventaja principal que podemos aprovechar los programadores independientes. No se puede competir con las grandes compaas haciendo procesadores de texto, pero s  desarrollando pequeas ideas que puedan ser interesantes, que hasta los Superprocesadordetextohojadeclculo puedan aprovechar y que no sea necesario ser un experto en la infinidad de monitores, placas, impresoras, etc. para que sean realizables . 

	Windows, creo, lo hace posible.


	Diferencias con la versin del concurso anterior.

	Debido a que el programa anterior fue realizado en BASIC  y ste en PASCAL, utilizando "Programacin Orientada a Objetos", y tambin a causa de precisar el entorno Windows, el programa ha sido enteramente reescrito. 

	Todo ello  obliga a plantearse el anlisis  y la programacin de una forma totalmente distinta a la que podemos llamar programacin tradicional..

	Algunas de las novedades ya van incluidas en la versin 1.3 del programa FUNCIONES para DOS, que se incluye fuera de concurso. Lo indicaremos mediante la nota (1.3).

-Los clculos se realizan con mayor aproximacin, hasta 6 cifras decimales. En la versin del concurso anterior, slo se conseguan 2.

-Puede representar 6 funciones. En la versin del concurso anterior, slo se conseguan 5.

-El nmero de caracteres que puede tener una funcin explcita es de 200. En la versin del concurso anterior, slo se conseguan 50.

-Hay importantes diferencias en la reglas de sintaxis de escritura de funciones: 

	Para escribir la exponencial podemos hacerlo exp(). Recordemos que antes se deba hacer , aln() .(1.3).

	Para escribir pi, podemos hacerlo: pi o p. Para escribir el nmero e podemos transcribir: ne.(1.3).

	Si a un parntesis, x o funcin, le precede una multiplicacin y a sta un nmero, podemos no escribir el signo de multiplicar. Lo que antes se escriba: 
			3*x^2+2*sen(2*3.1416*x)-2*(x-3*aln(x))
Puede ahora escribirse:
			3x^2+2sen(2px)-2(x-3exp(x)).

-Las opciones, Imagen y Derivada en un punto, ofrecen la posibilidad, mediante un clic de ratn, de conocer los valores inmediatamente anterior y posterior.(1.3).

-La opcin, Derivada en un punto, cuando la opcin trazar clculos est activa, dibuja la funcin derivada.

 Creemos que estas posibilidades dan un alto valor pedaggico a estas opciones 

-La opcin, integral definida, realiza los clculos con mayor exactitud (1.3). Se permite calcularla con el extremo inferior mayor que el extremo superior. As se pueden estudiar todos los casos de integral definida.

-La opcin integral de lnea no se hallaba en la anterior versin (1.3).

-Las opciones intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad, han mejorado mucho. De hecho, se sealan en el eje X, que es donde deben estar, mostrando los valores numricos de los extremos de los intervalos.

-Tenemos la posibilidad de dibujar la trama del plano cartesiano. La cuadrcula.

-Tenemos la posibilidad de mostrar los valores numricos de las divisiones de los ejes.

-Podemos estudiar cualquier punto del grfico mediante una pulsacin de ratn.

-Si en los cuadros de entrada de valores, ejes, imagen, derivada, integral, queremos hacer un clculo, no precisamos de calculadora. As,  por ejemplo, si como Origen eje X queremos pones menos dos veces pi, escribiremos exactamente eso, -2pi.

-Tambin existe una importante diferencia en las Unidades de los ejes. Actualmente significan la separacin entre divisiones de los ejes. En la versin anterior, stas eran fijas. Al cambiar el valor de las Unidades de los ejes, lo que provocaba era un cambio de escala. De hecho, cambiaban los valores de los extremos. Y si el cambio se realizaba en ellos, tambin variaba el de las unidades. En la versin actual, esto no ocurre. Si quisiramos realizar un cambio de escala, por ejemplo, el eje X el doble de resolucin, lo que debemos hacer es dividir el valor de los extremos por dos.

-Una cosa que la presente versin no puede hacer es parar el proceso inicial de dibujar la funcin mediante la tecla <ESC>. Todos los procesos dinmicos, races, mximos, mnimos, funcin derivada, cortes..., s pueden interrumpirse mediante la tecla <ESC> o bien mediante una pulsacin del ratn en la ventana.

	Novedades destacadas.

-Se permite representar funciones numricas (!!!) y utilizar todas las posibilidades que ofrece el programa para ellas. Creemos que ofrece un nuevo gran abanico de potencialidades.

-Hay varias formas de representar las funciones numricas: interpolacin, interpolacin lineal, o mediante ajustes, regresin lineal, regresin parablica, regresin exponencial, regresin potencial.

-Acta en el entorno Windows. Uniformidad y facilidad de manejo. Lo ms importante es el poder compartir recursos con otras aplicaciones. La prueba es esta misma memoria,  realizada con un procesador de textos, el programa FUNCIONES para Windows. Y sin utilizar tijeras(!!!).

-Otra gran virtud del entorno Windows es que  permite ejecutar varias copias del mismo programa simultneamente. Podemos trabajar con dos o ms FUNCIONES para Windows concurrentemente(!!!).

	Novedades de la ayuda.

-Es una ayuda totalmente integrada en el entorno Windows.

-En ella, hay prcticamente todo el presente manual y los ejemplos. Todo ello accesible mediante hipertexto.


	Novedades de los ejemplos.

-Se ofrece un conjunto de fichas didcticas preparadas como guiones directamente utilizables por los alumnos. Tambin pueden servir como modelo para que los profesores creen las suyas propias. 

	La primera de ellas, es el estudio de todos los elementos notables de una funcin.

	Otra es el clculo de la cuota ntegra a partir de la base imponible de la declaracin de renta. Puede servir como gua didctica sobre cmo usar el programa para estudiar funciones numricas. Tambin, para darse cuenta de lo diversas que pueden ser las posibilidades del presente programa. Y tambin, por qu no decirlo, ya que creemos que es una de las virtudes del programa, darse cuenta en dnde podemos hallar relaciones entre conceptos matemticos y objetos "ms familiares(??)". Relacin entre derivada y el tipo aplicable.

-Se ofrece, tambin, todo un conjunto de ejemplos, ms cortos, que ya se incluan en la anterior versin. El conjunto se ha ampliado, se ha adaptado a las caractersticas del presente programa y, sobre todo, se le han corregido los (?) errores.

	Como el conjunto es bastante numeroso, da una idea de las muchas situaciones en que el programa es utilizable. Tambin pueden servir como germen de fichas que los propios profesores puedan realizar. Todos los ejemplos son accesibles directamente por el programa mediante la opcin Ayuda.

4 - DESCRIPCION DE PROCESOS DE VALIDACION EDUCATIVA.


	Debido a que todava nuestros centros no estn dotados de sistemas Windows este programa no ha podido probarse en aulas enteras. Pero lleva una gran experiencia heredada de la anterior versin FUNCIONES para DOS, que ha sido usado en mltiples ocasiones y en bastantes centros. Recordemos que dicha versin, actualmente, es de dominio pblico y todo el mundo puede usarla. Por ello, dentro de un tiempo, esperemos que sea breve, cuando los centros educativos dispongamos de ordenadores con el sistema operativo Windows, este programa podr ofrecer las funcionalidades que ya conocemos de la anterior versin, ms las novedades que ahora se ofrecen. De todas maneras, ha sido experimentado con grupos reducidos y parece confirmar las expectativas que fueron depositadas.

5 - REQUERIMIENTOS DE HARDWARE Y SOFTWARE.


	El programa se distribuye en un disquete de 3 1/2". Se halla en un fichero FW.EXE. La ayuda se encuentra en el fichero FWAYUDA.HLP. El manual de usuario en el fichero FWMANUAL.TXT.

	Se  necesita  un  ordenador  PC  compatible, con un microprocesador 286 o superior y que disponga del entorno WINDOWS versin 3.0 o posteriores. Precisa de unos 500 K libres.

6 - INSTALACION Y PUESTA EN MARCHA.


	Para  ejecutar  el  programa  desde el disquete, teclee INICIO o  WIN FW, seguido de la tecla <RETURN>.

	Para instalarlo en un disco duro, ejecute desde el disquete INSTALAR, (fichero instalar.bat). Se crea un directorio en la unidad c:, llamado WinFun y copia todos los ficheros en l. 

	Si quiere cambiar el nombre del directorio, puede hacer la instalacin manualmente. El listado de INSTALAR.BAT es el siguiente:

ECHO OFF
MD C:\WINFUN
A:\
COPY *.* C:\WINFUN
ERASE C:\WINFUN\INSTALAR.BAT
C:
CD C:\
CD WINFUN
ECHO Proceso de instalacin completado.
ECHO Para ejecutar, FUNCIONES para Windows, teclee: INICIO Y RETURN.

	A partir de aqu, para utilizarlo, puede proceder de tres modos distintos:

	1 Hallndose en el directorio WINFUN,  teclee WIN FW.

	2 En el entorno Windows, en la ventana ADMINISTRADOR DE PROGRAMAS, vaya a la opcin ejecutar del men archivo y escriba en Lnea de comando c:\winfun\fw.

	3 Instalndolo en un grupo de programas o en su propio grupo. En el manual de Windows se explica cmo debe hacerse esta operacin. La ventaja consiste en que a partir de aqu, el programa tiene su propio icono y, para ejecutarlo, slo tendr que pulsar un doble clic al icono. (Unos ejes con 2 funciones y el rea comprendida dibujados, con la leyenda FUNCIONES para Windows. Creemos importante mencionar que este icono fue generado por el propio programa funciones para Windows).

7 - MANUAL DEL USUARIO.


	1 - Cmo Dibujar una funcin.

	Al arrancar el programa, aparece un cuadro de dilogo denominado FUNCIONES - Entrada de datosh_EntradaDatos. Este es el dilogo de control principal del programa. 

	Escriba una funcin, por ejemplo "SEN(X)". Pulse <RETURN> o haga clic en el botn Aceptar. Inmediatamente aparecer la ventana FUNCIONES y se dibujar la funcin.

	Si pulsa sobre el men "1 fu.h_Menu1f", acceder a toda una serie de opciones que podr ejecutar sobre la funcin dibujada: Imagen, Antiimagen, Races,  Discontinuidades aisladas, Mximos, Mnimos, Puntos de inflexin, Derivada en un punto, Integral definida, Integral de lnea, Intervalos de crecimiento, Intervalos de Decrecimiento, Intervalos de concavidad, Intervalos de convexidad, Funcin derivada, Segunda derivada, Funcin integral.

	Si quiere cambiar las funciones o los valores de los ejes, escoja dentro del men Principal  la opcin Cambiar funciones o parmetros refirindose a los valores de los ejes.

	2 - Cuadro de dilogo: Funciones - Entrada de datos.



	Grfic ENTDADES:CLP
 
-GRAFICO


	Es un cuadro de dilogo dividido en tres partes: La superior, sirve para introducir los valores de los ejes. La siguiente, precedidas por F(X)=, G(X)=,... es donde introduciremos las expresiones de hasta seis funciones.  A continuacin, la zona de botones.


	Valores de los ejes


	Grfic EIXOS.CLP
                       -GRAFICO



	Hay que recordar que cada cuadro de entrada funciona como una calculadora. As, si quisiramos, por ejemplo, poner como Unidad eje X: pi/2, podemos escribir exactamente eso.

	Expresiones

	Escriba aqu las funciones que quiera representar, seis como mximo. Para editar, utilice las teclas del cursor <DELETE> y <BACKSPACE>. La forma de escribir las funciones debe cumplir una serie de normas de sintaxis,que son las usuales.


	Zona de Botones

	Hay 5 botones: 

	1 Aceptar. Se pulsar cuando se hayan introducido las funciones y se quieran representar.

	2 Cancelar. Cuando no quiera que surta efecto los ltimos cambios en el cuadro ENTRADA DE DATOS, se volver a la ventana principal con las funciones previamente representadas.

	3 Inicializar ejes. Aparecern stos con los valores originales, que son : para el eje X, -7.5, 1, 7.5 y para el eje Y, -5, 1, 5.

	4 Funcin numrica. Cuando quiera representar una funcin numrica, pulse esta opcin. Aparecer un cuadro de dilogo en el cual podr escoger cul de las seis funciones escoge para representar una funcin numrica. Pueden representarse hasta un mximo de seis funciones numricas. A continuacin, aparecer un nuevo cuadro de dilogo, funcin numrica - Introducir valoresh_EntradaDatosNumericos, en el cual podr colocar los  X y F(X) mediante nmeros de la funcin.

	Si lo que desea es realizar un ajuste, regresin, (Regresin - Introducir valoresh_EntradaDatosRegresion) active la casilla de verificacin.


			-GRAFICO



	5. Ayuda. Accede a  esta informacin.

	3 - Normas de sintaxis.

	Para escribir las funciones se deben seguir unas normas de sintaxis que, en principio, son las usuales. Las describimos a continuacin:

	La variable independiente la representaremos mediante X.
	Se permite y recomienda el uso de parntesis.
	Las operaciones admitidas son:

		+    Suma
		-    Diferencia
		*    Producto
		/    Divisin
		^    Potencia

	Las funciones permitidas y su sintaxis son:

	SEN( ) : Seno           radianes.	SEG( ) : Seno     grados sexagesimales
	COS( ) : Coseno	"		COG( ) : Coseno		"
	TAN( ) : Tangente	"		TAG( ) : Tangente		"

	ASE( ) : ArcoSeno	"		ASG( ) : ArcoSeno		"
	ACO( ) : ArcoCoseno	"		ACG( ) : ArcoCoseno		"
	ATA( ) : ArcoTangente"		ATG( ) : ArcoTangente	"

	LN( )   : Logaritmo Neperiano	LOG( ) : Logaritmo en base 10
	EXP( ) : Exponencial   e^x		ALO( ):ArcoLogaritmo en base 10. 10^x

	ABS( ) : Valor absoluto

	PI o P : 3.141593			NE : 2.718282

	Recordemos que puede calcularse el logaritmo en cualquier base mediante la siguiente frmula: Logb(x)=LN(X)/LN(b).

	Las reglas de prioridad son las conocidas. Recomendamos escribir todas las operaciones. Delante de parntesis y de las funciones anteriores, no es necesario poner el signo de multiplicar, en el supuesto de que ste sea el caso.

	Ejemplos de funciones:

	f(x)= sen(x)	g(x)= x^3-4x^2+3x-1	h(x)=(x-1)/((x-1)*(x+3))

	Al tratar de representar  una funcin introducida incorrectamente, el programa nos avisa, mediante un cuadro de mensaje, que ha ocurrido un error de sintaxis y, en ciertos casos, nos dice de que tipo es: haber cerrado demasiados parntesis, no haber introducido ninguna funcin, etc.

	4 - Cuadros de dilogo: Funcin numrica:

		1- Interpolacin - Introducir valores.

	Este es  el cuadro de dilogo ms complejo del programa FUNCIONES. Pueden introducirse los valores X e Y de dos formas distintas: directamente de teclado o a travs del "Portapapeles", en el cual habrn sido incluidas mediante otro programa, por ejemplo, una hoja de clculo ,como EXCEL,  un procesador de textos , como WRITE, o incluso por este mismo programa. Como mximo podemos alojar 400 valores.




	Grfic NUMERIC.CLP
       -GRAFICO





	Vemos dos cuadros de entrada en donde podemos introducir los sucesivos valores de X y su correspondiente imagen. Para pasar al siguiente valor, pulsamos <RETURN> o pulsamos el botn Siguiente. En el caso de que introdujramos mal el nmero, el programa nos avisara mediante un cuadro de mensaje.

	Una vez introducidos unos cuantos valores, en caso de que estuvieran equivocados, podemos volver a editarlos desplazndonos mediante los botones Anterior, Siguiente (o RETORNO) o bien utilizando la barra de desplazamiento. Si quisiramos incluir un valor entre dos previamente introducidos, pulsaremos el botn Insertar. En el caso de que hubiera 400 valores, se perdera el ltimo. Cuando queramos eliminar un valor, utilizaremos el botn Suprimir. Si queremos introducir una nueva funcin a partir del primer valor, pulsaremos Inicializar. Debido a que es una operacin peligrosa, aparece un cuadro de confirmacin.

	Cuando queramos colocar datos procedentes del "Portapapeles", pulsamos Pegar. Aparece inmediatamente un cuadro de confirmacin. Hay que decir que los nmeros que lee del "Portapapeles" deben estar en formato texto. Para separar dos nmeros, debe haber como mnimo un carcter no numrico como un espacio. Pueden utilizarse dos columnas numricas creadas con EXCEL y copiarlas en el "Portapapeles". Tambin dos columnas creadas con cualquier procesador de texto, como las del Ejemplo 3. Recordemos que, si hay algn carcter no numrico en medio de un nmero, podemos tener resultados inesperados.

	Copiar. Copia los valores en el "Portapapeles" para cuando se quieran usar en otros programas o en este mismo.

	Ayuda. Accede a esta informacin.

	Aceptar. Sirve para validar los datos introducidos y volver al cuadro de dilogo principal FUNCIONES. Si escogemos esta opcin, se realizan unas comprobaciones: que no haya errores en los nmeros, que haya un mnimo de dos, y que no haya un valor de X menor que el anterior. En caso contrario, se nos informa y se nos devuelve al punto donde se halla el error. Si tenemos xito, regresamos al CUADRO PRINCIPALh_EntradaDatos y, en el cuadro de entrada correspondiente a la funcin escogida, aparecer la leyenda FUNCION NUMRICA. As se  indica al programa que no hay una funcin explcita y debe realizar los clculos de forma distinta. Si borrramos o aadisemos alguna letra, al tratar de representar se nos informara de un error de sintaxis. En el caso de que escribiramos FUNCION NUMRICA y no hubisemos introducido datos, al representar la funcin saldra la leyenda NO TIENE IMAGEN para todos los puntos. Si borramos la palabra FUNCION NUMRICA, podemos utilizar este cuadro de entrada para incluir una nueva funcin explcita. Los valores numricos no se pierden, podemos volver a utilizarlos escribiendo de nuevo FUNCION NUMRICA o mediante el botn Funcin numrica del CUADRO PRINCIPALh_EntradaDatos.

	Cancelar. Cuando queramos olvidar lo que hayamos introducido de nuevo, como es una opcin delicada, mediante un cuadro de confirmacin deberemos ratificar la opcin. En el caso de que as sea, los valores que permanecen son los de la anterior funcin.

	Hay tres "Casillas de verificacin" que podemos activar o desactivar pulsando en ellas. Por defecto se encuentran las tres desactivadas.

	Lineal. Har que la grfica, entre cada dos puntos, sea aproximada mediante un segmento de recta. Por defecto aproxima mediante polinomios de tercer grado dando un alto grado de aproximacin. Recomendamos comprobarlo mediante valores reales de funciones polinmicas de 2 y 3 grado.

	Mostrar puntos. Marca los puntos que definen la funcin en la grfica.

	Extrapolar. La grfica ser representada ms all de los valores mximo y mnimo de la funcin.

2- Regresin - Introducir valores.

	Este cuadro es similar al anterior. Se ofrece un nuevo botn, Coeficientes..., con el cual accedemos a una informacin: Valores mximos mnimos, medias aritmticas, desviaciones tpicas, covariancia, los coeficientes de correlacin de los cuatro tipos de ajuste posibles as como los errores medios cometidos en cada uno de los casos.




       -GRAFICO

	



	Para escoger uno de los cuatro tipos de ajuste pulsaremos el botn correspondiente.

	Al pulsar el botn Aceptar se realizan una serie de comprobaciones: que no haya nmeros errneos: 
-Que haya un mnimo de 3 pares de valores. 
-Que no haya valores superiores a 100000000. 
-En el caso del ajuste parablico y exponencial (a.b^x) el mayor nmero permitido es 100000. 
-En el caso exponencial no estn permitidos valores de la Y menores o iguales que 0. -En el caso potencial (a.x^b) no estn permitidos valores de X ni de Y menores o iguales a 0. 
-Finalmente comprueba que dichos valores permiten el tipo de ajuste seleccionado. 
	En cualquier caso, si no es posible realizar el ajuste se nos informa mediante un cuadro de error. No podremos continuar  hasta que ste sea subsanado.

	Si un tipo ajuste no es posible, en el cuadro coeficientes aparece la leyenda NO.

	Cuando queramos conocer el mejor tipo de ajuste para nuestros datos pulsaremos el botn Coeficientes.... Se considera el mejor ajuste el que de el menor ERROR MEDIO.

	La informacin contenida en el cuadro coeficientes puede ser copiada en el portapapeles pulsando el botn Copiar.

	Las frmulas utilizadas para calcular los distintos tipos de coeficientes son las siguientes:

-GRAFICO

Regresin lineal:

-GRAFICO

Regresin cuadrtica:	

-GRAFICO


	Donde a, b, c, son los coeficientes de la parbola. El proceso para encontrarlos es un poco largo y aqu no lo mencionamos.


Regresin exponencial:

	Se trata de realizar una interpolacin lineal con los valores x, ln(y).

Regresin potencial:

	Se trata de realizar una interpolacin lineal con los valores ln(x), ln(y).

ERROR MEDIO:

	-GRAFICO


Donde n para todos los casos es el nmero de pares de valores introducidos.

	5 - Opciones de los mens.

	Si termina el proceso de dibujar una o ms grficas, por ejemplo la funcin "SEN(X)", observaremos la ventana FUNCIONES con el siguiente aspecto:






		Grfic SEN.CLP
                       -GRAFICO





	Encontramos los tpicos botones: 

	Minimizacin. La ventana queda reducida a su icono. Esto es muy til para despejar el rea de trabajo cuando empleamos varias aplicaciones juntas o, incluso, cuando trabajamos con varios programas FUNCIONES para Windows simultneamente.

	Maximizacin. Muy interesante	 para utilizar toda la pantalla para representar los grficos.  

	La esquina inferior derecha sirve para dimensionar la ventana. Con ella podremos dar al grfico el tamao que deseemos.

	Creemos que la forma habitual de trabajar debe ser con la ventana maximizada. No la utilizaremos cuando queramos ejecutar varias veces el programa o bien cuando queramos darle un cierto tamao al dibujo, cuando, por ejemplo, queramos incluirlo en algn texto.

	Pulsando en cualquier punto de la ventana FUNCIONES, con el botn izquierdo del ratn,   aparecen sealadas las coordenadas de dicho punto.

	Vemos una barra de men con 5 opciones: Principal, 1 fu., 2 fu., Opciones, Ayuda.


	Men Principal. Si lo seleccionamos, accedemos a tres submens:

	Cambiar funciones o parmetros... Alt F. Sirve para ir al cuadro de dilogo FUNCIONES - Entrada de datos. Cuando queramos cambiar de funciones o los valores de los ejes. <Alt F> es una tecla aceleradora, es decir que, pulsndola, se accede a dicha opcin.

	Copiar en el portapapeles. Para copiar el contenido de la ventana en el "Portapapeles". Es la forma que tenemos para pasar los grficos creados a otros programas. Para recuperarlos, vamos a la aplicacin receptora. Nos situamos en el lugar donde deseamos que aparezca el grfico y seleccionamos la opcin, que suele estar en el men Edicin, Pegar.

	Salir. La forma habitual de abandonar el programa.

	Men 1 fu.. Este men ser activo slo cuando haya una nica funcin representada. En caso contrario, las opciones aparecen en color gris y no estn activas.  Si lo seleccionamos, accedemos a un total de 17 opciones.

	Imagen  Alt I. Se nos ofrece un cuadro de dilogo en el que podemos introducir el valor de la X. Pulsando el botn Aceptar o <RETURN> se nos da su imagen en el caso de que la tuviera. Si se encuentra entre los lmites del eje X, es dibujada



    		Grfic imatge.clp
-GRAFICO




	Los botones <-i  i d-> permiten calcular las imgenes de los puntos contiguos. Esto da unas enormes posibilidades a esta opcin como, por ejemplo, para explicar el concepto de mximo relativo de una funcin.

	Finalmente, si queremos abandonar esta opcin, pulsaremos el botn Cancelar o la tecla <ESC>.

	Antiimagen. Se nos pide un nmero, mediante un cuadro de dilogo, que ha de hallarse entre los lmites del  eje Y.  De forma dinmica, se  nos irn indicando, caso de que las tuviera, todas sus antiimgenes.

	Races. El programa, de forma dinmica, busca las races de la funcin.

	Discontinuidades aisladas. El programa  da los puntos singulares donde  NO est definida  la funcin.  En este caso, nos dar el lmite.  En el caso "1/(X-2)", nos dir que en 2 lim= infinito. Si fuera "sen(X)/X", nos escribir que en el 0 lim=1.

	Slo indica  las que ha  encontrado  por su  precisin. Por ejemplo: (x^2-4)/(x-2), que tiene una discontinuidad en x=2, si la  unidad  del  eje  X  es  entera,  1 por ejemplo,  s ser encontrada. Pero si representamos (x-3.1234)^2/(x-3.1234), que tiene una  clara  discontinuidad  en  3.1234,  no  ser  hallada.  Para hacerlo,  tendramos que poner como unidad del eje X  3.1234 o un mltiplo  suyo.  Esto  es  debido  a  que  se  utiliza  un mtodo totalmente  numrico y  a que se  calcula en un cierto  nmero de puntos.  Concretamente, entre los valores izquierdo y derecho del eje X, se calcula  en 600 puntos. En casos como TAN(X), aunque no encuentre exactamente donde se  halla el  punto  donde  no  est  definida  la  funcin  y se disparen los valores,  nos indica POSIBLE PUNTO DE DISCONTINUIDAD infinito.

	Mximos. El programa nos da los mximos locales de la funcin.

	Mnimos. Se nos ofrecen los mnimos.

	Puntos de inflexin. Clculo de los mismos.

	Derivada en un punto. Aparece el mismo cuadro de dilogo que en la opcin imagen. El funcionamiento es idntico. Se nos ofrece el valor y el dibujo de la recta tangente. Aqu, la opcin encontrar valores adyacentes, vuelve a ser especialmente til.

	Integral definida. Nos  pide el valor de  los lmites inferior  y superior del intervalo de integracin.  Se calcula, ofrece su valor y se dibuja en la grfica lo que representa.

	Integral de lnea. Nos pide el valor  de los lmites. Calcula el valor y se nos dibuja en la grfica lo que representa

	Intervalos  de crecimiento. Aparece en la grfica una lnea roja, donde la funcin es creciente, indicando los extremos de los intervalos.

	Intervalos de decrecimiento, Intervalos de concavidad, Intervalos de convexidad. Lo mismo que el caso anterior, pero en la  zona  donde se  cumple  lo especificado.  Para hallar los lmites de los intervalos, podemos, asimismo, encontrarlos de una forma distinta calculando  mximos, mnimos, puntos de inflexin y discontinuidades.

	Funcin derivada. Se nos ofrece,  de  forma dinmica, la construccin de la grfica  de la funcin derivada.  Para obtener un valor  concreto,  podemos escoger la opcin derivada en un punto.

	Segunda derivada. Construccin de  la funcin derivada segunda.

	Funcin integral. Construccin de la  funcin integral a partir de un punto que, previamente, se nos habr  solicitado mediante un cuadro de dilogo . Para obtener  un valor  concreto,   escoger  la  opcin  integral definida.

	Ecuacin de regresin.... Esta opcin slo aparece activa cuando haya una nica funcin numrica del tipo, regresin, introducida. Nos ofrece la ecuacin de la funcin ajustada. Tambin el coeficiente de correlacin. Dicha informacin podemos pasarla al portapapeles pulsando el botn Si.

	Men 2 fu.. Este men ser activo solo cuando  haya dos funciones representadas. En caso contrario, las opciones aparecen en color gris y no estn activas.  Si lo seleccionamos, accedemos a 2 opciones.

	Cortes. Busca los puntos de corte entre las dos funciones.

	Area. Clculo  del rea  entre las  dos  funciones  entre dos puntos cualesquiera.  Dichos puntos tendrn  que ser introducidos previamente mediante un cuadro de dilogo.


	Men Opciones.

	Limpiar. Cuando hemos realizado una de las anteriores opciones, por ejemplo clculo de la integral definida, su efecto queda dibujado hasta que una nueva opcin sea requerida. Si interesa dejar el estado inicial de la grfica, debemos utilizar esta opcin.

	Las siguientes seis opciones son del tipo Activo/Inactivo. Cuando estn activadas aparece el smbolo V delante.

	Pizarra. Cambia el fondo, generalmente blanco, a negro, que es el color tradicional de FUNCIONES para DOS. Por defecto, aparece desactivada

	Trama. Adems de los ejes, teje una cuadrcula de lneas discontinuas. Por defecto, aparece desactivada

	Valor unidad de los ejes. Cada unidad de los ejes aparece acompaada de su valor. Por defecto aparece desactivada

	Mostrar puntos singulares. Cuando el programa encuentra mximos, mnimos, intervalos, etc. aparecen con su valor. Por defecto, esta opcin aparece activada. Si la desactivamos estos valores no aparecern.

	Trazar clculos. Cuando el programa busca mximos, mnimos, intervalos, etc., lo hace de forma dinmica y nos va indicando por dnde anda la bsqueda mediante una lnea roja que va cruzando de derecha a izquierda. Esta prelacin es muy interesante y da, creemos, al programa un gran valor didctico. A veces, segn como utilicemos el programa, puede interesarnos no visualizar todo el proceso. Desactivando esta opcin, lo conseguiremos. El beneficio es un gran incremento de la velocidad. Se recomienda especialmente esta opcin para el clculo de la Funcin derivada. Por defecto, esta opcin aparece activada,

	Baja precisin. Cuando se representan los puntos singulares, opcin Mostrar puntos singulares activada, se pueden mostrar los valores con alta precisin, millonsima, o baja , sta  depende de la estimacin del error cometido. Por defecto aparece activada, baja precisin, porqu lo creemos ms didctico. 

	Error en los clculos. Todos los procesos de clculo del programa son numricos. Mediante esta opcin podemos conocer una estimacin del error de clculo cometido.

	Men Ayuda.

	Indice  F1. Se accede al ndice de la ayuda de este programa. Pulsando <F1> produce el mismo efecto. Es un sistema de ayuda hipertexto. Permite navegar entre los diferentes tpicos, que aparecen coloreados en verde, pulsando con el botn izquierdo del ratn, o mediante la tecla <TABULADOR> confirmando con la tecla <RETURN>. En esta ayuda, prcticamente, se encuentra todo el presente manual

	Uso de la ayuda. Se accede a la ayuda general de Windows que explica cmo funciona el sistema de Ayuda Windows.

	Acerca.... Aparece el cuadro inicial del programa donde se informa del nombre del autor .

	6 - Limitaciones.

	-El nmero mximo de funciones que se puede representar es de seis. Pueden ser explcitas, numricas, o combinacin de ambas.

	-Los clculos se realizan en el rango comprendido entre -1019  y 1019. Si se rebasan , el programa nos muestra: Error por desbordamiento, overflow. Durante el clculo de los valores de las imgenes de una funcin, el programa nos indica: No tiene imagen.

	-La precisin de los clculos es de 10-6. Valores menores que stos, son redondeados a 0.

	-El nmero mximo de divisiones en los ejes es de 100. Si damos un valor : Unidad eje X o Y que le corresponda  un mayor nmero de divisiones, estos valores  cambian  para adecuarse al mximo de 100 divisiones. El programa no avisa de este hecho.

	-El nmero mximo de caracteres que puede tener una funcin explcita es de 200.

	-El nmero mximo de valores que puede tener una funcin numrica es de 400.

	-El valor absoluto mximo que se puede introducir en las funciones numricas es 100000000.

	-El valor absoluto mximo que se puede introducir en una regresin cuadrtica o exponencial es 100000.

	-El nmero de puntos en los cuales se calcula la funcin, entre el "Origen del eje X" y el "Final del eje X", es de 600.

	7 - Fe de erratas.


	1-Al calcular puntos de inflexin, intervalos de concavidad y  convexidad  en  funciones  de  comportamiento  lineal,  o casi lineal, puede dar lugar a errores. Las funciones trigonomtricas para valores a partir de pi o -pi, si las calculamos con precisin, dan problemas de este tipo. Es decir si estudiamos, por ejemplo, la funcin seno poniendo origen eje X 0 y final 2pi, al calcular puntos de inflexin o intervalos de concavidad o convexidad puede mostrar resultados extraos. Ello es debido al error en que incurre el ordenador en algunos clculos, como, por ejemplo, 1-3/3<>0.

	Para evitar este problema:  NO calcular dichos conceptos en las funciones lineales. F(x)=mx+n o casi lineales. Para las funciones trigonomtricas la solucin si queremos estudiar estos conceptos es dejar los valores de los ejes iniciales o algunos similares.

	2-Si se utiliza la  funcin Valor Absoluto,  ABS(), podemos encontrar que en  algn punto,  si calculamos la  derivada, puede dar un  valor y sabemos que,  en  realidad,  NO  existe.  Son los puntos angulosos.

	Ejemplo en F(x)=ABS(X). En el punto 0.

	Cuando se  utiliza la  funcin Valor Absoluto  y  se quiere calcular la derivada en algn punto. Se recomienda, ser cuidadoso y tener presente lo dicho.

	3-Si  calculamos  la  primera,  o segunda  derivada  de las funciones:  SEG(X), COG(X),  TAN(X),  funciones  trigonomtricas expresadas en grados sexagesimales, podemos encontrarnos con una sorpresa. Concretando en el caso del seno(x). La primera derivada no parece  dar  la  funcin  coseno(x),  sino  una  funcin cuyos valores son cercanos al cero. Esto es debido a que la derivada de la funcin seno(x) en grados,  vale:

	Sabemos que:  Sen'(a)  = Cos(a) , donde  "a "est expresado en radianes, RAD.

	Para  pasar de  RAD a :  x=aK,  donde  K=PI/180  y  x est expresado en .

	Veremos que Sen'(x) = K*Cos(x), donde K vale aproximadamente 0.017.

		   sen(x+h) - sen(x)
Sen'(x)=   lim  ---------------------------   *1
	     h->0 	   h

Para calcular los senos lo pasamos a radianes:

		sen[(x+h)K] - sen(xK)
*1 =     lim -------------------------------------- = *2
            h->0 		  h

 	          sen(xK)cos(hK)+cos(xK)sen(hK) - sen(xK)
*2 =     lim --------------------------------------------------------------- = *3
            h->0   			h

		             cos(hK)-1                          sen(xK)
*3 =     lim [sen(xK) --------------------+ cos(xK) ------------------] = *4
            h->0 	                   h                                   h

Calculemos:

                      sen(xK)                        sen(xK)
	lim ----------------- =   lim K ----------------- = K
	h->0  	    h 	         h->0          xK 


*4 = sen(xK) . 0 + cos(xK) . K

O  sea volviendo  a  calcular  las  razones trigonomtricas mediante :

Sen'(x) = K.Cos(x)

	Esto hace que la funcin  COSENO que sale como  derivada de la  funcin SENO (expresadas ambas en  grados sexagesimales, ), venga afectada por una constante (0.017). En la pantalla, escepto que no  aumentemos  mucho la  escala,  NO se  ve representada. Se confunde con el eje X.

	Para evitar este problema:  NO estudiemos las  derivadas de las  funciones trigonomtricas  mediante,  stas  expresadas  en grados. DEBE HACERSE con las equivalentes expresadas en radianes: SEN(X), COS(X), TAN(X).

	NOTA  DEL   AUTOR:   Si  los  usuarios  de   este  programa detectaran algn error o quisieran hacerme alguna sugerencia, les agradecer que me lo hagan saber.

	8 - Diagnosis de problemas.

	Hemos hecho todo lo posible para evitar fallos del programa, "buggs". Dichos "errores", no necesariamente, han de ser errores de programacin. Pueden ser, tambin, de concepto matemtico o caracterstica pedaggica. Si el usuario detectara alguno y cree oportuno notificarlo al autor, se adjunta un formulario que puede ayudar mucho en la definicin del problema.

	Si quisieran mandar algunos comentarios, ideas, etc, tambin seran bien recibidos

Formulario definicin de problemas:

1-Caractersticas del  problema.

Pudo reproducirlo?:  							SI  NO

El programa ,dej de funcionar?: 						SI  NO. 
	En caso afirmativo:
	Se mostr un mensaje de error: 					SI  NO. 
		En caso afirmativo Cul?




	Afect al resto de programas que funcionaban en aquel momento?: SI  NO
		En caso afirmativo , describa los efectos:







	Quedo el sistema Windows totalmente paralizado, teniendo que 	reinicializar completamente el ordenador?: 				SI  NO
 

2-Situacin del programa en el momento del problema.

Fue al introducir los valores de los ejes en el "Cuadro de dilogo: Funciones - entrada de datos"?:  								SI  NO

Fue al introducir funciones en el "Cuadro de dilogo: Funciones - entrada de datos"?:  									SI  NO

Fue al introducir los valores  el "Cuadro de dilogo: Funcin numrica - Introducir valores"?									SI  NO
	En caso afirmativo , describa la situacin previa:




Fue mientras se representaba una funcin?:  				SI  NO

Fue mientras se utilizaba una opcin del men?:  			SI  NO
	En caso afirmativo decir cual:
	descrbalo:









Valores de:
Origen eje X:	_______________  Origen eje Y:	_______________

Unidad eje X:	_______________  Unidad eje Y:	_______________

Final eje X:	_______________  Final eje Y: 	_______________

F(X)=___________________________________________________________

G(X)=___________________________________________________________

H(X)=___________________________________________________________

I(X)=___________________________________________________________

J(X)=___________________________________________________________

K(X)=___________________________________________________________


4-Descripcin del entorno en el momento del problema.

Modo de pantalla  utilizado:            ..Resolucin:                 puntos.               colores.

Haba otros programas en funcionamiento?:  				SI   NO.
	En caso afirmativo, diga cules:





Haba otros dispositivos conectados y en funcionamiento, impresoras, modems,etc.?:  								SI  NO
	En caso afirmativo, diga cules:




5-Problemas externos al programa.

Fue utilizando la ayuda?							SI  NO
	En caso afirmativo, describa la situacin:







Se trata del manual?							SI  NO
	En caso afirmativo, describirlo:







Se trata de un "BUGG" MATEMATICO o PEDAGOGICO?		SI  NO
	En caso afirmativo, describirlo:







6-Caractersticas del  sistema del usuario.

Microprocesador:		                                     . 
Cantidad memoria Ram:	                                     .
Capacidad Disco Duro:	                                     .
Sistema Operativo:		                                     .
Versin de Windows:		                                     .





	Si quiere, puede aadir un escrito describiendo todo el problema y la situacin, as como su opinin al respecto.


8 - GUIA DEL PROFESOR.

	Para ejecutar el programa, supondremos que est instalado en un grupo de programas. Haga doble clic en el icono FUNCIONES para Windows. Para mayor informacin, consulte el captulo anterior: INSTALACION Y PUESTA EN MARCHA.

	Bsicamente, este programa lo que hace es dibujar funciones, definidas de forma explcita o de forma numrica mediante una tabla de doble entrada. Tiene  todo  un conjunto de  opciones,  que lo hacen diferente de los que hasta ahora el autor conoce, y, sobre todo, interesante.

	Su campo de aplicacin es la asignatura de  Matemticas, en cualquier  dominio donde aparezca  el  tema  FUNCION. Incluso puede utilizarse en  otras materias en que se trabaja dicho concepto, como FISICA , QUIMICA, ESTADISTICA, ECONOMIA ...

	Permite  estudiar,  dada una funcin,  TODO (casi todo), lo que  hay en  las programaciones  oficiales  de  la  asignatura de Matemticas, durante TODA la enseanza primaria y secundaria.

	De  hecho, una de  las  primeras  aplicaciones  del programa sera dejar al alumno solo con l,  probndolo. Sin darse cuenta, puede  aprender muchos conceptos ligados  al de FUNCION, como los de: RAICES, MAXIMOS, MINIMOS, CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO,   DISCONTINUIDADES,  LIMITES en   un punto,  CONCAVIDAD, CONVEXIDAD, PUNTOS DE INFLEXION, DERIVADA EN UN PUNTO,  FUNCION DERIVADA,  INTEGRAL DEFINIDA entre dos puntos, FUNCION INTEGRAL,  CORTES ENTRE  DOS  FUNCIONES,  AREA  ENTRE DOS FUNCIONES, etc. (Ver apartado de EJEMPLOS PRACTICOS).

	1 - Formas de utilizacin.

	Puede utilizarse de diferentes formas:

	En primer lugar como software educativo tradicional, instalado en todos los ordenadores del aula y los alumnos divididos en grupos, idealmente dos por ordenador, se puede desarrollar una clase dirigida por el profesor o bien por un guin (EJEMPLOS) para cada grupo. 

	Otra forma de utilizarlo es como ayuda del profesor o alumnos para el dibujo de grficas. Esta versin para Windows es especialmente potente en este apartado, ya que podemos pasar el dibujo a otros programas del mismo entorno como el PAINTBRUSHnota_PaintBrush (programa de dibujo) para aadirle cosas o tambin el WRITEnota_Write (Procesador de textos) que permite incorporar las grficas entre el texto.

	Tambin, con ayuda de una pantalla de vdeo (o un proyector de transparencias) conectada al ordenador , utilizar sta como una sofisticada pizarra (llamada, a veces, "pizarra electrnica") para mostrar a los alumnos aquellas grficas y aquellos efectos tan difciles de conseguir con una tiza y un tablero negro, donde es totalmente imposible si lo que pretendemos es hacer animacin.

	Por ltimo, por qu no decirlo, puede utilizarse en contextos no directamente relacionados con la didctica del tema FUNCION. Como herramienta de trabajo, es til para el clculo de elementos relacionados con ella o tambin, por ejemplo, para el dibujo del ajuste de una funcin numrica. Por ejemplo, si quisiramos ver la grfica de temperaturas mximas y mnimas durante un ao de una poblacin o estudiar el comportamiento de una o varias empresas en la bolsa, podemos representar, incluso, otros parmetros, como las llamadas medias mviles.

	2 - Funcionamiento.


	Consultar captulo 7 MANUAL DEL USUARIO

	Modo de trabajo:

	El programa puede usarse de diferentes formas. Diremos unos comentarios que, cremos ayudarn al profesor a utlizar la forma ms adecuada.

	Ventana maximizada o minimizada (Botn superior derecha). Creemos que el modo normal de funcionamiento, debe ser con la ventana maximizada. Si lo que se pretende es, utilizarlo simultneamente con otros programas o consigo mismo, ser mejor utilizarlo en una ventana ms pequea. Podemos cambiar su dimensin mediante el ratn, pulsando y arrastrando la esquina inferior derecha. Esta posibilidad ser especialmente til, cuando queramos trasparar el dibujo a otro programa, ya que le podremos dar el tamao que creamos conveniente.

	Aprovechamos para decirlo siguiente: No sabamos si el modo inicial de la ventana deba ser, en formato pequeo o  pantalla completa, maximizada. En principio la eleccin pareca ser, maximizada, ya que, como acabamos de decir, es la forma, que creemos, habitual de utilizarlo. Al final decidimos, iniciarlo en una ventana pequea, para reforzar la idea, de Windows, de utilizarlo juntamente con otras aplicaciones, y recordemos, tambien simultneamente con varios programas FUNCIONES para Windows.

	Opciones. Pizarra o no?,es decir, fondo blanco o negro.

	Se pregunt a los alumnos que lo utilizaron que, qu opinaban?. La respuesta fue: Las funciones se distinguen mejor en fondo negro, VPizarra. Si lo que se pretende es estudiar 5 o 6 funciones, creemos que esta eleccin parece obligada. Pero en fondo blanco la vista se cansa menos.

	Trama, Valor unidad de los ejes. A gusto del usuario, teniendo en cuenta que, si los valores de las unidades de los ejes, cuadro principal, son pequeos comparados con los extremos, la trama puede llegar a ocultar la grfica y los valores de los ejes superponerse.

	Mostrar puntos singulares. En general creemos que debe estar siempre activada.

	Trazar Clculos. Creemos que es una opcin, cuando est activada, que da un alto contenido pedaggico al programa. Por ello, creemos que debe estar activa. Tambin,  decir que, si el ordenador no es muy rpido, 386SX a 16 por ejemplo, puede hacer que los procesos se realicen muy lentamente. sta es la opcin que, el profesor debera  utilizar con ms mesura.

	Baja precisin. Creemos que es ms didctica cuando est activa, porque los nmeros no se escriben con muchos decimales. Si interesa mayor precisin, desactivarla.


	3 - Ejemplos. Fichas didcticas.


	Lo que viene a continuacin es un grupo de fichas didcticas, es decir, guiones de trabajo.  La lista no pretende ser exhaustiva. Pensamos que pueden ser utilizadas directamente y creemos que pueden servir de modelo para que cada profesor elabore sus propias fichas. 

	Estas fichas vienen completas y con los grficos dibujados.

	En la gua del Alumno, captulo 9, vienen las fichas sin realizar. Una metodologa de trabajo sera: 

	-Breve explicacin del entorno Windows.
	-Breve explicacin del funcionamiento del programa.
	-Entregarles una ficha para que la rellenen, supervisados por el profesor.

	Las fichas de los alumnos vienen tambin en ficheros independientes, en formato .WRI, para el procesador de texto que viene incluido en Windows. En las prcticas de funciones numricas para no tener que teclear los valores, se pueden pasar mediante el portapapeles, copiar y pegar.

	Cuando en una ficha hay letra cursiva, queremos indicar que es una descripcin de una accin que debe realizar el alumno:

	En el apartado 4 de este captulo, -Ejemplos. Ideas-, se ofrece un conjunto bastante numeroso de problemas. No son guas completas, sino esbozos de la gran cantidad de posibilidades que ofrece este programa y pueden actuar como germen de otras fichas.

Ficha 1 - Matemticas.

Tema: 	
	Estudio general de una funcin.

Nivel :
	3 BUP y COU.

Conocimientos previos: 
	Resolucin de ecuaciones. Clculo de derivadas.

Objetivo general: 
	Comprender y saber aplicar las distintas tcnicas que ofrece el clculo diferencial para el estudio y representacin de funciones.

Objetivos especficos: 
	Comprender y saber calcular los siguientes conceptos: 
		Races.
		Ordenada en el origen.
		Mximos relativos.
		Mnimos relativos.
		Intervalos de crecimiento.
		Intervalos de decrecimiento.
		Puntos de inflexin.
		Intervalos de concavidad.
		Intervalos de convexidad.
		Asntota vertical.
		Asntota horizontal.
		Asntota oblicua.
		Simetra: par, impar.

Procedimiento:


Ejecutar el programa: Funciones para Windows

Condiciones de trabajo:

-Ventana maximizado. Pulsar en la ventana el botn de maximizacin, esquina superior derecha.

-La opcin "Baja precisin" del men "Opciones" activa.  Creemos que es mejor as. Recordar que, por defecto, al arrancar el programa aparece ya activa. Como esta opcin slo afecta a los puntos singulares, mximos, mnimos, intervalos..., puede provocar ligeras diferencias con el clculo de imgenes. Si quiere evitar estas diferencias, desactive esta opcin.

-La opcin "Trazar clculos", del mismo men, creemos que debe estar activa (opcin por defecto), ya que ayuda mucho a la comprensin de los conceptos. Si el ordenador no es muy rpido se aconseja desactivarla.



1.1 Races, ordenada en el origen.

Representemos la siguiente funcin:F(x)=1/36(3x^4-20x^3+12x^2+96x-110) . 
La llamaremos funcin 1. 

Valores de los ejes:
Origen eje X	-6.5
Unidad eje X 	1
Final eje X 	8.5
Origen eje Y	-5
Unidad eje Y 	1
Final eje X 	5


Calcular las races.

Men 1 f. .Opcin Races.



                    -GRAFICO




Races: -2.14, 1.31, 2.76, 4.74.

Las races son las intersecciones de la funcin con el eje de abcisas.
Calcular la ordenada en el origen.

Men 1 f. .Opcin Imagen....

Calcular la imagen de 0:	-3.055.

La ordenada en el origen es la interseccin de la funcin con el eje de ordenadas. O lo que es lo mismo, la imagen de 0.


1.2 Mximos y mnimos relativos. 

Calcular los mximos.

Men 1 f. .Opcin Mximos.

Hay un nico mximo: (0.5, 2)

Calcular los mnimos.

Men 1 f. .Opcin Mnimos.



	           -GRAFICO




Hay dos: (-1, -4.75) y (4,-1.28)

Vamos a ver con ms detalle el significado de estos conceptos. Concretaremos en el mnimo (-4,-1.28). Para ello, procedamos del siguiente modo:

Men 1 f. .Opcin Imagen....

Calcular la imagen de -4:	-1.277.

Pulsar el botn d->

La imagen de 4.025 que es -1.276.

Pulsar dos veces el botn  <-i

Obtenemos la imagen de 3.975, es -1.276.

Observar que sus imgenes son mayores que la imagen de -4, -1.277 . Si calculamos las imgenes de los puntos alrededor de -4, vemos que todas son mayores. Si nos desplazamos mucho, por ejemplo, buscando la que es imagen del 0 que es -3.055, vemos que no. Este es el concepto de mnimo relativo. En un punto a (en nuestro caso -4) del eje de abcisas diremos que existe un mnimo relativo para la funcin F(x), si, existe un entorno de a en el cual las imgenes de los valores distintos de a, son mayores que la imagen de a (-1.277).


1.3 Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Calcular los intervalos de crecimiento.

Men 1 f. .Opcin Intervalos de crecimiento.



                        -GRAFICO





Observamos dos intervalos: (-1,2) y (4.,...)

Qu significan?. Si observamos la grfica de izquierda a derecha, vemos que son precisamente la parte de la grfica con sentido ascendente.

Precisemos un poco ms sto: Veamos qu ocurre en un punto que pertenezca a uno de los dos intervalos, por ejemplo, el 5.5.

Men 1 f. .Opcin Imagen....

Calcular la imagen de -5.5:	5.519.

Pulsar el botn  d->

La imagen de 5.525 que es 5.807.

Pulsar dos vecesel botn  <-i

Obtenemos que la imagen de 5.975 es 5.238.

Observamos que la imagen a su derecha (del 5.5) es mayor y menor a su izquierda. Por ello definimos que en un punto la funcin es creciente si existe un entorno de este punto, en nuestro caso 5.5, en el cual las imgenes a su derecha son mayores y menores a su izquierda.

Calcular los intervalos de decrecimiento.

Men 1 f. .Opcin Intervalos de decrecimiento.

		-GRAFICO



Observamos dos intervalos: (...,-1) y (2,4)

Qu significan?. Si observamos la grfica de izquierda a derecha, vemos que son precisamente la parte de la grfica con sentido descendente.

Precisemos un poco ms sto. Vamos a ver que ocurre en un punto que pertenezca a uno de los dos intervalos, por ejemplo, el 3.5.

Men 1 f. .Opcin Imagen....

Calcular la imagen de -3.5:	-0.953.

Pulsar el botn  d->

La imagen de 3.525, es -0.980.

Pulsar dos vecesel botn  <-i

Obtenemos que la imagen de 3.475 es -0.924.

Observamos que la imagen a su derecha (del 3.5) es menor y mayor a su izquierda (recordar  que son nmeros negativos). Por ello definimos que en un punto la funcin es decreciente si existe un entorno de este punto, en nuestro caso 3.5, en el cual las imgenes a su derecha son menores y mayores a su izquierda.

Pongamos orden:

(...,-1) decreciente.	(-1,2) creciente.	(-2,4) decreciente.	(4,...) creciente.


1.4 Relacin entre los anteriores conceptos y la derivada.

Hemos aprendido los conceptos de mximo, mnimo, intervalos de crecimiento y decrecimiento. Ahora veremos un mtodo para hallarlos utilizando la derivada.

1.4.1 Relacin entre intervalos de crecimiento y decrecimiento y la derivada.

Calculemos la derivada en un punto donde la funcin es decreciente, 3.6.

Men 1 f. .Opcin Derivada en un punto....

Calcular la derivada de -3.6:	-0.98.


		-GRAFICO



Calcular la derivada en los puntos contiguos mediante los botones  <-i y d->.

Observamos que siempre son valores con signo  negativo.

Ahora calcularemos la derivada en un punto donde sea creciente.

Calcular la derivada de -4.5:	2.66


		-GRAFICO



Calcular la derivada en los puntos contiguos mediante los botones  <-i y d->.

Observamos que siempre son valores con signo  positivo.

Con todo ello podemos concluir:
-Una funcin es decreciente en un punto cuando su derivada es  negativa.
-Una funcin es creciente en un punto cuando su derivada es  positiva.

Veamos qu ocurre en los puntos donde la derivada no es ni positiva ni negativa. Es decir, cuyo valor sea 0.

Men 1 f. .Opcin Derivada en un punto....

Calcular la derivada de 3.8:	-0.58.

Calcular la derivada en los puntos a su derecha mediante el botn d->. Hasta que el valor sea positivo. Observar la forma de la recta tangente representada.

Observamos que cuando x=4, la recta tangente es horizontal y su pendiente (la derivada) vale: 0. Recordar que en el 4 hay un mnimo.

Calcular la derivada de 1.9:	0.2.

Calcular la derivada en los puntos a su derecha mediante el botn d->. Hasta que el valor sea negativo. Observar la forma de la recta tangente representada.


-GRAFICO


Observamos que, cuando x=2, la recta tangente es horizontal y su pendiente (la derivada) vale: 0. Recordar que en el 2 hay un mximo.


De todo ello podemos sacar la siguiente conclusin:

En los mximos y mnimos relativos de una funcin la derivada se anula (0).

Tambin hemos visto cmo diferenciar un mximo de un mnimo. En el primer caso, x=4, mnimo, la derivada era negativa para nmeros menores que 4. Se haca 0 en el 4. Y positiva para nmeros mayores que 4. Es decir, la funcin derivada es creciente en el 4.  Pero hemos visto que una funcin es creciente cuando su derivada es positiva. A consecuencia de sto:

En un punto hay un mnimo, si la derivada = 0, y la segunda derivada es positiva (As la primera derivada es creciente).

En el segundo caso, x=2, mximo, la derivada era positiva para nmeros menores que 2. 0 en el 2. Negativa para nmeros mayores que 2. Es decir, la funcin derivada es creciente en el 2. Pero hemos visto que una funcin es decreciente cuando su derivada es negativa. Lo que implica que:

En un punto hay un mximo, si la derivada = 0, y la segunda derivada es negativa (As la primera derivada es decreciente).

Para ver un poco mejor sto, dibujemos la funcin derivada.

Men 1 f. .Opcin Funcin derivada.

-GRAFICO

Observamos que los puntos donde se hallan los mximos y mnimos es donde la funcin derivada (en verde) corta el eje de abcisas . 

En el mximo, la funcin derivada es decreciente. En los mnimos, decreciente.






Resumen:
Una funcin es creciente en un punto x ,si F(x)>0.
Una funcin es decreciente en un punto x ,si F(x)<0.
Una funcin tiene un mximo en un punto x, si F'(x)=0 y  F'(x)<0.
Una funcin tiene un mnimo en un punto x, si F'(x)=0 y  F'(x)>0.



1.5 Puntos de inflexin. Intervalos de concavidad y de convexidad.

Calcular los intervalos de concavidad.

Men 1 f. .Opcin Intervalos de concavidad.


-GRAFICO


Observamos dos intervalos: (...,0.2) y (3.1,...)


Calcular los intervalos de convexidad.

Men 1 f. .Opcin Intervalos de convexidad.

-GRAFICO

Observamos un nico intervalo: (0.22,3.1)

Podemos describir los dos tipos de intervalos, segn vemos en la grfica, de la siguiente manera.

Valles:		Intervalos de concavidad.

Montaas:	Intervalos de convexidad.

Precisaremos mejor estos conceptos cuando los relacionemos con la derivada.

Calcular los puntos de inflexin.


Men 1 f. .Opcin Puntos de Inflexin.

-GRAFICO





Observamos dos puntos de inflexin: (0.2,-2.51) y (3.1,-0.44)

Dentro de los mrgenes de error, vemos que los lmites de los intervalos de concavidad y convexidad son los puntos de inflexin.


As: 
Punto de inflexin, son los puntos donde la grfica cambia de cncava a convexa o viceversa.


1.6 Relacin entre los anteriores conceptos y la derivada.

Calculemos la derivada en un punto donde la funcin es cncava, -0.8.

Men 1 f. .Opcin Derivada en un punto....

Calcular la derivada de -0.8:	0.9.

Calcular la derivada en los puntos a su derecha mediante el botn d->, hasta, por ejemplo, -0.45:		2

Observamos que la recta tangente queda  debajo de la curva en todos los casos.  Tambin hemos podido comprobar que el valor de la derivada iba aumentando. Es decir, la funcin derivada es creciente en los puntos donde la funcin es cncava.

Ahora calcularemos la derivada en un punto donde sea convexa.

Calcular la derivada de 1.4:	1.25.

Calcular la derivada en los puntos a su derecha mediante el botn d->, hasta, por ejemplo, 1.8:			0.41

Observamos que la recta tangente queda por encima de la curva en todos los casos. Tambin hemos podido comprobar que el valor de la derivada iba disminuyendo. Es decir, la funcin derivada es decreciente en los puntos donde la funcin es convexa.

Para comprender mejor sto, proseguiremos con:


Men 1 f. .Opcin Segunda derivada.

-GRAFICO

Observamos lo siguiente:

Una funcin es cncava donde la primera derivada es creciente, que equivale a que la segunda derivada sea:		
positiva. 

Cuando sea convexa, la segunda derivada ser:
negativa.



En los puntos de inflexin la segunda derivada vale: 	0.



1.7 Asntotas verticales.

Representar la  siguiente funcin:F(x)=1/((x+3)*(x-1))+1 . 
Le llamaremos funcin 2. 

Valores de los ejes, los iniciales.

Calcularemos las imgenes de los puntos cercanos al -3.

Men 1 f. .Opcin Imagen....

Calcular la imagen de -3.1:	3.43902.

Pulsar sucesivamente el botn d->.
Vemos que la imagen de -3.025 vale 10.93789 y -3 no tiene imagen. Si vamos ms a la derecha, stas tienen valores negativos.

Si calculamos imgenes ms prximas al -3, por la izquierda.

f(-3.01)=	25.937
f(-3.001)=	250.93
f(-3.0001)=	2500.9

Vemos que los valores son cada vez mayores. Cuando las imgenes de una funcin, al acercarnos a un punto, se hacen cada vez mayores, (tienden a infinito o a menos infinito) decimos que la funcin tiene una asntota vertical.

Podemos ver que si nos acercamos a -3 por la derecha, las imgenes tienden a menos infinito.

f(-2.99)=	-24.062
f(-2.999)=	-249.06
f(-2.9999)=	-2499.0
f(-2.999999)=	-249999

De hecho, se define asntota vertical como la ecuacin de una recta vertical, x=a, donde a es el punto singular.

Vemos esas rectas:

Men 1 f. .Opcin Discontinuidades aisladas.


-GRAFICO


Las ecuaciones de las asntotas de esta funcin son:

x=-3,	x=1.




