FÓRMULAS PARA CALCULAR EL NÚMERO PI
Autor:
Cándido Otero
El autor de este estudio nos presenta una serie de fórmulas que permiten el cálculo del número P
Si el lector desea realizar algún comentario dirigirse a Cándido Otero:
· Este primer algoritmo está basado en la fórmula para pi de E. H. Clarke.
TEOREMA
infinity 1
SUM [ ------------------ ] = PI/24 + LN(2)/4
n=1 (4*n-3)*(4*n)
------------------------------------------------------------------------
DEMOSTRACIÓN
primero tomaremos la fórmula que es igual al Logaritmo(2)
infinity 2*(4*n-1)*(4*n-2) + 2
SUM [
-------------------------------- ] = LN(2)
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)
esta fórmula se puede demostrar de la siguiente manera
cada término de la fórmula se puede dividir en dos partes
--------------
primera parte
--------------
+ (1/(4*n-3) - 1/(4*n-2)) + (1/(4*n-2) - 1/(4*n-1))
esta
a su vez en dos sumandos el primer sumando es igual a :
1/((4*n-3)*(4*n-2))
el segundo sumando es igual a:
1/((4*n-2)*(4*n-1))
si unimos los dos sumandos
1/((4*n-3)*(4*n-2)) + 1/((4*n-2)*(4*n-1)) =
((4*n-1) + (4*n-3))/((4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)) =
(8*n-4)/((4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1))
-------------
segunda parte
-------------
+ (1/(4*n-1) - 1/(4*n-2)) + (1/(4*n-1) - 1/(4*n))
el primer sumando es igual a
- 1/((4*n-1)*(4*n-2))
el segundo sumando es igual a
+ 1/((4*n-1)*(4*n))
si unimos los dos sumandos
- 1/((4*n-1)*(4*n-2)) + 1/((4*n-1)*(4*n)) =
(- (4*n) + (4*n-2))/((4*n-1)*(4*n-2)*(4*n)) =
- 2/((4*n-1)*(4*n-2)*(4*n))
y finalmente si unimos las dos partes en las que dividimos cada término:
(8*n-4)/((4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)) - 2/((4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)) =
((4*n)*(8*n-4)- 2*(4*n-3))/((4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n))
el numerador se puede escribir como:
(4*n)*(8*n-4) - (8*n-6) =
(4*n)*(8*n-4) - ((8*n-4) - 2) =
(4*n-1)*(8*n-4) + 2 =
2*(4*n-1)*(4*n-2) + 2
se obtiene la fórmula final:
infinity 2*(4*n-1)*(4*n-2) + 2
SUM [ -------------------------------- ]
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)
por lo tanto esta fórmula es igual a la sucesión de números:
+ (1/1 - 1/2) + (1/3 - 1/4)
+ (1/5 - 1/6) + (1/7 - 1/8)
+ (1/9 - 1/10) + (1/11 - 1/12)
que es igual a LN(2)
si lo dividimos en dos sumandos:
infinity 2*(4*n-1)*(4*n-2)
SUM [ --------------------------------
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)
+ 2
-------------------------------- ] = LN(2)
(4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)
la suma de los términos del segundo sumando:
infinity 2
SUM [ -------------------------------- ]
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)
es igual a la fórmula de E. H. Clarke:
infinity 1
SUM [ -------------------------------- ] =
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)
- PI/24 + LN(2)/4
multiplicada por dos:
- PI/12 + LN(2)/2
por lo tanto, la suma de los términos del primer sumando:
infinity 2*(4*n-1)*(4*n-2)
SUM [ -------------------------------- ]
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)
es igual al resultado total menos la fórmula de E. H. Clarke multiplicada por 2:
LN(2) - ( - PI/12 + LN(2)/2 ) = PI/12 + LN(2)/2
infinity 2*(4*n-1)*(4*n-2)
SUM [ -------------------------------- ] = PI/12 + LN(2)/2
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)
que se puede escribir como:
infinity 2
SUM [ ---------------- ] = PI/12 + LN(2)/2
n=1 (4*n-3)*(4*n)
y, finalmente, si lo dividimos por dos se obtiene la fórmula final:
infinity 1
SUM [ ---------------- ] = PI/24 + LN(2)/4
n=1 (4*n-3)*(4*n)
2ª FÓRMULA PARA EL NUMERO PI
TEOREMA
infinito 8*n
SUMA [ ---------------------------- ] = PI/4 + LN(2)
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)
infinito 8*n - 4
SUMA [ --------------------------- ] = PI/4
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)
------------------------------------------------------------------------
DEMOSTRACIÓN
primero demostraré la segunda fórmula y después la primera
cada término se puede dividir en las siguientes fracciones
+ (1/(4*n-3) - 1/(4*n-2)) + (1/(4*n-2) - 1/(4*n-1))
