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Método de las Diagonales Potencialmente Mágicas
por: Ing. Miguel Angel Amela Galletti
a la memoria de Bernard Frénicle de Bessy
Por definición:
a + b + c + d = e + f + g + h = i + j + k + l = m + n + o + p = a + e + i + m =
b + f + j + n = c + g + k + o = d + h + l + p = a + f + k + p = d + g + j + m =
( a + b + c + d + e + f + g + h + i + j + k + l + m + n + o + p ) / 4 = S
Fundamentación Matemática del Método
Se demuestra que:
1) La suma de los vértices es igual a S:
Entonces:
2) Hay 20 pares tomados de a 2 de manera tal que:
Demostración:
1)
a + d = S - ( b + c )
a + p = S - ( f + k )
a + m = S - ( e + i )
d + m = S - ( g + j )
m + p = S - ( n + o )
d + p = S - ( h + l )
_________________________________________________________
3 ( a + d + m + p ) = 6 S - ( b + c + f + k + e + i + g + j + n + o + h + l )
( b + c + f + k + e + i + g + j + n + o + h + l ) = 4 S - ( a + d + m + p )
Entonces:
3 ( a + d + m + p ) = 6 S - [ 4 S - ( a + d + m + p ) ]
2 ( a + d + m + p ) = 2 S
Obviamente:
2) Se demuestra como ejemplo:
2.1) . . . . . . a + d + m + p = S
2.2) . . . . . . m + p = S - ( n + o )
Reemplazando m + p de 2.2) en 2.1):
a + d + S - ( n + o ) = S
La igualdad de los demás pares se demuestra de similar manera.-
Método
Se tiene que:
1) Para el conjunto de 16 números se determinan todas las combinaciones a > d > m > p de manera tal que a + d + m + p = S
2) Para cada combinación a > d > m > p ; son posibles 3 posiciones:
3) Para cada una de las 3 posiciones, se determinan f ; g ; j ; k de manera tal que:
P.1 . . . . . . a + d = g + j . . . ; . . . m + p = f + k
P.2 . . . . . . a + m = g + j . . . ; . . . d + p = f + k
P.3 . . . . . . a + p = g + j . . . ; . . . d + m = f + k
4) Se determinan las posiciones f ; g ; j ; k :
P.1. . . . . .a + d < m + p . . . . . . 4 posicionesP.2. . . . . .a + m < d + p . . . . . . 4 posiciones
P.3. . . . . .a + p < d + m . . . . . . 4 posiciones
. . . . . . . . a + p = d + m . . . . . . 8 posiciones
Dado que cumpliendo las relaciones demostradas; no todas las diagonales así formadas dan lugar a cuadrados mágicos; las llamo "Potencialmente Mágicas"
Total de Cuadrados Mágicos para una progresión aritmética
Total de combinaciones a > d > m > p : 86
Total de Diagonales Potencialmente Mágicas : 11.824
Conforme a la suma igual de los pares de números, son posibles las siguientes transformaciones:
En consecuencia, no es necesario hacer y probar con los 8 números restantes las 11.824 Diagonales Potencialmente Mágicas; sino que basta con hacer y probar 11.824 / 4 = 2.956
Determinadas las 2.956, algunas condiciones adicionales permiten eliminar antes de probar con los 8 números restantes; prácticamente la mitad de ellas.
Probadas con los 8 números restantes, se obtienen 123 Diagonales Mágicas Básicas; las que transformadas dan lugar a 492 Diagonales Mágicas
Cada una de 76 Diagonales Mágicas da lugar a 4 cuadrados; cada una de 160 da lugar a 2 cuadrados y cada una de 256 da lugar a 1 cuadrado.-
Total de Cuadrados Mágicos 4 x 4 : 880
Se listan las 123 Diagonales Mágicas Básicas para la progresión aritmética del 1 al 16 :
123 Diagonales Mágicas Básicas.doc