1.8 Asntotas Horizontales.

Representar la anterior funcin:F(x)=1/((x+3)*(x-1))+1,  juntamente con:
G(x)=1. Le llamaremos funcin 3. 



-GRAFICO


Observamos que, para los valores extremos de la representacin, las dos grficas tienden a confundirse. Cuando esto ocurre, decimos que la funcin tiene una asntota horizontal. En nuestro caso y=1.

En general, la ecuacin de una recta se expresa: y=ax+b dondea pendiente, que, en nuestro caso, por ser una recta horizontal, siempre vale 0 y donde b, la ordenada en el origen (trmino independiente), se calcula mediante el siguiente lmite:

				-GRAFICO
a=lim              f(X)
    x->infinito 


1.9 Asntotas Oblicuas.

Representar las funciones: F(x)=x^2/(x-2). Funcin 4. G(x)=x+2. Funcin 5. 

Valores de los ejes:
Origen eje X	-10
Unidad eje X 	2
Final eje X 	20
Origen eje Y	-10
Unidad eje Y 	2
Final eje X 	20



                              -GRAFICO




Observamos que, para los valores extremos de la representacin, las dos grficas tienden a confundirse. Cuando esto ocurre decimos que la funcin tiene una asntota oblcua. En nuestro caso, y=x+2.

Para hallar la ecuacin de esta recta, y=ax+b:

-GRAFICO
                            f(x)
a=lim               ----------        y         b=lim              f(x) - ax
    x->infinito        x                            x->infinito

			



1.8 Simetra: Par, impar.

Decimos que una funcin tiene simetra par, funcin par, cuando f(x)=f(x-).
Decimos que una funcin tiene simetra impar, funcin impar, cuando f(x)=-f(x-).

Veamos el significado de sto.

-Representar la  siguiente funcin:F(x)=1/((x^2-2). Funcin 6. 




                              -GRAFICO



-Calcular las imgenes de:1, -1; 3.5, -3.5; -2, 2; 5, -5.

F(1)=-1			F(-1)=-1
F(3.5)=0.097561		F(-3.5)=0.097561
F(-2)=0.5			F(2)=0.5
F(5)=-0.043478		F(-5)=-0.043478

Observamos que la imagen de un nmero es igual a la de su opuesto. Cuando una funcin cumple esta propiedad decimos que es par. Tambin se denomina, simtrica respecto al eje Y. El eje Y acta como un espejo.

-Representar la  siguiente funcin:F(x)=2/(x^3-2x). Funcin 7. 


                              -GRAFICO



-Calcular las imgenes de:1, -1; 3.5, -3.5; -2, 2; 0.5, -0.5.

F(1)=-2			F(-1)=2
F(3.5)=0.055749		F(-3.5)=-0.055749
F(-2)=-0.5			F(2)=0.5
F(0.5)=-2.285714		F(-0.5)=2.285714

Observamos que la imagen de un nmero es igual a la de su opuesto cambiada de signo. Cuando una funcin cumple esta propiedad decimos que es par. Tambin se denomina, simtrica respecto al origen de coordenadas.

Resumen:

Para representar una funcin, se procede del siguiente modo:
Se calcula:
	Dominio.
	Cortes con los ejes:
		Races.
		Ordenada en el origen.
	Mximos relativos.
	Mnimos relativos.
	Intervalos de crecimiento.
	Intervalos de decrecimiento.
	Puntos de inflexin.
	Intervalos de concavidad.
	Intervalos de convexidad.
	Asntotas verticales.
	Asntotas horizontales.
	Asntotas oblicuas.
	Simetras.

-Para calcularlos, actuamos tal como hemos visto anteriormente.
-Debe tenerse en cuenta que no suele ser necesario calcular todos y cada uno de los puntos. 
-Despus se traslada todo al dibujo de la grfica.

Probar con la siguiente grfica: f(x)=x^3/(x^2-2)

Si escogemos como valores de los ejes:

Origen eje X	-7.5
Unidad eje X 	2
Final eje X 	7.5
Origen eje Y	-6
Unidad eje Y 	2
Final eje X 	6

Debe salir una cosa as:

                           -GRAFICO


Ficha 2 - Matemticas.

Tema: 
	Integral

Conocimientos previos: 
	Areas. Derivacin. Clculo de primitivas.

Nivel :
	3 BUP, COU y primer curso universitario de carreras cientfico-tcnicas.

Insercin Curricular:
	Clculo Diferencial e Integral.

Objetivos: 
	Conocer los conceptos de: Integral definida. Funcin rea. 
	Darse cuenta de que las funciones rea son funciones primitivas. Teorema fundamental del clculo. 
	Comprender, y saber aplicar,  el "Segundo teorema fundamental del clculo", regla de Barrow.

Procedimiento:

2.1 Integral definida

Ejecutar el programa: Funciones para Windows

Representemos la siguiente funcin:F(x)=1/20(x^3+2x^2-11x+38) . Le llamaremos funcin1

Valores de los ejes:
Origen eje X	-7.5
Unidad eje X 	1
Final eje X 	7.5
Origen eje Y	-4
Unidad eje Y 	1
Final eje X 	6

Calcular la integral definida entre -4 y 1.

Men 1 f. .Opcin Integral definida.... Escribir como extremos de integracin los dados.



	Grfic INTDEF.CLP
                              -GRAFICO



Observar  :
El valor :	       12.60
Lo que representa: Area limitada por la curva, eje de abscisas, rectas: x=-4 y x=1

Calcular la integral definida entre -4 y -1:	8.737

Calcular la integral definida entre -1 y 1:	3.866

Suma los resultados:  			12.60

Observa la siguiente propiedad: 
(Int. def. entre -4 y -1) + (Int. def. entre -1 y 1) = (Int. def. entre -4 y 1)


2.2 Funcin rea

Calcular  una primitiva de la funcin anterior: 1/20*(x^4/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)

Ejecutar de nuevo programa Funciones para Windows. Simultneamente con el anterior.

Representemos la funcin primitiva:F(x)=1/20*(x^4/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)


Calcular la imagen de -4:	-10.933

Representemos la funcin primitiva:
F(x)=1/20*(x^4/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)+10.933. Le llamaremos funcin 2 (Hemos escogido una primitiva en la cual la imagen del -4 vale 0).

Valores de los ejes:

Origen eje X	-7.5
Unidad eje X 	1
Final eje X 	7.5
Origen eje Y	-4*4
Unidad eje Y 	1*4
Final eje X 	6*4


Calcular la imagen de -4:	0.000

Calcular la imagen de -1:	8.737

Calcular la imagen de 1:	12.60

Observa la siguiente propiedad: 
Las imgenes de x de la funcin 2 son las integrales definidas entre -4 y x de la funcin 1.

Anteriormente hemos visto que la integral definida era el rea que quedaba debajo de la curva. Esta nueva funcin (funcin 2) mide esta rea. Le llamamos:
Funcin rea

La funcin que utilizamos como funcin rea (funcin 2) es una primitiva de la funcin 1. 
Se puede demostrar que esto ocurre siempre. Es decir:

Dada una funcin, si tiene funciones primitivas, stas son funciones rea.

Esto se denomina: Teorema fundamental del clculo.
(Tambin se enuncia: Dada una funcin, si tiene una funcin rea, la derivada de la funcin rea es la funcin original).


2.3 Clculo de la integral definida entre dos puntos mediante una funcin rea

Para calcular la integral definida entre, por ejemplo, -1 y 1, podemos hacerlo mediante la funcin rea (funcin 2). La imagen de 1 es el rea entre -4 y 1. La imagen de -1 es el rea entre -4 y -1. (ver apartado 2.2).

Restamos estos dos valores:		3.866

Que es el valor encontrado en el apartado 2.1, de la integral definida entre -1 y 1 (empleando la funcin 1)

Esta forma de hallar la integral definida entre 2 valores, restando las imgenes de una funcin primitiva, se conoce como: Segundo teorema fundamental del clculo o regla de Barrow.


2.4 Distintas funciones rea

Hemos visto que la funcin rea (funcin 2) es una primitiva de la primera funcin (funcin 1). Pero primitivas de una funcin hay muchas. Si cambiamos la constante 10.933 por cualquier nmero, la funcin resultante tambin cumple el hecho de ser una primitiva de la funcin 1. Lo que ahora comprobaremos es que, si utilizamos otra primitiva, podemos seguir calculando la integral definida entre 2 puntos restando sus imgenes, calculadas en la nueva funcin.

Representemos una nueva funcin primitiva:

F(x)=1/20*(x^3/4+2/3x^3-11/2x^2+38x). Le llamaremos funcin 3.

Valores de los ejes:

Origen eje X	-7.5
Unidad eje X 	1
Final eje X 	7.5
Origen eje Y	-4*4
Unidad eje Y 	1*4
Final eje X 	6*4


Calcular la imagen de -1:	-2.196

Calcular la imagen de 1:	1.670

Restamos estos dos valores:	3.866

Y observamos el mismo resultado. Es decir: para calcular la integral definida entre 2 puntos de una funcin de la cual conozcamos una primitiva (Para ello se estudia el clculo de integrales indefinidas), se calcula la diferencia de sus imgenes. El resultado no depende de la primitiva escogida. 
De hecho las distintas primitivas slo se diferencian en una constante aditiva. Lo que hace que, al restar 2 imgenes, esta constante se cancele.

Para ver la forma de las distintas primitivas o funciones rea, representaremos 4 al mismo tiempo.

Representar:

F(x)=1/20*(x^3/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)
G(x)=1/20*(x^3/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)+4
H(x)=1/20*(x^3/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)-8
I(x)=1/20*(x^3/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)+16


	Grfic INTINDE.CLP
                              -GRAFICO


Observar que tienen la misma forma. Slo se distinguen por una traslacin vertical.

Ficha 3 - Economa.

4.1

Tema: 	Clculo de la cuota ntegra de una declaracin de renta correspondiente al ejercicio del ao 1992 (Declaraciones realizadas durante 1993).

Problema:	Supongamos que una persona ha realizado el clculo de la base imponible de su declaracin de renta y su valor es de, por ejemplo, 4800000 pts. El problema consiste en calcular la cuota ntegra, que es el total que le corresponde pagar a 	Hacienda.

Procedimiento:

La tabla que relaciona la cuota ntegra en funcin de la base imponible es lo que se llama escala de gravamen.


Base                Cuota
Imponible       Integra

            0	           0
  400000	           0
1000000	 120000
1570000	 245400
2140000	 385050
2710000	 538950
3280000	 709950
3850000	 892350
4420000	1086150
4990000	1291350
5560000	1507950
6130000	1735950
6700000	1978200
7270000	2234700
7840000	2502600
8410000	2781900
8980000	3072600
9550000	3377550


(Fuente: Gua practica para la cumplimentacin de la declaracin de renta, Hacienda Pblica.)

El significado de esta tabla es el siguiente:

Si la base imponible es uno de los valores de la izquierda, la cuota ntegra es el valor de la derecha. En el caso de que est entre 2 valores, que es lo normal, la cuota ntegra es la interpolacin lineal entre los dos valores.

Para calcular el resultado de nuestro problema, procederemos de la siguiente manera:
Programa: Write

-Seleccionamos los valores de la tabla.

-Los copiamos en el portapapeles, men Edicin, opcin Copiar.
-Ejecutamos el programa funciones, en el caso de que no estuviera ya en funcionamiento.

Programa: Funciones para Windows

-Seleccionamos la opcin funciones, submen Cambiar funciones o parmetros.

-Clic en el botn de dilogo Funcin numrica.

-Escogemos una funcin en el grupo de Radio-Botones, por ejemplo F(X), mediante un clic de ratn o con la combinacin de teclas Alt F, apretamos el botn de Aceptar.

-Escogemos la opcin Pegar, contestamos Si al siguiente cuadro de dialogo.

-Activamos la Caja a chequear, mediante un clic o Alt L.

-Terminamos el cuadro mediante otro Aceptar, volviendo al men principal.

-Cambiaremos los valores de los ejes por los siguientes:

  
Origen eje X	-1000000	Origen eje Y	-1000000
Unidad eje X 	2000000	Unidad eje Y 	1000000
Final eje X 	10000000	Final eje X 	5000000


-Pulsamos Aceptar.

-Escogemos la subopcin Imagen dentro del men 1 f.

-Escribimos el valor 4800000, Aceptar i obtenemos el valor buscado:

Resultado:	1222950 pts., valor de la Cuota ntegra.


		-GRAFICO


4.2

Tema: 	Clculo del tipo aplicable. Porcentaje (%)

Procedimiento:

El tipo aplicable no es ms que el tanto por ciento que se ha de aplicar al Resto de la base imponible para sumar a la Cuota ntegra.
As, por ejemplo, en nuestro caso: La base imponible es de 4800000 que se encuentra entre 4420000 y 4990000. A 4542000 le corresponde una cuota  ntegra de 186150. Al resto, hasta llegar a 4800000, que es de 380000 (=4800000-4420000) le corresponde una cuota ntegra de 136800 pts. (=1222950-1086150). El Tipo aplicable es el tanto por ciento que representa las 136800 pts. respecto a las 380000, que se calculara mediante la frmula siguiente: Tipo aplicable=(136800/380000)*100 y da de resultado el 36%.

Mediante Funciones podemos calcular el Tipo aplicable mediante una forma mucho ms sencilla:

Programa: Funciones para Windows

-Desactivamos la opcin Baja precisin del men Opciones.

-Escogemos la opcin Derivada en un punto, men 1 f., y escribimos el valor 4800000 pulsando la tecla Aceptar, nos muestra el valor 0.36 que, multiplicado por 100, nos da el 

Resultado:
Tipo aplicable = 36%

                    Grfic renta912.clp
                              -GRAFICO


Creemos interesante poner la tabla del ao anterior, ejercicio 1991:

Base                Cuota
Imponible       Integra


            0	           0
  681300	           0
1135500	 113500
1703250	 261165
2271000	 414458
2838750	 573428
3406500	 743753
3974250	 925433
4542000	1118468
5109750	1322858
5677500	1541441
6245250	1774219
6813000	2021190
7380750	2282355
7948500	2557714
8516250	2847266
9084000	3151013


(Fuente: Gua practica para la cumplimentacin de la declaracin de renta, Hacienda Pblica.)

Puede ser interesante comparar las dos grficas, por ejemplo, que es lo que debi pagar una persona con la misma Base Imponible, el ao anterior.

Ficha 4 - Ciencias Sociales.

	El entorno natural de este programa podra creerse que se halla en la asignatura de matemticas. El hecho de poder representar funciones numricas ampla mucho su dominio de aplicacin. Creemos que en ciencias sociales es donde mejor podran aplicarse sus potencialidades. Elaboramos esta ficha, estudio de caractersticas climatolgicas, como muestra de los mltiples usos que puede tener el programa. 

	Esta ficha la consideramos ms como un modelo para otras fichas, que como una ficha ya directamente utilizable. 

	Tambin es directamente aplicable en otros campos como: estudio de temperaturas, en general, valores climatolgicos; estudios demogrficos; estudios econmicos; estudios de ndices; etc.

Tema: 	
	Estudio comparativo de la pluviosidad en diversas zonas de Espaa.

Objetivo general: 
	Comparar las caractersticas pluviomtricas de distintas zonas climticas de Espaa: Espaa lluviosa, Espaa seca y Espaa semirida.

Procedimiento:

Ejecutar el programa: Funciones para Windows

Condiciones de trabajo:

-Grfico maximizado. Pulsar en la ventana el botn de maximizacin, esquina superior derecha.

-La opcin "Baja precisin" del men "Opciones" activa.  Creemos que es mejor as. Recordar que, por defecto, al arrancar el programa aparece ya activa. Como esta opcin slo afecta a los puntos singulares, mximos, mnimos, intervalos..., puede provocar ligeras diferencias con el clculo de imgenes. Si quiere evitar estas diferencias, desactive esta opcin.

-La opcin "Trazar clculos", del mismo men,  No activa.

-Las funciones que vamos a representar son numricas. Recordemos que podemos copiar los datos en el portapapeles y pegarlos en el cuadro, FUNCIONES NUMRICAS - Introducir valores.

-En todos los casos activaremos la opcin Lineal. Tambin puede ser interesante activar la opcin Mostrar puntos.

Partimos de las siguientes tablas de valores. Hemos hecho la siguiente conversin de meses a valores numricos:

Enero	15
Febrero	45
Marzo	75
Abril	105
Mayo	135
Junio	165
Julio	195
Agosto	225
Setiembre	255
Octubre	285
Noviembre	315
Diciembre	345

Datos de pluviosidad (en milmetros). Fuente Juan Vil Valenti, ESPAA tomo II, Ed. Ocano, 1983. No indica el ao.

Espaa lluviosa	 Lugo (442 m.)	Espaa seca	Valladolid (715 m.)	Espaa semirida	Almera (30 m.)
15	118	15	27	15	23
45	132	45	32	45	21
75	149	75	38	75	20
105	75	105	31	105	27
135	80	135	40	135	23
165	44	165	37	165	7
195	30	195	15	195	0
225	37	225	12	225	4
255	58	255	28	255	16
285	82	285	39	285	24
315	112	315	44	315	33
345	185	355	41	355	27



-Pulsamos el botn Funcin numrica del cuadro de dilogo principal.

-Escogemos la primera funcin F(x).

-Introducimos los valores correspondientes a Lugo, o los pegamos si previamente los seleccionamos y los copiamos en el portapapeles.

-Activamos las opcines Lineal y Mostrar puntos.

-Pulsamos el botn Aceptar.
-Repetimos la operacin tres veces ms para las siguientes poblaciones.Utilizamos para ello las funciones:G(x), H(x), I(x).
Valores de los ejes:
Origen eje X	0	Origen eje Y	0
Unidad eje X 	30	Unidad eje Y 	20
Final eje X 	360	Final eje X 	200

-Pulsamos el botn Aceptar.

Se dibujan las grficas pluviomtricas para las tres poblaciones.


               -GRAFICO


Calcularemos ahora sobre el grfico las diferencias entre los mximos y minimos de pluviosidad para las distintas poblaciones.

La Lnea azul corresponde a Lugo.
-Pulsamos con el botn izquierdo en el punto ms bajo de la grfica.

Escribimos el resultado: (195,30) que corresponde al ms de Julio y una pluviosidad de 30.

-Pulsamos con el botn izquierdo en el punto ms alto de la grfica.

Escribimos el resultado: (345,185) que corresponde al mes de Diciembre y una pluviosidad de 185.

As, la diferencia pluviomtrica es de 185-30=155.
Haremos lo mismo en las dos poblaciones restantes. Previamente, limpiaremos la pantalla.

-Pulsamos la opcin ,Limpiar del men, Opciones.

Las diferencias pluviomtricas restantes:
Valladolid=	44-12=22		Almera=	33-0=	33

Ficha 5 - Matemticas.


Tema: 	
	Estudio de las series de Fourier.

Nivel :
	COU. Primer y segundo curso universitario, carreras cientfico-tcnicas

Conocimientos previos: 
	Conocer las funciones trigonomtricas y, en general, el concepto de funciones peridicas. Podra ser interesante conocer el clculo de primitivas, pero, como para calcular integrales definidas utilizaremos el mismo programa funciones, no lo creemos imprescindible. 


Objetivo general: 
	Conocer que se puede aproximar una funcin peridica mediante una suma de funciones trigonomtricas.


Procedimiento:

-Ejecutar el programa: Funciones para Windows.

Valores de los ejes, los iniciales.

Condiciones de trabajo:

-Grfico minimizado.

-La opcin "Baja precisin", del men "Opciones", No activa.  .

-La opcin "Trazar clculos", del mismo men,  No activa. Aqu el programa realiza muchos clculos y precisamos de la mxima rapidez.

La funcin que estudiaremos es la de diente de sierra. Utilizaremos los siguiente valores:

x	F(X)
	
-10	-2
-6	2
-5.9999	-2
-2	2
-1.9999	-2
2	2
2.0001	-2
6	2
6.0001	-2
10	2

-Recordemos que podemos copiar los datos en el portapapeles y pegarlos en el cuadro, FUNCIONES NUMRICAS - Introducir valores.
-Activar la opcin Lineal. Muy importante.

Es una funcin peridica de perodo 4.

La serie de Fourier o desarrollo de Fourier de F(X) se define por:

-GRAFICO

	ao  +  Sumatorio[1, infinito] { an.cos(n.pi.x/L)  +  bn.sen(n.pi.x/L) }

donde los coeficientes de Fourier son:

-GRAFICO
	an = 1/L . Integral definida[-L,L] { f(x) . cos(n.pi.x/L) }

	bn = 1/L . Integral definida[-L,L] { f(x) . sen(n.pi.x/L) }

Donde 2L es el valor del periodo y n=0,1,2,3,...

Lo que vamos a realizar es superponer los sucesivos desarrollos de la serie de Fourier sobre la funcin diente de sierra.

Para ello, debemos calcular previamente los coeficientes de Fourier, an, bn.
Podemos hacerlo calculando las integrales definidas correspondientes o utilizando la opcin, clculo de Integral definida, que nos ofrece el programa. 
A continuacin, describiremos cmo hacerlo.

-Ejecutar de nuevo el programa: Funciones para Windows.

Valores de los ejes, los iniciales.

Los trminos an valen 0 en todos los casos. La funcin Cos(x) es par y la funcin x es impar. El producto de ambas es impar. Como hemos de calcular la integral definida entre -L y L, sta ser siempre 0. Se puede comprobar calculando la integral definida de la funcin:
f(x)=x.cos(n.p.x/2), entre -2 y 2, siendo n cualquier nmero natural.

Calcular el trmino b1.

-Escribir la funcin,f(x)=1/2x.sen(px/2).

-Representarla. Botn Aceptar.

 Men 1 fu.. Calcular la integral definida entre -2 y 2 = 1.273076.

Repetimos el proceso para calcular los sucesivos coeficientes.

Trmino b2.

-Escribir la funcin,f(x)=1/2x.sen(2px/2).

Calcular la integral definida entre -2 y 2 = -0.636292.

Trmino b3.

-Escribir la funcin,f(x)=1/2x.sen(3px/2).

Calcular la integral definida entre -2 y 2 = 0.423922.

Trmino b4.

-Escribir la funcin,f(x)=1/2x.sen(4px/2).

Calcular la integral definida entre -2 y 2 = -0.317655.

Trmino b5.

-Escribir la funcin,f(x)=1/2x.sen(5px/2).

Calcular la integral definida entre -2 y 2 = 0.253829.
...

El desarrollo de Fourier, para los coeficientes que hemos calculado, queda:

G(x)=1.273076 sen(px/2) -0.636292 sen(2px/2) +0.423922 sen(3px/2)
            -0.317655 sen(4px/2) +0.253829 sen(5px/2)

Volvemos a la ventana donde tenemos representada la funcin diente de sierra. Vamos al cuadro de dilogo: FUNCIONES - Entrada de datos. En el cuadro de entrada G(X), introducimos la anterior funcin.

-Pulsamos el botn, Aceptar. Se dibujan las dos funciones.

                         -GRAFICO


NOTA: Creemos que puede ser muy instructivo hacer esto ltimo cada vez que se calcula un coeficiente. Observaremos cmo la aproximacin va mejorando sucesivamente.

Ficha 6 - Economa.


Tema: 	
	Estudio grfico de las cotizaciones de Bolsa y de las medias mviles.

Objetivo general: 

	Se dice que cuando la grfica de las medias mviles corta a la de cotizaciones, es uno de los criterios que puede tenerse en cuenta a la hora de comprar y/o vender.

	Concretamente, cuando corta en situacin de cotizaciones ascendentes, se sugiere comprar. En situacin contraria, se sugiere vender.

	Concretaremos estos trminos a continuacin.

NOTA: Hay que tener en cuenta que los inversores tienen en cuenta una multitud de otros factores, muchos de ellos tambin grficos, volmenes de negocio...

Procedimiento:

-Ejecutar el programa: Funciones para Windows.

Valores de los ejes, los iniciales.

Condiciones de trabajo:

-Grfico maximizado.

-La opcin "Baja precisin", del men "Opciones", No activa.  .

-La opcin "Trazar clculos", del mismo men,  No activa. 

-Cambiaremos los valores de los ejes por los siguientes:
 
Origen eje X	0	Origen eje Y	0
Unidad eje X 	2	Unidad eje Y 	50
Final eje X 	105	Final eje X 	600

Las medias mviles son una nueva tabla de valores en que cada valor es la media de las cotizaciones de n das. 

A partir de una tabla de cotizaciones de Bolsa,  dependiendo del nmero de das que utilicemos, podemos elaborar diferentes tablas de medias mviles.

Partiremos de un ejemplo. Son las cotizaciones de los aos 1987 y 1988 de una compaa  cementera. Los valores son los correspondientes al cierre semanal. Debera hacerse con los valores del cierre diario. Como se trata de un ejercicio, este hecho carece de importancia.

Las medias mviles calculadas son de 6 semanas, es decir , 42 das.
	Sem.       Coti.  Medias mv.  Sem.   Coti.  Medias mv.
			53	290	256,3333
2	272		54	309	264,5
3	330		55	280	277
4	400		56	294	291,8333
5	510		57	289	292,8333
6	468		58	278	290
7	456	406	59	285	289,1667
8	541	450,8333	60	294	286,6667
9	549	487,3333	61	316	292,6667
10	520	507,3333	62	386	308
11	442	496	63	391	325
12	430	489,6667	64	406	346,3333
13	425	484,5	65	450	373,8333
14	460	471	66	454	400,5
15	490	461,1667	67	452	423,1667
16	495	457	68	440	432,1667
17	471	461,8333	69	442	440,6667
18	472	468,8333	70	432	445
19	445	472,1667	71	432	442
20	475	474,6667	72	403	433,5
21	450	468	73	402	425,1667
22	458	461,8333	74	400	418,5
23	475	462,5	75	421	415
24	466	461,5	76	428	414,3333
25	465	464,8333	77	432	414,3333
26	504	469,6667	78	424	417,8333
27	496	477,3333	79	392	416,1667
28	475	480,1667	80	395	415,3333
29	475	480,1667	81	402	412,1667
30	485	483,3333	82	393	406,3333
31	520	492,5	83	390	399,3333
32	493	490,6667	84	411	397,1667
33	490	489,6667	85	394	397,5
34	480	490,5	86	396	397,6667
35	590	509,6667	87	384	394,6667
36	515	514,6667	88	365	390
37	522	515	89	367	386,1667
38	555	525,3333	90	365	378,5
39	515	529,5	91	328	367,5
40	518	535,8333	92	360	361,5
41	542	527,8333	93	350	355,8333
42	485	522,8333	94	353	353,8333
43	425	506,6667	95	360	352,6667
44	365	475	96	362	352,1667
45	360	449,1667	97	368	358,8333
46	345	420,3333	98	352	357,5
47	290	378,3333	99	327	353,6667
48	260	340,8333	100	337	351
49	205	304,1667	101	320	344,3333
50	205	277,5	102	316	336,6667
51	283	264,6667	103	328	330
52	295	256,3333	104	318	324,3333

Representamos los valores de las cotizaciones en una funcin numrica, por ejemplo en F(X). Los valores de las medias mviles en una nueva funcin numrica, G(X). Recordar que podemos Copiar y Pegar.

El aspecto de la grfica es el siguiente:


                           -GRAFICO


Estudiemos concretamente el segundo ao. Parece que las condiciones inversoras son ms favorables.

Para ello, cambiar los valores de los ejes:

Origen eje X	52	Origen eje Y	0
Unidad eje X 	2	Unidad eje Y 	50
Final eje X 	105	Final eje X 	600

Calcular los puntos de corte. Men, 2 fu. opcin, Cortes.

Fijarse en los 4 primeros. Redondeamos los valores.

Semana	Cotizacin	modo 	accin
51	266	Crece	Comprar
56	292	Decrece	Vender
59	288	Crece	Comprar
69	441	Decrece	Vender

Calcular si hubiramos tenido algn beneficio en el caso de que hubiramos comprado 1 accin.
	292-266=	26
	441-288=	53

En total, 79. No est mal. Puede calcularse durante los 2 aos. A lo mejor, el beneficio no hubiera sido tanto.

Ficha 7 - Matemticas.

Tema: 
	Regresin.

Conocimientos previos: 
	Estadstica bsica. Clculo de: medias, desviacin tpica.

Nivel :
	3 BUP, COU y en general estudios que incluyan estadstica.

Insercin Curricular:
	Estadstica. Experencias con dos variables. Relacin estadstica.

Objetivos: 
	Conocer el concepto de relacin lineal estadstica. 
	Significado del coeficiente de correlacin lineal.
	Significado de la ecuacin de la recta de regresin.
	Prediccin.
	Otras ecuaciones de regresin.

Procedimiento:

1-	Planteemos el siguiente problema:

	Sean 10 alumnos de COU seleccionados al azar. Se nos da los pesos y las alturas en la tabla siguiente:


altura (metros)	Peso (Kg)
1.91	84
1.78	78
1.77	77
1.87	86
1.75	65
1.65	46
1.66	49
1.68	60
1.74	60
1.68	60

	Las preguntas que tratamos de contestar son:
	1 - Existe alguna relacin entre estos datos?
	2 - Si existe, en qu medida es cierta?
	3 - Cual es la relacin?. 
	4 - Cmo utilizarla para conocer valores no incluidos en la tabla?.
Procedamos de la forma siguiente:

Ejecutar el programa: Funciones para Windows.

Pulsar el botn Funcin numrica.

Escoger una funcin, activando el botn regresin.

Introducir los datos de la tabla anterior. Recordar que podemos utilizar el portapapeles.

Pulsar Aceptar.

Contestar Si a la modificacin de los ejes.

Pulsar Aceptar en el cuadro Principal. 


		-GRAFICO



Vemos representados los puntos y una recta. De momento slo nos fijaremos con los puntos:

Observar que hay una cierta tendencia en el sentido de que a valores altos de las alturas corresponde valores mayores de peso, y viceversa. Aclararemos mejor esto con otros ejemplos.

Para contestar a las preguntas 2 y 3:

Escoger men 1 fu, opcin Ecuacin de regresin...

Observamos que:

Coeficiente de Correlacin : 0.926	Y = 148 x  - 193

El coeficiente de correlacin es un valor entre 1 y -1. Cuando ms cerca se encuentre de ellos ms alta ser la relacin entre las dos variables. Ms adelalante hablaremos de ello.

La ecuacin de la recta es la contestacin a la tercera pregunta.

Para contestar a la pregunta n 4, por ejemplo: Cual es el peso esperado de una persona que mida 1.70 m.?

Escoger men 1 fu, opcin Imagen...

Escribir 1.70.

El valor esperado es de unos 59 Kg.


2-	Hagamos lo mismo con las dos tablas siguientes, Calcularemos para cada una el Coeficiente de correlacin.

a-	Sean 10 alumnos de COU seleccionados al azar. Se nos da el nmero de aciertos en dos ejercicios de matemticas y filosofa:

Matemticas	Filosofa
80	53
48	61
62	53
53	72
43	45
72	59
60	45
41	58
53	50
57	46


Procedemos como en el caso anterior. Observamos la grfica y el coeficiente de correlacin.
		-GRAFICO


No parece que haya una gran relacin entre los dos tipos de valores.

El coeficiente de correlacin, -0.039


b-	Hemos sacado al azar 10 monedas de una bolsa. Medimos la antigedad y el peso en gramos. Los resultados son los siguientes:

Antigedad (aos)	Peso (Kg)
5	9.41
9	9.45
14	9.33
17	9.34
23	9.31
31	9.26
35	9.22
42	9.21
46	9.15
50	9.08


		-GRAFICO

Procedemos como en el caso anterior. Observamos la grfica y el coeficiente de correlacin.

El coeficiente de correlacin, -0.97

En este caso s parece que hay una gran relacin entre los dos tipos de valores. Pero es distinta a ms aos menos peso. El coeficiente de correlacin es negativo y cercano a -1

c-	De todo ello llegamos a la siguiente conclusin si dos variables no tienen absolutamente ninguna relacin el coeficiente de correlacin tendr un valor cercano a cero. Si hay mucha relacin un valor absoluto cercano a uno. Si el coeficiente es positivo la correlacin ser directa, es decir ms valor x mayor y , y viceversa. Si el coeficiente es negativo la correlacin ser inversa, mayor valor de la x implica menor valor de la y.

3-	Puede que dos variables esten relacionadas, pero no necesariamente a travs de una relacin lineal. lo veremos con el siguiente ejemplo:

	Dejamos caer una piedra en un pozo y anotamos en distintos instantes de tiempo el espacio recorrido, obtenemos la siguiente tabla:


Tiempo (segundos)	Espacio (metros)
0	0
0.5	1.25
1	5
1.5	11.25
2	20
3	45
5	125
6	180
8	320

Observamos que hay una cierta relacin. De hecho el coeficiente de correlacin lineal es muy bueno 0.96.


Probemos otro tipo de ajuste.

Nos dirigimos al cuadro Regresin. Introducir Valores.

Pulsamos el botn Cuadrtica.

Finalmente pulsamos el botn Aceptar.

		-GRAFICO
Observamos que una parbola ajusta perfectamente los pares de valores. El coeficiente de correlacin parablico es 1, lo que significa que los datos se ajustan perfectamente a una parbola.

4 - Ejemplos. Ideas.


8 EGB y 1 de BUP  


FUNCION LINEAL

1-Representar    las    funciones:     F(x)=x,    G(x)=3x, H(x)=(1/3)*x.
Valores de los ejes: los iniciales.

Observar:
Todas pasan por el origen.
F(x) es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
G(x)  Est  ms  inclinada  que  las  otras  dos.  Idea  de pendiente.


2-Representar las funciones: F(x)=x, G(x)=x+2, H(x)=x-3
Valores de los ejes: los iniciales.

Observar:
Todas tienen la misma pendiente.
G(x)  y H(x) no pasan por el origen. Idea de ordenada en el origen.


3-Representar  las   funciones   F(x)=2x-1,  G(x)=2x+1.5, H(x)=0.5x-2.
Valores de los ejes: los iniciales.

Indicar:
Las pendientes y ordenadas en el origen respectivas.


4-Representar la funcin F(x)=2.5x+0.8
Valores de los ejes: los iniciales.

Calcular:
Imagen del 0. Ordenada en el Origen. Interseccin eje Y.
Imagen del 1.  Calcula la  diferencia  entre estos valores. Pendiente.
Calcula  la  raz.  Interseccin  eje  X.  Solucin  de  la ecuacin 2.5x+0.8=0.


RESOLUCION GRAFICA DE UN SISTEMA DE PRIMER GRADO

5-Representar    las    grficas.    F(x)=    2x-3   y G(x)=(1/4)*x+(10/4).
Valores de los ejes: los iniciales.

Calcular:
El punto de corte. Es la solucin del sistema:
	2x-y=3
	x+4y=10

Plantear otros casos en que las rectas sean paralelas.

FUNCION DE SEGUNDO GRADO

6-Representar  las  funciones  F(x)=x^2,  H(x)=(1/2)*x^2, y G(x)=2x^2.
Valores de los ejes: los iniciales.

Observar:
Las ramas se dirigen hacia arriba. 
Todas pasan por el origen.
El punto ms bajo  se  halla en  el  origen.  Vrtice de la grfica. 
Tienen todas un eje de simetra. Eje Y.
Cuanto mayor es el coeficiente, ms cerrada es la grfica.


7-Representar las funciones  F(x)=-x^2,  H(x)=-(1/2)*x^2, y G(x)=-2x^2.
Valores de los ejes: los iniciales.

Observar:
Las ramas se dirigen hacia abajo. 
Todas pasan por el origen.
El  punto ms alto  se  halla en  el origen.  Vrtice de la grfica. 
Tienen todas un eje de simetra. Eje Y.
Cuanto  mayor es  el  coeficiente en  valor  absoluto, ms cerrada es la grfica.


8-Representar  las  funciones  F(x)=x^2+1,  H(X)=-x^2+1   y G(x)=x^2-1.5.
Valores de los ejes: los iniciales.

Observar:
Tienen las  mismas caractersticas del  caso anterior. Pero el vrtice se  desplaza  en  el  eje Y tanto como  el coeficiente independiente.


9-Representar la funcin F(x)=x^2-4x+1
Valores de los ejes: los iniciales.

Observar:
Ramas hacia arriba.
El eje de simetra est desplazado 2 unidades a la derecha.
El vrtice est desplazado en horizontal  y vertical, punto (2,-3).  Para calcularlo,  acudir al men "otras Opciones", escoge "mnimos". F(x) tambin puede indicarse, F(x)=(x-2)^2-3.

Calcular:
Los puntos  de  corte con el  eje  X.  Opcin  "races". El vrtice est en el punto medio. El punto de corte con el eje Y. Imagen del 0.


RESOLUCION DE SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO

10-Representar las funciones F(x)=x^2-2x+2 y H(x)= x+2.
Valores de los ejes: los iniciales.

Calcular: Los puntos de corte.
Plantear  otros  casos:  Que  no  tengan  solucin.  Que la solucin sea nica.


2 DE BUP

FISICA 

11-Se lanza una  piedra verticalmente hacia  arriba con una velocidad de 20 m/s.
Valores de los ejes:

Origen eje X	0	Origen eje Y	0
Unidad eje X 	1	Unidad eje Y 	10
Final eje X 	6	Final eje X 	40

Calcular:
a/La altura mxima.
b/ El tiempo que tarda en volver a tierra.

Representar F(x)=-5x^2+20x  (altura(t)=-(1/2)gt+Vt)

Para hallar la altura mxima hay que calcular el valor x del mximo.
El tiempo que tarda en regresar a tierra se  halla buscando las races y restando sus valores.


ESTUDIO DE FUNCIONES

12-Estudio de generalidades: Representar F(x)=x^3/3+x^2/2-2x-1.5
Valores de los ejes: los iniciales.

Calcular:
Imagen 0, 1, 3, -2
Antiimagen 1, 0,-3
races
mximos
mnimos
intervalos de crecimiento
intervalos de decrecimiento
puntos de inflexin
intervalos de concavidad
intervalos de convexidad
Calcular la derivada en los puntos 1.5, -2, 1
Calcular la funcin derivada
Calcular la funcin segunda derivada
Calcular la integral definida entre -2.5 y -1


LIMITES

13-Representar la funcin F(x)=SEN(x)/x
Valores de los ejes: los iniciales.

Calcular: Discontinuidades aisladas

DERIVADA EN UN PUNTO

Derivada de f(x) en x es:

	         f(x)-f(x)
f(x)'= lim    ----------------
          x -> x       x-x

14-Calcular,  mediante la definicin, la derivada de x^2 en el punto x=3.

Representar  la  funcin  F(x)=(x^2-9)/(x-3).  
Valores de los ejes:

Origen eje X	-7.5	Origen eje Y	0
Unidad eje X 	1	Unidad eje Y 	1
Final eje X 	7.5	Final eje X 	10

Calcular: Discontinuidades aisladas.

Para  comprobarlo, representar  F(x)=x^2  y  calcular  la derivada en x=3.



LA FUNCION EXPONENCIAL

15-Representar la funcin F(x)=2^x
Valores de los ejes:

Origen eje X	-7.5	Origen eje Y	0
Unidad eje X 	1	Unidad eje Y 	1
Final eje X 	7.5	Final eje X 	10

Calcular:
Las imgenes de 0,1,1.4,2,3,-1,-2
Las antiimgenes de 1/16,  0.25, 4, raz cbica de 2, raz quinta de 4.


