La suma dels nombres complexos a+bi
i c+di és el nombre complex (a+c)+(b+d) i
La
suma dels nombres complexos (-6+4i) i (9+i) és
el nombre complex (-6+9)+(4+1) i , és a dir 3+5
i
Calcula
a) (6
- 5 i) + (-3 - 2 i)
b) (2 + 3 i) + (-2 + 4
i)
c) (6 - 5 i) + (-6 + 5
i)
d) (3 - 5 i) + (3 + 5
i)
Clica la fletxa vermella, observa com es
sumen gràficament i, movent els punts A i B, comprova
els resultats anteriors.
Resta
de nombres complexos
La resta dels nombres complexos (a+bi)
i (c+di) és la suma del primer amb l’oposat
del segon, és a dir, el nombre complex (a-c)+(b-d)i
La
resta dels nombres complexos (7+i) i (6-4i) és
el nombre complex 1+5 i
Calcula
a) (3 - 6 i) - (-3
- 2 i)
b) (2 + 3 i) - (-2
+ 4 i)
c) (2
+ 4 i) - (-5 + 4 i)
d) (3
+ 5 i) - (-3 + 5 i)
Clica la fletxa vermella, observa com es
resten gràficament i, movent els punts A i B, comprova
els resultats anteriors.
Producte
de nombres complexos
El producte dels nombres complexos
(a+bi) i (c+di) és el nombre complex (a·c–b·d)+(a·d+b·c)i
El
producte dels nombres complexos (-2-4i) i (-1+i) és
el nombre complex 6+2i
Calcula
a) (1 - 2 i) ·
(-1 + 5 i)
b) (1 - 2 i) ·
(-1 + 2 i)
c) (1 - 2 i) ·
(1 + 2 i)
d) (3 + 2 i) ·
(3 - 2 i)
Això
pasarà sempre: el producte d’un nombre complex pel
seu conjugat és un nombre real.
Per observar
els nombres i els seu producte, clica la fletxa vermella.
Dos casos particulars:
El producte d’un nombre real k
per un nombre complex (a+bi) és el nombre
complex (k·a)+(k·b)i
El
producte del nombre real k per un nombre complex
(-1+2i) és el nombre complex (-k)+(2k)i
El
producte del nombre real -2 per un nombre complex (-1+2i)
és el nombre complex 2-4i
A la finestra adjunta pots observar
gràficament aquest producte i practicar amb
d’altres nombres, perquè pots moure
el punt A i també pots elegir el valor de
k.
Per això, ja saps, clica
la fletxa vermella.
La multiplicació d’un nombre
complex (a+bi) per la unitat imaginària i.
Clica la fletxa vermella.
Potència
n d'un nombre complex
La potència n d’un nombre complex
(a+bi) és el nombre complex (a+bi)n,
que resulta de multiplicar (a+bi) per si mateix n vegades.
La
potència 2 d’un nombre complex -0’5–1’5
i és el nombre complex (-0’5–1’5i)2
= -2 + 1’5 i
Per veure
la representació gràfica, clica la fletxa vermella.
Invers
d'un nombre complex
L'invers d’un nombre complex
(a+bi) és el nombre
L'invers
d’un nombre complex (3+2i) és el nombre
Per veure la representació
gràfica, clica la fletxa vermella
Quocient
entre dos nombres complexos
El quocient entre els nombres complexos (a+bi) i (c+di) és
el producte del primer per l'invers del segon, és a
dir:
(a+bi):(c+di) =
(a+bi):
=
El
quocient entre els nombres (-2-4i) i (-1+i) és el producte
del primer pel invers del segon, és a dir
(-2-4i):(-1+i)
=
(-2-4i)
:
=
= -1+3i
Si penses que no és fàcil
recordar aquesta fórmula, prova de multiplicar
dividend i divisor pel conjugat del divisor. Recorda que
el producte d’un nombre pel seu conjugat és
un nombre real.
Calcula
a)
(1 - 2 i) : (-1 + 5 i)
b)
(1 - 2 i) : (-1 + 2 i)
c)
(1 - 2 i) : (1 + 2 i)
d)
(3 + 2 i) : (3 - 2 i)
La calculadora Wiris
et simplifica molt els càlculs.
Clica la fletxa vermella per veure la representació
gràfica i practicar amb d’altres nombres.
Exercicis
1.-
Efectua les operacions següents:
a) (4-5i) + (3+i)
- 3(-2+i)
b) (1-i) (2-3i)
(1+2i)
c) (-2i)2 (2-i) : (1+i)
d) 2i (-3i+1) :
(-3+2i)
2.- Calcula m i n perquè
es verifiqui la igualtat (2+mi) + (n+5i) = 7-2i
3.- Quant ha de valer
k, real, perquè (9-ki)2 sigui imaginari
pur?
4.- Calcula x perquè
el quocient (x+i) : (1+i) sigui igual a (2-i)
5.- Calcula k perquè
el resultat del producte (k+2+ik) (k-i) sigui un nombre
real.
Si vols comprovar els resultats d'aquests
darrers exercicis, clica la fletxa vermella i posa'ls
als llocs adequats:
