DEMOSTRACIÓN DE FÓRMULA PARA EL NÚMERO PI
Autor: Cándido Otero

    Se adjunta el archivo comprimido SERIEPI.ZIP que contiene el archivo PI-CANDI.CPP y su archivo compilado PI-CANDI.EXE que están basados en esta fórmula para el número PI

    La fórmula siguiente para PI/4 que he hallado:

    infinito               n!                    PI
  1 - SUMA   (------------------------------) = -----
      n=0              n                          4
               2 *  PRODUCTO ( 2 * p + 3 )
                      p=0

    se puede demostrar con la fórmula de aceleración de series:

    arcotangente(X) =

n - 1   (-1)^k * X^(2 * k + 1)                               1
SUMA  (-----------------------) + (-1)^n * X^(2 * n - 1) * ----- *
k = 0       ( 2 * k + 1 )                                    2

infinito      2 * X^2                        k!
  SUMA  ( ( ---------- )^(k + 1) * ---------------------- )
k = 0        X^2 + 1               ((2 * n + 1))[k + 1]


    donde ((2 * n + 1))[k + 1] significa (2*n+1)*(2*n+3)...(2*n+2*k+1)

    tomando arcotangente(1) y n = 1 se obtiene la fórmula que he hallado también
se puede demostrar tomando arcotangente(1) escribirlo así:

    1 - PI/4 = 1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 ...

y aplicar el método de aceleración de series de Euler llamado transformación de Euler.

    Sin embargo, no es con estos métodos como la he conseguido sino siguiendo un método
personal que describiré a continuación.

    Tomando el arcotangente(1) también llamado serie de Leibniz

    PI/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 +...

en la que la sucesión de términos se aproximan a PI/4 alternativamente
por exceso y por defecto según tomemos un ultimo término positivo o negativo.

    Para verlo gráficamente tenemos:

    Cada término está representado por una línea el primer término -1/3 sería la línea AH el siguiente
 término +1/5 seria la línea HT el siguiente término seria la línea TK y, así, sucesivamente.

Podemos ver que cada término aproxima por exceso y por defecto al verdadero valor de PI/4 representado
por la línea IY. Y que cada término es menor que el anterior.

    Si tomamos el punto medio de la longitud de cada término. Vemos en este
gráfico que esos puntos están representados por los puntos M X E L W V puntos que
están alternativamente aproximados al valor de PI/4 representado por la línea IY
por exceso y por defecto. Si unimos estos puntos obtenemos una nueva serie alterna:

     1!       1!        1!         1!        1!
- ------ + ------- - ------- + ------- - -------- +...
   (3*5)     (5*7)     (7*9)     (9*11)    (11*13)

el primer término seria la línea MX el segundo término la línea XE el
tercer término seria la línea EL y, así, sucesivamente.

    Hemos obtenido una nueva serie que aproxima al valor de PI/4 por exceso
y por defecto alternativamente.

    Si repetimos el proceso desde el principio obtenemos la serie

      2!         2!         2!           2!
- -------- + -------- - --------- + ---------- -...
   (3*5*7)     (5*7*9)   (7*9*11)    (9*11*13)

que nuevamente aproxima al valor PI/4 alternativamente por exceso y por defecto.

    Si repetimos el proceso otra vez obtenemos la serie

       3!            3!            3!             3!
- ---------- + ----------- - ------------ + ------------- -...
   (3*5*7*9)    (5*7*9*11)    (7*9*11*13)    (9*11*13*15)

    Que también aproxima al valor de PI/4 alternativamente por exceso y por defecto.

    El proceso continua indefinidamente con lo cual obtenemos infinitas series
en la que cada serie se aproxima más que la anterior al valor de PI/4.

    Si encadenamos el primer término de cada una de las series obtenidas.

    O sea, tomar la mitad de la línea AH más la mitad de la línea MX y, así,
sucesivamente se obtiene la fórmula:

    infinito               n!                    PI
  1 - SUMA   (------------------------------) = -----
      n=0              n                          4
               2 *  PRODUCTO ( 2 * p + 3 )
                      p=0
 

DEMOSTRACIÓN DE FÓRMULA PARA EL NÚMERO PI (2ª parte)

    La fórmula siguiente para el número PI que he hallado:

                H[0] = 1

                       H[n]
H[n + 1] = ---------------------------

              1 + ( 1 + H[n]^2 )^(1/2)


          2^(n + 2) * H[n] > PI

Limite ( 2^(n + 2) * H[n] ) n----->infinito        es igual a PI

es similar a la fórmula para el número pi de Arquímedes para polígonos que están fuera
de la circunferencia.Para hallarla me he valido del siguiente método que explicare a continuación.

    Si calculamos de forma sucesiva el lado de un polígono que tiene doble número de lados
que en el paso anterior obtenemos una sucesiva aproximación a la longitud de la circunferencia.

    Un polígono que tenga infinitos lados es igual a la longitud de la circunferencia y,
por lo tanto, al número PI.

    Vemos en el gráfico:

    Se trata trazar al triangulo CKN en el vértice C una bisectriz de forma sucesiva
y calcular el cateto opuesto.

    Este cateto calculado pertenece al lado de un polígono que tiene doble número de lados
que en el paso anterior.

    El radio CN es igual a 1 la línea CT es igual a la raíz de 2 la línea FT es igual a la raíz
de 2 menos 1 y como FT FK KN son iguales ya hemos calculado el segundo valor de la iteración.

    Si queremos seguir calculando de forma sucesiva nuevos valores del lado del polígono
habremos de seguir el siguiente método.

    Este dibujo explicativo nos ayudara a entender el método:

la bisectriz del triangulo CKN en el vértice C divide al cateto opuesto KN en partes
proporcionales a los lados CK y CN.

    Como solo conocemos los lados CN y KN hemos de calcular de forma sucesiva
un nuevo cateto VN.

    Por lo tanto, hemos de despegar el siguiente sistema de ecuaciones:
                     KV + VN = KN

                   KV / VN = CK / CN

conocemos el valor de CN que es igual 1 este valor es igual al radio de la circunferencia
y conocemos el valor KN que es igual al lado del polígono del paso anterior.
    Si despegamos este sistema de ecuaciones obtenemos:
                      KN
                   ---------  =  VN
                    1 + CK

    Por lo tanto:
                        H[n]
  H[n + 1] = ---------------------------

               1 + ( 1 + H[n]^2 )^(1/2)


con lo que H[n] es igual a la mitad del lado de un polígono de 2^p lados
y H[n + 1] es igual a la mitad del lado de un polígono de 2^(p + 1) lados.
    La fórmula final es:
                H[0] = 1

                       H[n]
H[n + 1] = ---------------------------

              1 + ( 1 + H[n]^2 )^(1/2)

          2^(n + 2) * H[n] > PI

Limite ( 2^(n + 2) * H[n] ) n------>infinito         es igual a PI

DEMOSTRACIÓN DE FÓRMULA PARA EL NÚMERO PI (Jonás Castillo)

    Esta es la demostración de la fórmula de Jonas Castillo Toloza.

    PI - 2 = 1/1 + 1/3 - 1/6 - 1/10 + 1/15 + 1/21 - ...

    cada denominador es un numero triangular que se calcula por la fórmula (n * (n +1))/2

    si unimos en una parte los términos impares y en otra parte los términos pares se obtiene:

    A = 1/1 - 1/6 + 1/15 - ...

    B = 1/3 - 1/10 + 1/21 - ...

    La primera parte es igual a:

    A =  2/(1 * 2) - 2/(3 * 4) + 2/(5 * 6) - 2/(7 * 8) + ...

    que es igual a:

    A = (2/1 - 2/2) - (2/3 - 2/4) + (2/5 - 2/6) - (2/7 - 2/8) + ...

    Si unimos los términos con denominador par se obtiene:

    - 1/1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - ...

    que es igual a - Logaritmo(2)

    La fórmula del logaritmo se calcula con la fórmula:

    Logaritmo (1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 - ....

    los términos con denominador impar es igual a:

    2/1 - 2/3 + 2/5 - 2/7 + 2/9 - 2/11 + ...

    que es igual PI/2.

    Por lo tanto, A = PI/2 - Logaritmo(2)

    B = 2/(2 * 3) - 2/(4 * 5) + 2/(6 * 7) - 2/(8 * 9) + ...

    que es igual a:

    B = (2/2  - 2/3) - (2/4 - 2/5) + (2/6 - 2/7) - (2/8 - 2/9) + ...

    si unimos los términos con denominador par se obtiene:

    1/1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - ...

    que es igual al Logaritmo(2):

    los términos con denominador impar es igual a:

    - 2/3 + 2/5 - 2/7 + 2/9 - 2/11 + 2/13 - 2/15 + ...

    que es igual PI/2 - 2:

    Por lo tanto, B = PI/2 - 2 + Logaritmo(2)

    Con lo cual:

  A + B = PI/2 - Logaritmo(2) + PI/2 - 2 + Logaritmo(2) = PI - 2
 

Esta es la demostración de la fórmula para el número PI de (Jonás Castillo Toloza, Colombia) según Candido Otero.

    La fórmula de Jonás:

    PI - 2 = 1/1 + 1/3 - 1/6 - 1/ 10 + 1/15 + ...

    En la que los denominadores son números triangulares que se calculan por la fórmula (n  * (n + 1))/2
es igual a:

           2       2       2       2       2       2
PI - 2 = ----- + ----- - ----- - ----- + ----- + ----- - ...
          1*2     2*3     3*4     4*5     5*6     6*7

    que es igual a:

         2     2     2     2     2     2     2     2     2     2
PI - 2 =(--- - ---)+(--- - ---)-(--- - ---)-(--- - ---)+(--- - ---)+...
         1     2     2     3     3     4     4     5     5     6

    los términos con denominador par se anulan y lo que queda es:

          2     4     4     4     4     4      4      4      4
PI - 2 = --- - --- + --- - --- + --- - ---- + ---- - ---- + ---- -...
          1     3     5     7     9     11     13     15     17

    que se diferencia de la serie de Leibniz únicamente en el primer término.

    La serie de Leibniz para el número pi es igual a:

    PI = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 + 4/13 - 4/15 + 4/17 - ...



    Para cualquier duda o consulta: oteropera@hotmail.com

Autor: Blai Figueras Álvarez