16-Representar   las    funciones   F(x)=2^x,   H(x)=1.5^x, G(x)=(1/2)^x, I(x)=0.3^x.
Valores de los ejes:

Origen eje X	-7.5	Origen eje Y	0
Unidad eje X 	1	Unidad eje Y 	1
Final eje X 	7.5	Final eje X 	10

Observar:
Si la base mayor que uno es  creciente.  Cuanto mayor es la base,  crece ms deprisa.  Si la base es menor que  uno, decrece. Cuanto  menor  sea,  decrece  ms  deprisa.  2^x  y  (1/2)^x  son simtricas respecto al eje Y. Todas pasan por el punto (0,1). Las imgenes son siempre positivas.


17-Si  disponemos  de un capital de  1000  pts. colocado al 15%,  calcular el  capital al  cabo  de  4  aos. Calcular cunto tiempo  hay  que  dejar  el   dinero  para  que   el  capital  se quintuplique.

Representar la funcin F(x)= 1000*1.15^x.
Valores de los ejes:

Origen eje X	-1	Origen eje Y	-1000
Unidad eje X 	2	Unidad eje Y 	1000
Final eje X 	20	Final eje X 	10000

Calcular: La imagen de 4. La antiimagen de 5000.



LA FUNCION LOGARITMICA

18-Representar la funcin F(x)=LN(X) "logaritmo neperiano".
Valores de los ejes: los iniciales.

Observar:
No est  definida  para  nmeros  negativos.  La  forma que tiene.  Es creciente. Al acercarnos al cero, las imgenes tienden a -infinito.

Calcular:
La imagen de 1, 2, -3, 0.
La antiimagen de 0, 1, -1.


19-Representar    las   funciones   F(x)=2^x,   G(x)=x y H(x)=LN(X)/LN(2). Es la funcin Logaritmo en base 2.
Valores de los ejes: los iniciales.

Observar:
Son simtricas respecto a la bisectriz, H(x).


20-Representarlas     funciones     F(x)=LN(X)/LN(2), G(x)=LN(X)/LN(5), H(x)=LN(X)/LN(1/2), I(x)=LN(X)/LN(1/5).
Valores de los ejes: los iniciales.

Observar:
Los  logaritmos  de  base  mayor que 1  son crecientes. Los dems,   decrecientes.  Cuanto  mayor  es  la  base,  crecen  ms despacio.  Pasan todas por el  punto (1,0).  Slo estn definidas para nmeros positivos.  Log en base 2  y Log en base  (1/2), son simtricas respecto al eje X.



LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

21-Representar F(x)=SEG(X). 
Valores de los ejes:

Origen eje X	-6*90	Origen eje Y	-5
Unidad eje X 	90	Unidad eje Y 	1
Final eje X 	6*90	Final eje X 	5

Observar:
El recorrido est entre -1 y 1.
Es una funcion peridica. El periodo es 360.
Representar F(x)=COG(X).
Observar:
El recorrido est entre -1 y 1
Es una funci peridica. El periodo es 360.

Representar juntas F(x)=SEG(X) y G(x)=COG(X).

Observar:
Son funciones parecidas.  La  nica diferencia  es  que una est trasladada respecto a la otra 90.

Puede  hacerse el  estudio  con  SEN(X)  y  COS(X) , ngulos expresados en radianes, con los siguientes valores de los ejes:

Origen eje X	-pi*3	Origen eje Y	-5
Unidad eje X 	pi	Unidad eje Y 	1
Final eje X 	pi*3	Final eje X 	5



22-Representar F(x)=TAG(X). 
Valores de los ejes:

Origen eje X	-6*90	Origen eje Y	-5
Unidad eje X 	90	Unidad eje Y 	1
Final eje X 	6*90	Final eje X 	5


Observar:
El recorrido parece que es todo R.
Hay puntos que no tienen imagen: 90, -90, 270, -270, etc.
Es peridica. El periodo vale 180.


23-Representar F(x)=SEN(x), G(x)=SEN(2X), H(x)=SEN(1/2x).
Valores de los ejes:

Origen eje X	-pi*3	Origen eje Y	-5
Unidad eje X 	pi	Unidad eje Y 	1
Final eje X 	pi*3	Final eje X 	5


Observar:
Que el periodo es inversamente proporcional a la constante.


24-Representar 1/SEN(X),  1/COS(X), 1/TAN(X). Es el estudio de las funciones: Cosecante(x), Secante(x) y Cotangente(x).
Valores de los ejes:

Origen eje X	-pi*3	Origen eje Y	-5
Unidad eje X 	pi	Unidad eje Y 	1
Final eje X 	pi*3	Final eje X 	5


Observar:
Las formas de estas funciones.  El periodo. Puntos donde no estn definidas.



LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

25-Representar  ASG(X),  ACG(X), ATG(X). 
Valores de los ejes:

Origen eje X	-5	Origen eje Y	-180
Unidad eje X 	1	Unidad eje Y 	90
Final eje X 	5	Final eje X 	180

Observar:
El dominio y el recorrido.


3 BUP

GEOMETRIA

26-Calcular el punto de corte entre las rectas:
a/La recta que pasa por los puntos (-1,1)  y ( 2, 3).
b/ La recta de ecuacin, y= -x/3-2

Valores de los ejes: los iniciales.
Representamos la funcin numrica que pasa por los puntos:
F(x)=
-1	1
2	3
Activar las opciones: mostrar puntos y extrapolar.

G(x)=-x/3-2

Escogemos la opcin, Cortes.


27-Calcular el punto de corte entre las rectas:
a/La recta que pasa por los puntos (-1,1)  y ( 2, 3).
b/La recta perpendicular a la anterior y que pasa por el punto (1,-3)

Para hallar g(x) necesitamos otro punto. El vector, de origen (-1,1) y extremo (2,3), es (3,2). g(x) es perpendicular a f(x), un vector director de g(x) es (-2,3). Si aadimos este vector  al punto de g(x) que conocemos (1,-3), obtenemos otro punto de g(x), (-1,0).

Valores de los ejes: los iniciales.
Representamos dos funciones numricas. Recordar que podemos copiar estos valores  y pegarlos en el cuadro de dilogo, Funciones numricas - introducir valores:
F(x)=
-1	1
2	3

G(x)=
-1	0
1	-3

Activar las opciones: mostrar puntos y extrapolar.
Las representamos y escogemos la opcin, Cortes.


28-Calcular el ortocentro  del tringulo de vrtices A=(-1,1); B=(3,4) y C=(5,-2).
Valores de los ejes:

Origen eje X	-6.5	Origen eje Y	-4
Unidad eje X 	1	Unidad eje Y 	1
Final eje X 	8.5	Final eje X 	6

En primer lugar, representar las siguientes funciones numricas. No activar ninguna opcin.
F(x)=
-1	1
3	4
G(x)=
3	4
5	-2
H(x)=
-1	1
5	-2
Obtenemos el dibujo del tringulo.
A continuacin necesitamos encontrar la ecuacin de las alturas.
Para ello utilizamos los vectores:
AB=(4,3)
BC=(2,-6)
AC=(6,-3)

La altura del vrtice A, pasa por este punto (-1,1) y el (-1,1)+(6,2)=(5,3)
La altura del vrtice B, pasa por este punto (3,4) y el (3,4)+(3,6)=(6,10)
La altura del vrtice C, pasa por este punto  (5,-2) y el (5,-2)+(-3,4)=(2,2)
Representemos las siguientes funciones:
I(x)=
-1	1
5	3
J(x)=
3	4
6	10
K(x)=
2	2
5	-2
Pulsar con el ratn en el punto interseccin de las tres rectas y obtenemos el ortocentro.

ESTUDIO GENERAL DE FUNCIONES

29-Representar   F(x)=exp(1/x).
Valores de los ejes: los iniciales.

Calcular:
Imagen 0, 1, 3, -2
Antiimagen 1,2,-3
races
mximos
mnimos
intervalos de crecimiento
intervalos de decrecimiento
puntos de inflexin
intervalos de concavidad
intervalos de convexidad
Calcular la derivada en los puntos 1.5, -2, 1

Observar:
El comportamiento asinttico para x tendiendo a +infinito y -infinito,  asntota  horizontal.  Para x tendiendo  a  0  por la derecha,  asntota  vertical "x=0".  Para x tendiendo a 0  por la izquierda, F(x) tiende a 0.

NOTA: Para observar mejor sto ltimo, cambiar los extremos de los ejes dividindolos por 2.


30-Estudio de generalidades:
Representar F(x)=x^3/3+x^2/2-2x-1.5
Valores de los ejes: los iniciales.

Calcular:
mximos
mnimos
intervalos de crecimiento
intervalos de decrecimiento
puntos de inflexin
intervalos de concavidad
intervalos de convexidad
Calcular la derivada en los puntos 1.5, -2, 1
Calcular la funcin derivada

Observar:
En  los puntos  donde hay  mximos  y  mnimos,  la funcin derivada  se  anula.  En los puntos donde la  funcin derivada es positiva, la funcin es creciente. En los puntos donde la funcin es decreciente, la funcin derivada es negativa.

Calcular la funcin segunda derivada

Observar:
Los puntos de inflexin corresponden a puntos en los cuales la  segunda derivada  se anula.  Observa que donde  la funcin es cncava,  la segunda derivada es  positiva.  Donde es convexa, la segunda derivada es negativa.

Calcular la integral definida entre -2.5 y -1
Observar:
Lo que representa la integral definida de una funcin entre 2 puntos.

Calcular la funcion integral a partir del 0


31-De entre los cilindros de volumen 1  litro, hallar el de menor rea total.

 
Volumen=pi*Ra,  Area=2pi*R+2pi*Ra. Siendo: R:radio,  a:altura.

Area(R)= 2pi*R + 2/R

Hay  que  representar  F(x)=2pi*X^2+2/X.  Valores de los ejes:

Origen eje X	0	Origen eje Y	0
Unidad eje X 	1	Unidad eje Y 	10
Final eje X 	5	Final eje X 	50

Buscar  el mnimo.


INTEGRALES

32-Calcular el rea del crculo de radio 1.

Representar   F(x)=(1-X^2)^(1/2). Valores de los ejes:

Origen eje X	-4	Origen eje Y	-2
Unidad eje X 	1	Unidad eje Y 	1
Final eje X 	4	Final eje X 	2

Calcular la  integral definida entre -1  y 1.  El resultado hay que multiplicarlo por 2.


33-Calcular  el  rea  comprendida  entre  las   curvas  de ecuaciones: 
F(x)=X^2/2-X+2 y G(x)=X+2. Valores de los ejes:

Origen eje X	-7.5	Origen eje Y	0
Unidad eje X 	1	Unidad eje Y 	1
Final eje X 	7.5	Final eje X 	10

Buscar los puntos de corte. Hallar el rea entre los puntos
de corte.



COU

34-Resolver la ecuacin: x-2=x-4.

Representar: F(x)=ABS(X-2) y G(x)=ABS(X-4). Valores de los ejes: los iniciales.

Calcular los puntos de corte, x=3.


35-Hallar  los  puntos  de  discontinuidad  de  la funcin: F(x)=(X-2)/((x-2)*(x-5)).
Valores de los ejes: los iniciales.

Representar  dicha   funcin.   Calcular   los   puntos  de discontinuidad.   En   x=2,   discontinuidad  evitable.  En  x=5, discontinuidad asinttica.

36-Calcular lim (1/x)sen(x/2).
                        x -> 0

Representar F(x)=(1/X)*SEN(X/2). Valores de los ejes: los iniciales.

Calcular: Discontinuidades aisladas.


FORMULA DE TAYLOR

37-El desarrollo de Taylor para la funcin e^(x), en el punto 0, es:

                 x           x2         x3         x4
e = 1 + ------ + ------- + ------- + ------- + ...
                1!          2!          3!           4!

e  = 1 + x/1! + x2/2! +x3/3! +x4/4! +...

-Para realizar esta prctica, sera interesanta representar la funcin exponencial con cada uno de los sucesivos expresiones del desarrollo de Taylor en diferentes ventanas (programas funciones para Windows) simultneamente.
-Representar las siguientes funciones:
-Valores de los ejes: los iniciales.

F(x)=EXP(x) = ex .
G(x)=1+X
H(x)=1+X+X^2/2
I(x)=1+X+X^2/2+X^3/6
J(x)=1+X+X^2/2+X^3/6+x^4/24
etc.

-Observar  que,  a  medida  que  tomamos  ms  trminos,  los desarrollos son ms parecidos a F(x).

Podemos realizar una prctica que nos muestre que el desarrollo de Taylor no siempre aproxima a la funcin original.



38-Estudiemos el desarrollo de Taylor de la funcin f(x)=1/(x+1), en el punto 0.
P(x) = 1 - X + X^2 - X^3 + .X^4 - x^5 + x^6 - x^7 +... 

-Representar la funcin, f(X)=1/(1+X), y como G(X), los sucesivos desarrollos del polinomio de Taylor P(x).
-Valores de los ejes: los iniciales.

Hay que fijarse en que, para valores mayores que 1, jams el polinomio de Taylor se acerca a la funcin. Para valores menores que -1, la situacin es peor.
39-Calcular   la  longitud  del   arco  de   curva  y=Ln(x) comprendida entre x=1 y x=2.

Representar F(x)=(1+(1/X)^2)^(1/2). Valores de los ejes: los iniciales.
Calcular la integral definida entre 1 y 2.

Representar F(x)=Ln(x) y calcular la integral de linea entre 1 y 2.


40-Calcular una raz  del polinomio en  el intervalo ]0,1[, con el mnimo error posible.

Representar F(x)=X^4+2X^2-X-1.  Calcular las Races.

Desactivar la opcin "Baja precisin" y cambiar los valores de los ejes:

Origen eje X	0.82	Origen eje Y	-0.5
Unidad eje X 	0.001	Unidad eje Y 	0.1
Final eje X 	0.83	Final eje X 	0.5


MATEMATICAS II ESTADISTICA

41-La  puntuacin  media de  los exmenes  de  ingreso en la Universidad  de  30000  alumnos  ha  sido de 5.6  y la desviacin tpica,  0.6.  Cuntos alumnos han tenido una  puntuacin  entre 4.4 y 6.8? Y cuntos alumnos han aprobado?

Representar:
F(X)= 30000/((2*P)^.5*.6)*EXP(-(X-5.6)^2/2/.6^2)

Valores de los ejes:
Origen eje X	0	Origen eje Y	0
Unidad eje X 	1	Unidad eje Y 	3000
Final eje X 	12	Final eje X 	24000


Calcular integral definida entre 4.4 y 6.8.
Calcular integral definida entre 5 y 12.


QUIMICA

42-La siguiente tabla muestra los valores de los potenciales de ionizacin de los elementos en funcin del nmero atmico.



n Ato. Pot. ion. n Ato. Pot. ion. n Ato.Pot. ion. n Ato. Pot. ion. n Ato. Pot. ion.
1	313	2	567	3	124	4	215	5	191
6	260	7	336	8	314	9	402	10	497
11	119	12	176	13	138	14	188	15	254
16	239	17	300	18	363	19	100	20	141
21	151	22	158	23	156	24	156	25	171
26	182	27	181	28	176	29	178	30	216
31	138	32	187	33	231	34	225	35	273
36	323	37	96	38	131	39	152	40	160
41	156	42	166	43	167	44	173	45	178
46	192	47	175	48	207	49	133	50	169
51	199	52	208	53	241	54	280	55	90
56	120	57	129	58	159	59	133	60	145
61	133	62	129	63	131	64	142	65	155
66	157							70	143
71	115	72	127	73	138	74	184	75	182
76	201	77	212	78	207	79	213	80	241
81	141	82	171	83	185				
86	248								

Para introducir los datos, podemos copiarlos en el portapapeles y de all, pegarlos al programa.

Representarla. Utilizar el botn Funcin numrica. La opcin, Lineal, activada. La ventana, maximizada. Valores de los ejes:

Origen eje X	-5	Origen eje Y	0
Unidad eje X 	10	Unidad eje Y 	75
Final eje X 	95	Final eje X 	600

Calcular el potencial de ionizacin esperado para el Erbio (Er),n atmico=68, que no aparece en la tabla. Buscar la imagen de 68.

9-GUIA DEL ALUMNO


 	Para ejecutar el programa, supondremos que est instalado en un grupo de programas. Haz doble clic en el cono FUNCIONES para Windows. Para mayor informacin consulta el captulo  INSTALACION Y PUESTA EN MARCHA.

	Para conocer el funcionamiento, consulta el captulo 7 MANUAL DEL USUARIO.

	A continuacin viene un grupo de fichas.

	Cuando el profesor te las proponga, siguiendo sus indicaciones, debers rellenarlas.
Ficha 1 - Matemticas.

Tema: 	
	Estudio general de una funcin.

Nivel :
	3 BUP y COU.

Conocimientos previos: 
	Resolucin de ecuaciones. Clculo de derivadas.

Objetivo general: 
	Comprender y saber aplicar las distintas tcnicas que ofrece el clculo diferencial para el estudio y representacin de funciones.

Objetivos especficos: 
	Comprender y saber calcular los siguientes conceptos: 
		Races.
		Ordenada en el origen.
		Mximos relativos.
		Mnimos relativos.
		Intervalos de crecimiento.
		Intervalos de decrecimiento.
		Puntos de inflexin.
		Intervalos de concavidad.
		Intervalos de convexidad.
		Asntota vertical.
		Asntota horizontal.
		Asntota oblicua.
		Simetra: par, impar.

Procedimiento:


Ejecutar el programa: Funciones para Windows

Condiciones de trabajo:

-Ventana maximizado. Pulsar en la ventana el botn de maximizacin, esquina superior derecha.

-La opcin "Baja precisin" del men "Opciones" activa.  Creemos que es mejor as. Recordar que, por defecto, al arrancar el programa aparece ya activa. Como esta opcin slo afecta a los puntos singulares, mximos, mnimos, intervalos..., puede provocar ligeras diferencias con el clculo de imgenes. Si quiere evitar estas diferencias, desactive esta opcin.

-La opcin "Trazar clculos", del mismo men, creemos que debe estar activa (opcin por defecto), ya que ayuda mucho a la comprensin de los conceptos. Si el ordenador no es muy rpido se aconseja desactivarla.



1.1 Races, ordenada en el origen.

Representemos la siguiente funcin:F(x)=1/36(3x^4-20x^3+12x^2+96x-110) . 
La llamaremos funcin 1. 

Valores de los ejes:
Origen eje X	-6.5
Unidad eje X 	1
Final eje X 	8.5
Origen eje Y	-5
Unidad eje Y 	1
Final eje X 	5

Calcular las races.

Men 1 f. .Opcin Races.

                   -Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

-Escribe las races                                 .

Las races son las intersecciones de la funcin con el eje de abcisas.
Calcular la ordenada en el origen.

Men 1 f. .Opcin Imagen....

-Calcular la imagen de 0:	                                .

La ordenada en el origen es la interseccin de la funcin con el eje de ordenadas. O lo que es lo mismo, la imagen de 0.


1.2 Mximos y mnimos relativos. 

Calcular los mximos.

Men 1 f. .Opcin Mximos.

-Escribe los mximos:                                 .

Calcular los mnimos.

Men 1 f. .Opcin Mnimos.

           -Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

-Escribe los mnimos:                                 .

Vamos a ver con ms detalle el significado de estos conceptos. Concretaremos en el mnimo (-4,-1.28). Para ello, procedamos del siguiente modo:

Men 1 f. .Opcin Imagen....

-Calcular la imagen de -4:                                 .

Pulsar el botn d->

La imagen de 4.025 que es                                 .

Pulsar dos veces el botn  <-i

Obtenemos la imagen de 3.975, es                                 .

Observar que sus imgenes son mayores que la imagen de -4,                             . Si calculamos las imgenes de los puntos alrededor de -4, vemos que todas son mayores. Si nos desplazamos mucho, por ejemplo, buscando la que es imagen del 0 que es                                               . vemos que no. Este es el concepto de mnimo relativo. En un punto a (en nuestro caso -4) del eje de abcisas diremos que existe un mnimo relativo para la funcin F(x), si, existe un entorno de a en el cual las imgenes de los valores distintos de a, son mayores que la imagen de a.