el primer sumando es igual a
((4*n-2) - (4*n-3))/((4*n-2)*(4*n-3))
que es igual a
1/((4*n-3)*(4*n-2))
el segundo sumando es igual a
((4*n-1) - (4*n-2)/((4*n-2)*(4*n-1))
que es igual a
1/((4*n-2)*(4*n-1))
si unimos los dos sumandos
1/((4*n-3)*(4*n-2)) + 1/((4*n-2)*(4*n-1)) =
((4*n-1) + (4*n-3))/((4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)) =
(8*n-4)/((4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1))
por lo tanto, la fórmula:
infinito 8*n - 4
SUMA [ --------------------------- ]
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)
es igual a la sucesión de números:
+(1/1 - 1/2) +(1/2 - 1/3)
+(1/5 - 1/6) +(1/6 - 1/7)
+(1/9 - 1/10) +(1/10 - 1/11)
+(1/13 - 1/14) +(1/14 - 1/15)
las fracciones con denominador par se anulan entre si y lo que queda es igual
a:
+ 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 +...
que es igual a PI/4, por lo tanto, la fórmula:
infinito 8*n - 4
SUMA [ --------------------------- ]
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)
es igual a PI/4
DEMOSTRACIÓN DE LA PRIMERA FÓRMULA
infinito 16*n - 6
SUMA [ -------------------------------- ] =
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)
PI/4 - LN(2)/2
hay una conocida fórmula para el numero p de E. H.
Clarke
infinito 1
SUMA [ -------------------------------- ] =
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)
LN(2)/4 - PI/24
la fórmula que demostrada anteriormente se puede escribir como:
infinito 16*n
SUMA [ ---------------------------------- -
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)
6
-------------------------------- ] =
(4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)
PI/4 - LN(2)/2
la suma de los términos del segundo sumando es igual a:
infinito 6
SUMA [ -------------------------------- ]
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)
que es igual a la fórmula de E. H. Clarke multiplicada por 6
o sea, (3 * LN(2))/2 - PI/4
por lo tanto la suma de los términos del primer sumando, o sea:
infinito 16*n
SUMA [ -------------------------------- ]
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)*(4*n)
que se puede escribir como:
infinito 4
SUMA [ -------------------------- ]
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)
es igual a la suma total mas la fórmula de E. H. Clarke multiplicada por 6:
PI/4 - LN(2)/2 + (3 * LN(2)/2 - PI/4) = LN(2)
por lo tanto la sucesión de números:
4/(1*2*3) + 4/(5*6*7) + 4/(9*10*11) + 4/(13*14*15) + 4/(17*18*19) +...
es igual LN(2)
la fórmula que demostré al principio se puede escribir como:
infinito 8*n
SUMA [ --------------------------- -
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)
4
--------------------------- ] = PI/4
(4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)
la suma de los términos del segundo sumando:
infinito 4
SUMA [ --------------------------- ]
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)
es igual a la sucesión de números que hemos visto para el logaritmo(2)
por lo tanto la suma de los términos del primer sumando es igual al resultado
total mas LN(2)
o sea, PI/4 + LN(2)
infinito 8*n
SUMA [ ---------------------------- ] = PI/4 + LN(2)
n=1 (4*n-3)*(4*n-2)*(4*n-1)
3ª FÓRMULA PARA EL NUMERO PI
TEOREMA
infinito (-1)^(n+1)
SUMA [ -------------------- ] =
n=1 (n + 1)*(2*n + 1)
- PI/2 + LN(2) + 1
----------------------------------------------------------------------
DEMOSTRACIÓN
Si tomamos la conocida fórmula para el
numero p
infinito (-1)^(n+1)
SUMA [ ----------------------- ] = PI - 3
n=1 n * (n + 1)*(2*n + 1)
conservando los denominadores es posible construir una nueva fórmula:
1/n - 1/(2*n+1) = (n+1)/(n * (2*n+1))
1/(n+1) - 1/(2*n+1) = n/((n+1) * (2*n+1))
(n+1)/(n * (2*n+1)) + n/((n+1) * (2*n+1)) =
((n+1)^2 + n^2)/(n * (n+1) * (2*n+1)) =
(2*n^2 + 2*n + 1)/(n * (n+1) * (2*n+1))
infinito 2*n^2 + 2*n + 1
SUMA [ (-1)^(n+1) * ----------------------- ]
n=1 n * (n + 1)*(2*n +
1)
esta fórmula es igual a la sucesión de números:
+(1/1 - 1/3) +(1/2 - 1/3)
-(1/2 - 1/5) -(1/3 - 1/5)
+(1/3 - 1/7) +(1/4 - 1/7)
-(1/4) -1/9) -(1/5) -1/9)
las fracciones que ocupan las posiciones 2*n y 4*n es igual a:
- 2/3 + 2/5 - 2/7 + 2/9 - 2/11 + 2/13 - 2/15 + 2/17 -...
que es igual a PI/2 -2
las restantes fracciones se anulan entre si excepto la primera fracción 1/1,
por lo tanto, la fórmula:
infinito 2*n^2 + 2*n + 1
SUMA [ (-1)^(n+1) * ----------------------- ]
n=1 n * (n + 1)*(2*n + 1)
es igual a PI/2 - 1
si dividimos esta fórmula en dos sumandos:
infinito 2*n^2
+ 2*n
SUMA [ (-1)^(n+1) * ( ----------------------- +
n=1 n * (n + 1)*(2*n + 1)
1
----------------------- ) ]
n * (n + 1)*(2*n + 1)
la suma de los términos del segundo sumando es igual a la
conocida fórmula para el numero p
infinito (-1)^(n+1)
SUMA [ ----------------------- ] = PI - 3
n=1 n * (n + 1)*(2*n + 1)
por lo tanto, la suma de los términos del primer sumando:
infinito 2*n^2 + 2*n
SUMA [ (-1)^(n+1) * ( ------------------------ ]
n=1 n * (n + 1)*(2*n + 1)
es igual al resultado total menos (PI - 3)
(PI/2 - 1) - (PI - 3) = - PI/2 + 2
esta fórmula se puede dividir en dos sumandos:
infinito 2*n^2
SUMA [ (-1)^(n+1) * ( ------------------------ +
n=1 n * (n + 1)*(2*n + 1)
2*n
------------------------ ) ]
n * (n + 1)*(2*n + 1)
el primer sumando se puede escribir como:
infinito 2*n
SUMA [ (-1)^(n+1) * ------------------------ ]
n=1 (n + 1) * (2*n + 1)
y si lo dividimos por dos:
infinito n
SUMA [ (-1)^(n+1) * ------------------------ ]
n=1 (n + 1) * (2*n + 1)
si lo desarrollamos en fracciones se obtiene:
1/(n+1) - 1/(2*n+1) = n/((n+1) * (2*n+1))
por lo tanto este sumando es igual a la sucesión de números:
+(1/2 - 1/3)
-(1/3 - 1/5)
+(1/4 - 1/7)
-(1/5 - 1/9)
+(1/6 - 1/11)
las fracciones que ocupan las posiciones pares es igual a:
- 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/15 - 1/17 + 1/19 -...
que es igual a PI/4 - 1
las fracciones que ocupan las posiciones impares es igual a:
+ 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/6 - 1/7 + 1/8 -...
que es igual a - LN(2) + 1
por lo tanto, el primer sumando es igual a:
PI/4 - LN(2)
como lo hemos dividido por dos es igual a:
PI/2 - 2*LN(2)
por lo tanto, la suma de los términos del segundo sumando:
infinito 2*n
SUMA [ (-1)^(n+1) * ------------------------ ]
n=1 n * (n + 1)*(2*n + 1)
es igual al resultado total menos (PI/2 - 2*LN(2))
(- PI/2 + 2) - (PI/2 - 2*LN(2)) = - PI + 2*LN(2) + 2
que se puede escribir como:
infinito 2
SUMA [ (-1)^(n+1) * ------------------------ ]
n=1 (n + 1)*(2*n + 1)
y finalmente si lo dividimos por dos se obtiene el resultado:
infinito (-1)^(n+1)
SUMA [ -------------------- ] =
n=1 (n + 1)*(2*n + 1)
- PI/2 + LN(2) + 1