El valor de 0⁰

Autor: Luis R. Morera González

En este artículo hallaremos el valor de cero elevado a la cero. Además mostraré algunos errores que he encontrado en muchos de los artículos que he leído en la red. En estos artículos utilizan incorrectamente el concepto de límite y la regla de L’Hopital que se estudia en los cursos de cálculo.

A continuación mostraré un ejemplo de una demostración errónea del valor de 0⁰ que he encontrado en demasiados artículos. Además haré comentarios sobre los errores en esta demostración.

Comienzo se define:

[1]

Comentario:

Esto es un gran error por que no cumple con la definición de límite recuerde que:

En el caso particular de la ecuación [1] se tiene que:

Mientras que:

Por tal razón no se puede tomar como cierta la ecuación [1].

Continuación de la demostración “recuerde se toma como cierta la ecuación [1]”.

Digamos que:

Aplicando logaritmo natural a ambos lados de la ecuación obtenemos:

Utilizando la regla de los logaritmos tenemos:

[2]

Si utilizamos las reglas elementales de los límites tenemos:

Que es una forma indeterminada.

Comentario:

En esta demostración nos indican que el problema de la demostración anterior es que no hemos utilizado una forma creativa para expresar la ecuación [2].

Continuación de la demostración:

Escribir la ecuación [2] de la siguiente forma:

[3]

Ahora utilizamos la regla de L’Hopital para obtener:

[4]

Comentario:

Es importante notar que en la ecuación [3] no se puede utilizar la regla de L’Hopital debido a que a límite no nos lleva a una de las formas indeterminadas que son condiciones para utilizar la regla.

Continuación de la demostración:

De la ecuación [4] obtenemos:

[5]

Luego cambiamos la ecuación [5]  de forma logarítmica a forma exponencial para obtener:

Por lo tanto llegando a la conclusión de que como y = 1, entonces 0⁰=1.

Comentario:

Luego de ver tantos errores en esta demostración es obvio que la solución obtenida en estos artículos es falsa.

La realidad es que 0⁰ no adquiere ningún valor simplemente es una forma indeterminada.

Algunos profesores para tratar de simplificar las explicaciones definen lo siguiente erróneamente lo siguiente:

(a)  Para todo x perteneciente a los números reales, x⁰ = 1.

(b)  Para todo x perteneciente a los números reales, 0^x = 0.

Para algunos estudiantes que le interesan las matemáticas esto le resulta contradictorio. Tienen razón en la definición (a), si tomamos x = 0 obtenemos 0⁰ = 1, mientras que en la definición (b) si tomamos x = 0 obtenemos 0⁰ = 0. ¿Cuál es la verdad? Si alguno de estos estudiantes lee este artículo la realidad es que hay un error en ambas definiciones. En ambas definiciones se debe excluir el cero. Esto es:

(a)  Para todo x perteneciente a los números reales excepto x = 0 se tiene que x⁰ = 1.

(b)  Para todo x perteneciente a los números reales excepto x = 0 se tiene que 0^x = 0.