1.3 Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Calcular los intervalos de crecimiento.

Men 1 f. .Opcin Intervalos de crecimiento.

                        -Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

-Escribir los intervalos:                                 .

Qu significan?. Si observamos la grfica de izquierda a derecha, vemos que son precisamente la parte de la grfica con sentido ascendente.

Precisemos un poco ms sto: Veamos qu ocurre en un punto que pertenezca a uno de los dos intervalos, por ejemplo, el 5.5.

Men 1 f. .Opcin Imagen....

-Calcular la imagen de -5.5:                                .

Pulsar el botn  d->

La imagen de 5.525 que es                                 .

Pulsar dos vecesel botn  <-i

Obtenemos que la imagen de 5.975 es                                 .

Observamos que la imagen a su derecha (del 5.5) es mayor y menor a su izquierda. Por ello definimos que en un punto la funcin es creciente si existe un entorno de este punto, en nuestro caso 5.5, en el cual las imgenes a su derecha son           . y           .a su izquierda.

Calcular los intervalos de decrecimiento.

Men 1 f. .Opcin Intervalos de decrecimiento.

-Escribir los intervalos:                                 .

Qu significan?. Si observamos la grfica de izquierda a derecha, vemos que son precisamente la parte de la grfica con sentido descendente.

Precisemos un poco ms sto. Vamos a ver que ocurre en un punto que pertenezca a uno de los dos intervalos, por ejemplo, el 3.5.

Men 1 f. .Opcin Imagen....

Calcular la imagen de -3.5:                                  .

Pulsar el botn  d->

La imagen de 3.525, es                                 .

Pulsar dos vecesel botn  <-i

Obtenemos que la imagen de 3.475 es                                 .

Observamos que la imagen a su derecha (del 3.5) es menor y mayor a su izquierda (recordar  que son nmeros negativos). Por ello definimos que en un punto la funcin es decreciente si existe un entorno de este punto, en nuestro caso 3.5, en el cual las imgenes a su derecha son menores y mayores a su izquierda.

Pongamos orden:

                                . decreciente.                                 . creciente.	
                                . decreciente.                                 .creciente.



1.4 Relacin entre los anteriores conceptos y la derivada.

Hemos aprendido los conceptos de mximo, mnimo, intervalos de crecimiento y decrecimiento. Ahora veremos un mtodo para hallarlos utilizando la derivada.


1.4.1 Relacin entre intervalos de crecimiento y decrecimiento y la derivada.

Calculemos la derivada en un punto donde la funcin es decreciente, 3.6.

Men 1 f. .Opcin Derivada en un punto....

Calcular la derivada de -3.6:                                 .

Calcular la derivada en los puntos contiguos mediante los botones  <-i y d->.

Observamos que siempre son valores con signo                                  .

Ahora calcularemos la derivada en un punto donde sea creciente.

Calcular la derivada de -4.5:                                 .

Calcular la derivada en los puntos contiguos mediante los botones  <-i y d->.

Observamos que siempre son valores con signo                                 .

Con todo ello podemos concluir:
-Una funcin es decreciente en un punto cuando su derivada es                           .
-Una funcin es creciente en un punto cuando su derivada es                                .

Veamos qu ocurre en los puntos donde la derivada no es ni positiva ni negativa. Es decir, cuyo valor sea 0.

Men 1 f. .Opcin Derivada en un punto....

Calcular la derivada de 3.8:                                 .
Calcular la derivada en los puntos a su derecha mediante el botn d->. Hasta que el valor sea positivo. Observar la forma de la recta tangente representada.

Observamos que cuando x=4, la recta tangente es horizontal y su pendiente (la derivada) vale:                                 . Recordar que en el 4 hay un                           .

Calcular la derivada de 1.9:                                 .

Calcular la derivada en los puntos a su derecha mediante el botn d->. Hasta que el valor sea negativo. Observar la forma de la recta tangente representada.

Observamos que, cuando x=2, la recta tangente es horizontal y su pendiente (la derivada) vale:                                 . Recordar que en el 2 hay un                         .


De todo ello podemos sacar la siguiente conclusin:

En los mximos y mnimos relativos de una funcin la derivada se                 .

Tambin hemos visto cmo diferenciar un mximo de un mnimo. En el primer caso, x=4, mnimo, la derivada era negativa para nmeros menores que 4. Se haca 0 en el 4. Y positiva para nmeros mayores que 4. Es decir, la funcin derivada es creciente en el 4.  Pero hemos visto que una funcin es creciente cuando su derivada es positiva. A consecuencia de sto:

En un punto hay un mnimo, si la derivada =                                 . y la segunda derivada es                                 . (As la primera derivada es creciente).

En el segundo caso, x=2, mximo, la derivada era positiva para nmeros menores que 2. 0 en el 2. Negativa para nmeros mayores que 2. Es decir, la funcin derivada es creciente en el 2. Pero hemos visto que una funcin es decreciente cuando su derivada es negativa. Lo que implica que:

En un punto hay un mximo, si la derivada =                                 . y la segunda derivada es                                 . (As la primera derivada es decreciente).

Para ver un poco mejor sto, dibujemos la funcin derivada.

Men 1 f. .Opcin Funcin derivada.

Observamos que los puntos donde se hallan los mximos y mnimos es donde la funcin derivada (en verde) corta el eje de abcisas . 
En el mximo, la funcin derivada es decreciente. En los mnimos, decreciente.

Resumen:
Una funcin es creciente en un punto x ,si                                 .
Una funcin es decreciente en un punto x ,si                                 .
Una funcin tiene un mximo en un punto x, si                      . y                             .
Una funcin tiene un mnimo en un punto x, si                       . y                            .


1.5 Puntos de inflexin. Intervalos de concavidad y de convexidad.

Calcular los intervalos de concavidad.

Men 1 f. .Opcin Intervalos de concavidad.

                         -Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

-Escribir los intervalos:                                 .

Calcular los intervalos de convexidad.

Men 1 f. .Opcin Intervalos de convexidad.

-Escribir los intervalos:                                 .

Podemos describir los dos tipos de intervalos, segn vemos en la grfica, de la siguiente manera.

Valles:		                                 .

Montaas:	                                 .

Precisaremos mejor estos conceptos cuando los relacionemos con la derivada.

Calcular los puntos de inflexin.

Men 1 f. .Opcin Intervalos de concavidad.

-Escribir los puntos de inflexin:                                 .

Dentro de los mrgenes de error, vemos que los lmites de los intervalos de concavidad y convexidad son los puntos de inflexin.

As: 
Punto de inflexin, son los puntos donde la grfica cambia de cncava a convexa o viceversa.
1.6 Relacin entre los anteriores conceptos y la derivada.

Calculemos la derivada en un punto donde la funcin es cncava, -0.8.

Men 1 f. .Opcin Derivada en un punto....

-Calcular la derivada de -0.8:                                 .

-Calcular la derivada en los puntos a su derecha mediante el botn d->, hasta, por ejemplo, -0.45:                                 .

Observamos que la recta tangente queda  debajo de la curva en todos los casos.  Tambin hemos podido comprobar que el valor de la derivada iba aumentando. Es decir, la funcin derivada es creciente en los puntos donde la funcin es cncava.

Ahora calcularemos la derivada en un punto donde sea convexa.

-Calcular la derivada de 1.4:                                 .

-Calcular la derivada en los puntos a su derecha mediante el botn d->, hasta, por ejemplo, 1.8:                                 .

Observamos que la recta tangente queda por encima de la curva en todos los casos. Tambin hemos podido comprobar que el valor de la derivada iba disminuyendo. Es decir, la funcin derivada es decreciente en los puntos donde la funcin es convexa.

Para comprender mejor sto, proseguiremos con:

Men 1 f. .Opcin Segunda derivada.

Observamos lo siguiente:
Una funcin es cncava donde la primera derivada es creciente, que equivale a que la segunda derivada sea:					                                 .
Cuando sea convexa, la segunda derivada ser:		                                 .
En los puntos de inflexin la segunda derivada vale: 	                                 .


1.7 Asntotas verticales.

Representar la  siguiente funcin:F(x)=1/((x+3)*(x-1))+1 . 
Le llamaremos funcin 2. 

Valores de los ejes, los iniciales.

Calcularemos las imgenes de los puntos cercanos al -3.

Men 1 f. .Opcin Imagen....

-Calcular la imagen de -3.1:                                 .

Pulsar sucesivamente el botn d->.
Vemos que la imagen de -3.025 vale              . y -3                        . Si vamos ms a la derecha, stas tienen valores negativos.

Si calculamos imgenes ms prximas al -3, por la izquierda.

f(-3.01)=	                                 .
f(-3.001)=	                                 .
f(-3.0001)=	                                 .

Vemos que los valores son cada vez mayores. Cuando las imgenes de una funcin, al acercarnos a un punto, se hacen cada vez mayores, (tienden a infinito o a menos infinito) decimos que la funcin tiene una asntota vertical.

Podemos ver que si nos acercamos a -3 por la derecha, las imgenes tienden a menos infinito.

f(-2.99)=	                                 .
f(-2.999)=	                                 .
f(-2.9999)=	                                 .
f(-2.999999)=	                                 .

De hecho, se define asntota vertical como la ecuacin de una recta vertical, x=a, donde a es el punto singular.

Vemos esas rectas:

Men 1 f. .Opcin Discontinuidades aisladas.

             -Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

Las ecuaciones de las asntotas de esta funcin son:
                                 .                                  .


1.8 Asntotas Horizontales.

Representar la anterior funcin:F(x)=1/((x+3)*(x-1))+1,  juntamente con:
G(x)=1. Le llamaremos funcin 3. 
                               -Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

Observamos que,para los valores extremos de la representacin, las dos grficas tienden a confundirse. Cuando esto ocurre, decimos que la funcin tiene una asntota horizontal. En nuestro caso                                  .

En general, la ecuacin de una recta se expresa: y=ax+b dondea pendiente, que, en nuestro caso, por ser una recta horizontal, siempre vale 0 y donde b, la ordenada en el origen (trmino independiente), se calcula mediante el siguiente lmite:

			{\INCRUSTAR Equation |}
b = lim f(x)
      x->infinito



1.9 Asntotas Oblicuas.

Representar las funciones: F(x)=x^2/(x-2). Funcin 4. G(x)=x+2. Funcin 5. 

Valores de los ejes:
Origen eje X	-10
Unidad eje X 	2
Final eje X 	20
Origen eje Y	-10
Unidad eje Y 	2
Final eje X 	20

                              -Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

Observamos que, para los valores extremos de la representacin, las dos grficas tienden a confundirse. Cuando esto ocurre decimos que la funcin tiene una asntota oblcua. En nuestro caso, y=x+2.

Para hallar la ecuacin de esta recta, y=ax+b:

-GRAFICO
                            f(x)
a=lim               ----------        y         b=lim              f(x) - ax
    x->infinito        x                            x->infinito

			
                            f(x)
a=lim               ----------        y         b=lim              f(x) - ax
    x->infinito        x                            x->infinito



1.8 Simetra: Par, impar.

Decimos que una funcin tiene simetra par, funcin par, cuando f(x)=f(x-).
Decimos que una funcin tiene simetra impar, funcin impar, cuando f(x)=-f(x-).

Veamos el significado de sto.

-Representar la  siguiente funcin:F(x)=1/((x^2-2). Funcin 6. 

                              -Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

-Calcular las imgenes de:1, -1; 3.5, -3.5; -2, 2; 5, -5.

F(1)=                                 .		F(-1)=                                  .
F(3.5)=                                 .		F(-3.5)=                                 .
F(-2)=                                 .		F(2)=                                 .
F(5)=                                 .		F(-5)=                                 .

Observamos que la imagen de un nmero es igual a la de su opuesto. Cuando una funcin cumple esta propiedad decimos que es par. Tambin se denomina, simtrica respecto al eje Y. El eje Y acta como un espejo.

-Representar la  siguiente funcin:F(x)=2/(x^3-2x). Funcin 7. 

                              -Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

-Calcular las imgenes de:1, -1; 3.5, -3.5; -2, 2; 0.5, -0.5.

F(1)=                                 .	F(-1)=                                 .
F(3.5)=                                 .	F(-3.5)=                                 .
F(-2)=                                 .	F(2)=                                 .
F(0.5)=                                 .	F(-0.5)=                                 .

Observamos que la imagen de un nmero es igual a la de su opuesto cambiada de signo. Cuando una funcin cumple esta propiedad decimos que es par. Tambin se denomina, simtrica respecto al origen de coordenadas.


Resumen:

Para representar una funcin, se procede del siguiente modo:
Se calcula:
	Dominio.
	Cortes con los ejes:
		Races.
		Ordenada en el origen.
	Mximos relativos.
	Mnimos relativos.
	Intervalos de crecimiento.
	Intervalos de decrecimiento.
	Puntos de inflexin.
	Intervalos de concavidad.
	Intervalos de convexidad.
	Asntotas verticales.
	Asntotas horizontales.
	Asntotas oblicuas.
	Simetras.

-Para calcularlos, actuamos tal como hemos visto anteriormente.
-Debe tenerse en cuenta que no suele ser necesario calcular todos y cada uno de los puntos. 
-Despus se traslada todo al dibujo de la grfica.

Probar con la siguiente grfica: f(x)=x^3/(x^2-2)

Si escogemos como valores de los ejes:

Origen eje X	-7.5
Unidad eje X 	1
Final eje X 	7.5
Origen eje Y	-6
Unidad eje Y 	1
Final eje X 	6

                           -Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

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Ficha 2 - Matemticas.

Tema: 
	Integral

Conocimientos previos: 
	Areas. Derivacin. Clculo de primitivas.

Nivel :
	3 BUP, COU y primer curso universitario de carreras cientfico-tcnicas.

Insercin Curricular:
	Clculo Diferencial e Integral.

Objetivos: 
	Conocer los conceptos de: Integral definida. Funcin rea. 
	Darse cuenta de que las funciones rea son funciones primitivas. Teorema fundamental del clculo. 
	Comprender, y saber aplicar,  el "Segundo teorema fundamental del clculo", regla de Barrow.

Procedimiento:

2.1 Integral definida

Ejecutar el programa: Funciones para Windows

Representemos la siguiente funcin:F(x)=1/20(x^3+2x^2-11x+38) . Le llamaremos funcin1

Valores de los ejes:
Origen eje X	-7.5
Unidad eje X 	1
Final eje X 	7.5
Origen eje Y	-4
Unidad eje Y 	1
Final eje X 	6

Calcular la integral definida entre -4 y 1.

Men 1 f. .Opcin Integral definida.... Escribir como extremos de integracin los dados.

-Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

-Escribir el valor:	                                                     .

Lo que representa: Area limitada por la curva, eje de abscisas, rectas: x=-4 y x=1

-Calcular la integral definida entre -4 y -1:	                                              .

-Calcular la integral definida entre -1 y 1:	                                              .

-Suma los resultados:  			                                              .

Observa la siguiente propiedad: 
(Int. def. entre -4 y -1) + (Int. def. entre -1 y 1) = (Int. def. entre -4 y 1)



2.2 Funcin rea

Calcular  una primitiva de la funcin anterior: 1/20*(x^4/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)

Ejecutar de nuevo programa Funciones para Windows. Simultneamente con el anterior.

Representemos la funcin primitiva:F(x)=1/20*(x^4/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)


Calcular la imagen de -4:	                                              .

Representemos la funcin primitiva:
F(x)=1/20*(x^4/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)+10.933. Le llamaremos funcin 2 (Hemos escogido una primitiva en la cual la imagen del -4 vale 0).

Valores de los ejes:

Origen eje X	-7.5
Unidad eje X 	1
Final eje X 	7.5
Origen eje Y	-4*4
Unidad eje Y 	1*4
Final eje X 	6*4

-Calcular la imagen de -4:	                                              .

-Calcular la imagen de -1:	                                              .

-Calcular la imagen de 1:	                                              .

-Observa la siguiente propiedad: 
Las imgenes de x de la funcin 2 son las integrales definidas entre -4 y x de la funcin 1.

Anteriormente hemos visto que la integral definida era el rea que quedaba debajo de la curva. Esta nueva funcin (funcin 2) mide esta rea. Le llamamos:
Funcin rea

La funcin que utilizamos como funcin rea (funcin 2) es una primitiva de la funcin 1. 
Se puede demostrar que esto ocurre siempre. Es decir:

Dada una funcin, si tiene funciones primitivas, stas son funciones rea.

Esto se denomina: Teorema fundamental del clculo.
(Tambin se enuncia: Dada una funcin, si tiene una funcin rea, la derivada de la funcin rea es la funcin original).


2.3 Clculo de la integral definida entre dos puntos mediante una funcin rea

Para calcular la integral definida entre, por ejemplo, -1 y 1, podemos hacerlo mediante la funcin rea (funcin 2). La imagen de 1 es el rea entre -4 y 1. La imagen de -1 es el rea entre -4 y -1. (ver apartado 2.2).

-Restamos estos dos valores:		                                              .

Que es el valor encontrado en el apartado 2.1, de la integral definida entre -1 y 1 (empleando la funcin 1)

Esta forma de hallar la integral definida entre 2 valores, restando las imgenes de una funcin primitiva, se conoce como: Segundo teorema fundamental del clculo o regla de Barrow.


2.4 Distintas funciones rea

Hemos visto que la funcin rea (funcin 2) es una primitiva de la primera funcin (funcin 1). Pero primitivas de una funcin hay muchas. Si cambiamos la constante 10.933 por cualquier nmero, la funcin resultante tambin cumple el hecho de ser una primitiva de la funcin 1. Lo que ahora comprobaremos es que, si utilizamos otra primitiva, podemos seguir calculando la integral definida entre 2 puntos restando sus imgenes, calculadas en la nueva funcin.

-Representemos una nueva funcin primitiva:
F(x)=1/20*(x^3/4+2/3x^3-11/2x^2+38x). Le llamaremos funcin 3.

Valores de los ejes:

Origen eje X	-7.5
Unidad eje X 	1
Final eje X 	7.5
Origen eje Y	-4*4
Unidad eje Y 	1*4
Final eje X 	6*4

-Calcular la imagen de -1:	                                              .

-Calcular la imagen de 1:	                                              .

-Restamos estos dos valores:	                                              .

Y observamos el mismo resultado. Es decir: para calcular la integral definida entre 2 puntos de una funcin de la cual conozcamos una primitiva (Para ello se estudia el clculo de integrales indefinidas), se calcula la diferencia de sus imgenes. El resultado no depende de la primitiva escogida. 
De hecho las distintas primitivas slo se diferencian en una constante aditiva. Lo que hace que, al restar 2 imgenes, esta constante se cancele.

Para ver la forma de las distintas primitivas o funciones rea, representaremos 4 al mismo tiempo.

Representar:
F(x)=1/20*(x^3/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)
G(x)=1/20*(x^3/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)+4
H(x)=1/20*(x^3/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)-8
I(x)=1/20*(x^3/4+2/3x^3-11/2x^2+38x)+16

-Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

Observar que tienen la misma forma. Slo se distinguen por una traslacin vertical.

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Ficha 3 - Economa

4.1

Tema: 	Clculo de la cuota ntegra de una declaracin de renta correspondiente al ejercicio del ao 1992.

Problema:	Supongamos que una persona ha realizado el clculo de la base imponible de su declaracin de renta y su valor es de, por ejemplo, 4800000 pts. El problema consiste en calcular la cuota ntegra, que es el total que le corresponde pagar a 	Hacienda.

Procedimiento:

La tabla que relaciona la cuota ntegra en funcin de la base imponible es lo que se llama escala de gravamen.


Base                Cuota
Imponible       Integra


            0	           0
  400000	           0
1000000	 120000
1570000	 245400
2140000	 385050
2710000	 538950
3280000	 709950
3850000	 892350
4420000	1086150
4990000	1291350
5560000	1507950
6130000	1735950
6700000	1978200
7270000	2234700
7840000	2502600
8410000	2781900
8980000	3072600
9550000	3377550


(Fuente: Gua practica para la cumplimentacin de la declaracin de renta, Hacienda Pblica.)

El significado de esta tabla es el siguiente:

Si la base imponible es uno de los valores de la izquierda, la cuota ntegra es el valor de la derecha. En el caso de que est entre 2 valores, que es lo normal, la cuota ntegra es la interpolacin lineal entre los dos valores.

Para calcular el resultado de nuestro problema, procederemos de la siguiente manera:

Programa: Write

-Seleccionamos los valores de la tabla.

-Los copiamos en el portapapeles, men Edicin, opcin Copiar.

-Ejecutamos el programa funciones, en el caso de que no estuviera ya en funcionamiento.

Programa: Funciones para Windows

-Seleccionamos la opcin funciones, submen Cambiar funciones o parmetros.

-Clic en el botn de dilogo Funcin numrica.

-Escogemos una funcin en el grupo de Radio-Botones, por ejemplo F(X), mediante un clic de ratn o con la combinacin de teclas Alt F, apretamos el botn de Aceptar.

-Escogemos la opcin Pegar, contestamos Si al siguiente cuadro de dialogo.

-Activamos la Caja a chequear, mediante un clic o Alt L.

-Terminamos el cuadro mediante otro Aceptar, volviendo al men principal.

-Cambiaremos los valores de los ejes por los siguientes:

  
Origen eje X	-1000000	Origen eje Y	-1000000
Unidad eje X 	2000000	Unidad eje Y 	1000000
Final eje X 	10000000	Final eje X 	5000000


-Pulsamos Aceptar.

-Escogemos la subopcin Imagen dentro del men 1 f.

-Escribimos el valor 4800000, Aceptar i obtenemos el valor buscado:

Resultado:
                        pts., valor de la Cuota ntegra.



-Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.



4.2

Tema: 	Clculo del tipo aplicable. Porcentaje (%)

Procedimiento:

El tipo aplicable no es ms que el tanto por ciento que se ha de aplicar al Resto de la base imponible para sumar a la Cuota ntegra.
As, por ejemplo, en nuestro caso: La base imponible es de 4800000 que se encuentra entre            y             . A               le corresponde una cuota  ntegra de :
:          . Al resto, hasta llegar a 4800000, que es de             le corresponde una cuota ntegra de             . El Tipo aplicable es el tanto por ciento que representa las 92880 pts. respecto a las 258000, que se calculara mediante la frmula siguiente: Tipo aplicable=                *100 y da de resultado el           %.

Mediante Funciones podemos calcular el Tipo aplicable mediante una forma mucho ms sencilla:

Programa: Funciones para Windows

-Escogemos la opcin Derivada en un punto, men 1 f., y escribimos el valor 4800000 pulsando la tecla Aceptar, nos muestra el valor       que, multiplicado por 100, nos da el 

Resultado:
Tipo aplicable =                         .


-Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.


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Ficha 4 - Ciencias Sociales.

	El entorno natural de este programa podra creerse que se halla en la asignatura de matemticas. El hecho de poder representar funciones numricas ampla mucho su dominio de aplicacin. Creemos que en ciencias sociales es donde mejor podran aplicarse sus potencialidades. Elaboramos esta ficha, estudio de caractersticas climatolgicas, como muestra de los mltiples usos que puede tener el programa. 

	Esta ficha la consideramos ms como un modelo para otras fichas, que como una ficha ya directamente utilizable. 

	Tambin es directamente aplicable en otros campos como: estudio de temperaturas, en general, valores climatolgicos; estudios demogrficos; estudios econmicos; estudios de ndices; etc.

Tema: 	
	Estudio comparativo de la pluviosidad en diversas zonas de Espaa.

Objetivo general: 
	Comparar las caractersticas pluviomtricas de distintas zonas climticas de Espaa: Espaa lluviosa, Espaa seca y Espaa semirida.

Procedimiento:

Ejecutar el programa: Funciones para Windows

Condiciones de trabajo:

-Grfico maximizado. Pulsar en la ventana el botn de maximizacin, esquina superior derecha.

-La opcin "Baja precisin" del men "Opciones" activa.  Creemos que es mejor as. Recordar que, por defecto, al arrancar el programa aparece ya activa. Como esta opcin slo afecta a los puntos singulares, mximos, mnimos, intervalos..., puede provocar ligeras diferencias con el clculo de imgenes. Si quiere evitar estas diferencias, desactive esta opcin.

-La opcin "Trazar clculos", del mismo men,  No activa.

-Las funciones que vamos a representar son numricas. Recordemos que podemos copiar los datos en el portapapeles y pegarlos en el cuadro, FUNCIONES NUMRICAS - Introducir valores.

-En todos los casos activaremos la opcin Lineal. Tambin puede ser interesante activar la opcin Mostrar puntos.

Partimos de las siguientes tablas de valores. Hemos hecho la siguiente conversin de meses a valores numricos:

Enero	15
Febrero	45
Marzo	75
Abril	105
Mayo	135
Junio	165
Julio	195
Agosto	225
Setiembre	255
Octubre	285
Noviembre	315
Diciembre	345

Datos de pluviosidad (en milmetros). Fuente Juan Vil Valenti, ESPAA tomo II, Ed. Ocano, 1983. No indica el ao.

Espaa lluviosa	 Lugo (442 m.)	Espaa seca	Valladolid (715 m.)	Espaa semirida	Almera (30 m.)
15	118	15	27	15	23
45	132	45	32	45	21
75	149	75	38	75	20
105	75	105	31	105	27
135	80	135	40	135	23
165	44	165	37	165	7
195	30	195	15	195	0
225	37	225	12	225	4
255	58	255	28	255	16
285	82	285	39	285	24
315	112	315	44	315	33
345	185	355	41	355	27



-Pulsamos el botn Funcin numrica del cuadro de dilogo principal.

-Escogemos la primera funcin F(x).

-Introducimos los valores correspondientes a Lugo, o los pegamos si previamente los seleccionamos y los copiamos en el portapapeles.

-Activamos las opcines Lineal y Mostrar puntos.

-Pulsamos el botn Aceptar.

-Repetimos la operacin tres veces ms para las siguientes poblaciones.Utilizamos para ello las funciones:G(x), H(x), I(x).


Valores de los ejes:
Origen eje X	0	Origen eje Y	0
Unidad eje X 	30	Unidad eje Y 	20
Final eje X 	360	Final eje X 	200

-Pulsamos el botn Aceptar.

Se dibujan las grficas pluviomtricas para las tres poblaciones.


-Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.


Calcularemos ahora sobre el grfico las diferencias entre los mximos y minimos de pluviosidad para las distintas poblaciones.

La Lnea azul corresponde a Lugo.

-Pulsamos con el botn izquierdo en el punto ms bajo de la grfica.

-Escribimos el resultado: que corresponde al ms de                                  y
 una pluviosidad de                                               .

-Pulsamos con el botn izquierdo en el punto ms alto de la grfica.

-Escribimos el resultado: que corresponde al mes de                                    y una pluviosidad de                                               .

As, la diferencia pluviomtrica es de                                               .

Haremos lo mismo en las dos poblaciones restantes. Previamente, limpiaremos la pantalla.

-Pulsamos la opcin ,Limpiar del men, Opciones.

Las diferencias pluviomtricas restantes:

Valladolid=                                              .
Almera=                                                  .

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Ficha 5 - Matemticas.

Tema: 	
	Estudio de las series de Fourier.

Nivel :
	COU. Primer y segundo curso universitario, carreras cientfico-tcnicas

Conocimientos previos: 
	Conocer las funciones trigonomtricas y, en general, el concepto de funciones peridicas. Podra ser interesante conocer el clculo de primitivas, pero, como para calcular integrales definidas utilizaremos el mismo programa funciones, no lo creemos imprescindible. 


Objetivo general: 
	Conocer que se puede aproximar una funcin peridica mediante una suma de funciones trigonomtricas.


Procedimiento:

-Ejecutar el programa: Funciones para Windows.

Valores de los ejes, los iniciales.

Condiciones de trabajo:

-Grfico minimizado.

-La opcin "Baja precisin", del men "Opciones", No activa.  .

-La opcin "Trazar clculos", del mismo men,  No activa. Aqu el programa realiza muchos clculos y precisamos de la mxima rapidez.

La funcin que estudiaremos es la de diente de sierra. Utilizaremos los siguiente valores:

x	F(X)
	
-10	-2
-6	2
-5.9999	-2
-2	2
-1.9999	-2
2	2
2.0001	-2
6	2
6.0001	-2
10	2

-Recordemos que podemos copiar los datos en el portapapeles y pegarlos en el cuadro, FUNCIONES NUMRICAS - Introducir valores.

-Activar la opcin Lineal. Muy importante.

Es una funcin peridica de perodo:                                              .


La serie de Fourier o desarrollo de Fourier de F(X) se define por:



	ao  +  Sumatorio[1, infinito] { an.cos(n.pi.x/L)  +  bn.sen(n.pi.x/L) }

donde los coeficientes de Fourier son:

	an = 1/L . Integral definida[-L,L] { f(x) . cos(n.pi.x/L) }

	bn = 1/L . Integral definida[-L,L] { f(x) . sen(n.pi.x/L) }


	an = 1/L . Integral definida[-L,L] { f(x) . cos(n.pi.x/L) }

	bn = 1/L . Integral definida[-L,L] { f(x) . sen(n.pi.x/L

) }

Donde 2L es el valor del periodo y n=0,1,2,3,...

Lo que vamos a realizar es superponer los sucesivos desarrollos de la serie de Fourier sobre la funcin diente de sierra.

Para ello, debemos calcular previamente los coeficientes de Fourier, an, bn.
Podemos hacerlo calculando las integrales definidas correspondientes o utilizando la opcin, clculo de Integral definida, que nos ofrece el programa. 
A continuacin, describiremos cmo hacerlo.

-Ejecutar de nuevo el programa: Funciones para Windows.

Valores de los ejes, los iniciales.

Los trminos an valen 0 en todos los casos. La funcin Cos(x) es par y la funcin x es impar. El producto de ambas es impar. Como hemos de calcular la integral definida entre -L y L, sta ser siempre 0. Se puede comprobar calculando la integral definida de la funcin:
f(x)=x.cos(n.p.x/2), entre -2 y 2, siendo n cualquier nmero natural.

NOTA: Creemos que puede ser muy instructivo hacer esto ltimo cada vez que se calcula un coeficiente. Observaremos cmo la aproximacin va mejorando sucesivamente.

Calcular el trmino b1.

-Escribir la funcin,f(x)=1/2x.sen(px/2).

-Representarla. Botn Aceptar.

 Men 1 fu.. Calcular la integral definida entre -2 y 2 =                                  .

Repetimos el proceso para calcular los sucesivos coeficientes.

Trmino b2.

-Escribir la funcin,f(x)=1/2x.sen(2px/2).

Calcular la integral definida entre -2 y 2 =                                              .

Trmino b3.

-Escribir la funcin,f(x)=1/2x.sen(3px/2).

Calcular la integral definida entre -2 y 2 =                                               .

Trmino b4.

-Escribir la funcin,f(x)=1/2x.sen(4px/2).

Calcular la integral definida entre -2 y 2 =                                              .

Trmino b5.

-Escribir la funcin,f(x)=1/2x.sen(5px/2).

Calcular la integral definida entre -2 y 2 =                                              .

El desarrollo de Fourier, para los coeficientes que hemos calculado, queda:

G(x)=                                                                                                                       .

Volvemos a la ventana donde tenemos representada la funcin diente de sierra. Vamos al cuadro de dilogo: FUNCIONES - Entrada de datos. En el cuadro de entrada G(X), introducimos la anterior funcin.

-Pulsamos el botn, Aceptar. Se dibujan las dos funciones.

-Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

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Ficha 6 - Economa.


Tema: 	
	Estudio grfico de las cotizaciones de Bolsa y de las medias mviles.

Objetivo general: 

	Se dice que cuando la grfica de las medias mviles corta a la de cotizaciones, es uno de los criterios que puede tenerse en cuenta a la hora de comprar y/o vender.

	Concretamente, cuando corta en situacin de cotizaciones ascendentes, se sugiere comprar. En situacin contraria, se sugiere vender.

	Concretaremos estos trminos a continuacin.

NOTA: Hay que tener en cuenta que los inversores tienen en cuenta una multitud de otros factores, muchos de ellos tambin grficos, volmenes de negocio...

Procedimiento:

-Ejecutar el programa: Funciones para Windows.

Valores de los ejes, los iniciales.

Condiciones de trabajo:

-Grfico maximizado.

-La opcin "Baja precisin", del men "Opciones", No activa.  .

-La opcin "Trazar clculos", del mismo men,  No activa. 

-Cambiaremos los valores de los ejes por los siguientes:
 
Origen eje X	0	Origen eje Y	0
Unidad eje X 	2	Unidad eje Y 	50
Final eje X 	105	Final eje X 	600

Las medias mviles son una nueva tabla de valores en que cada valor es la media de las cotizaciones de n das. 

A partir de una tabla de cotizaciones de Bolsa,  dependiendo del nmero de das que utilicemos, podemos elaborar diferentes tablas de medias mviles.

Partiremos de un ejemplo. Son las cotizaciones de los aos 1987 y 1988 de una compaa  cementera. Los valores son los correspondientes al cierre semanal. Debera hacerse con los valores del cierre diario. Como se trata de un ejercicio, este hecho carece de importancia.

Las medias mviles calculadas son de 6 semanas, es decir , 42 das.
(La tabla se halla en la gua del profesor)

Representamos los valores de las cotizaciones en una funcin numrica, por ejemplo en F(X). Los valores de las medias mviles en una nueva funcin numrica, G(X). Recordar que podemos Copiar y Pegar.

-Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

Estudiemos concretamente el segundo ao. Parece que las condiciones inversoras son ms favorables.

Para ello, cambiar los valores de los ejes:

Origen eje X	52	Origen eje Y	0
Unidad eje X 	2	Unidad eje Y 	50
Final eje X 	105	Final eje X 	600

Calcular los puntos de corte. Men, 2 fu. opcin, Cortes.

Fijarse en los 4 primeros. Redondeamos los valores.

-Rellenar la siguiente tabla:

Semana	Cotizacin	modo 	accin
            .	                .	             .	             .
            .	                .	             .	             .
            .	                .	             .	             .
            .	                .	             .	             .

Calcular si hubiramos tenido algn beneficio en el caso de que hubiramos comprado 1 accin.
	
            . -             . =             .
            . -             . =             .

En total,             .  No est mal. Puede calcularse durante los 2 aos. A lo mejor, el beneficio no hubiera sido tanto.

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Ficha 7 - Matemticas.

Tema: 
	Regresin.

Conocimientos previos: 
	Estadstica bsica. Clculo de: medias, desviacin tpica.

Nivel :
	3 BUP, COU y en general estudios que incluyan estadstica.

Insercin Curricular:
	Estadstica. Experencias con dos variables. Relacin estadstica.

Objetivos: 
	Conocer el concepto de relacin lineal estadstica. 
	Significado del coeficiente de correlacin lineal.
	Significado de la ecuacin de la recta de regresin.
	Prediccin.
	Otras ecuaciones de regresin.

Procedimiento:

1-	Planteemos el siguiente problema:

	Sean 10 alumnos de COU seleccionados al azar. Se nos da los pesos y las alturas en la tabla siguiente:


altura (metros)	Peso (Kg)
1.91	84
1.78	78
1.77	77
1.87	86
1.75	65
1.65	46
1.66	49
1.68	60
1.74	60
1.68	60

	Las preguntas que tratamos de contestar son:
	1 - Existe alguna relacin entre estos datos?
	2 - Si existe, en qu medida es cierta?
	3 - Cual es la relacin?. 
	4 - Cmo utilizarla para conocer valores no incluidos en la tabla?.
Procedamos de la forma siguiente:

Ejecutar el programa: Funciones para Windows.

Pulsar el botn Funcin numrica.

Escoger una funcin, activando el botn regresin.

Introducir los datos de la tabla anterior. Recordar que podemos utilizar el portapapeles.

Pulsar Aceptar.

Contestar Si a la modificacin de los ejes.

Pulsar Aceptar en el cuadro Principal. 


		-Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.


Vemos representados los puntos y una recta. De momento slo nos fijaremos con los puntos:

Observar que hay una cierta tendencia en el sentido de que a valores altos de las alturas corresponde valores mayores de peso, y viceversa. Aclararemos mejor esto con otros ejemplos.

Para contestar a las preguntas 2 y 3:

Escoger men 1 fu, opcin Ecuacin de regresin...

Observamos que:

Coeficiente de Correlacin :             .

Ecuacin de la recta de regresin:            . 

El coeficiente de correlacin es un valor entre 1 y -1. Cuando ms cerca se encuentre de ellos ms alta ser la relacin entre las dos variables. Ms adelalante hablaremos de ello.

La ecuacin de la recta es la contestacin a la tercera pregunta.

Para contestar a la pregunta n 4, por ejemplo: Cual es el peso esperado de una persona que mida 1.70 m.?

Escoger men 1 fu, opcin Imagen...

Escribir 1.70.

El valor esperado es de unos             . Kg.



2-	Hagamos lo mismo con las dos tablas siguientes, Calcularemos para cada una el Coeficiente de correlacin.

a-	Sean 10 alumnos de COU seleccionados al azar. Se nos da el nmero de aciertos en dos ejercicios de matemticas y filosofa:

Matemticas	Filosofa
80	53
48	61
62	53
53	72
43	45
72	59
60	45
41	58
53	50
57	46


Procedemos como en el caso anterior. Observamos la grfica y el coeficiente de correlacin.
		-Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.


No parece que haya una gran relacin entre los dos tipos de valores.

El coeficiente de correlacin,             . 


b-	Hemos sacado al azar 10 monedas de una bolsa. Medimos la antigedad y el peso en gramos. Los resultados son los siguientes:

Antigedad (aos)	Peso (Kg)
5	9.41
9	9.45
14	9.33
17	9.34
23	9.31
31	9.26
35	9.22
42	9.21
46	9.15
50	9.08


		-Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.

Procedemos como en el caso anterior. Observamos la grfica y el coeficiente de correlacin.

El coeficiente de correlacin,             . 

En este caso s parece que hay una gran relacin entre los dos tipos de valores. Pero es distinta a ms aos menos peso. El coeficiente de correlacin es negativo y cercano a -1

c-	De todo ello llegamos a la siguiente conclusin si dos variables no tienen absolutamente ninguna relacin el coeficiente de correlacin tendr un valor cercano a cero. Si hay mucha relacin un valor absoluto cercano a uno. Si el coeficiente es positivo la correlacin ser directa, es decir ms valor x mayor y , y viceversa. Si el coeficiente es negativo la correlacin ser inversa, mayor valor de la x implica menor valor de la y.

3-	Puede que dos variables esten relacionadas, pero no necesariamente a travs de una relacin lineal. lo veremos con el siguiente ejemplo:

	Dejamos caer una piedra en un pozo y anotamos en distintos instantes de tiempo el espacio recorrido, obtenemos la siguiente tabla:


Tiempo (segundos)	Espacio (metros)
0	0
0.5	1.25
1	5
1.5	11.25
2	20
3	45
5	125
6	180
8	320

Observamos que hay una cierta relacin. De hecho el coeficiente de correlacin lineal es muy bueno 0.96.


Probemos otro tipo de ajuste.

Nos dirigimos al cuadro Regresin. Introducir Valores.

Pulsamos el botn Cuadrtica.

Finalmente pulsamos el botn Aceptar.

		-Mediante el portapapeles dibujar la funcin en este lugar.
Observamos que una parbola ajusta perfectamente los pares de valores. El coeficiente de correlacin parablico es             . , lo que significa que los datos se ajustan perfectamente a una parbola.





















































Parece mentira. Se acab.



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