XXXII Olimpíada Matemàtica

• Problema 1
• Problema 2
• Problema 3

Los números naturales $ a $ y $ b $ son tales que
$$
                  Frac{ a + 1 }{ b } + Frac{ b + 1 }{ a }
$$
es entero. Demostrar que el máximo común divisor de $ a $ y $b $ no es mayor
que $ \sqrt{ a + b } $

Sea $ G $ el baricentro del triángulo $ ABC $. Demostrar que si
$$
                        AB + GC = AC + GB,
$$
entonces $ ABC $ es isósceles.

Sean $ a $, $ b $ y $ c $ tres números reales. Se consideran las funciones
$$
                 f(x) = ax^2 + bx + c    \quad\hbox{ y }\quad
                 g(x) = cx^2 + bx + a
$$
Sabiendo que
$$
           |f(-1)| \leq 1,         \quad
           |f(0)| \leq 1           \quad\hbox{ y }\quad  
           |f(1)| \leq 1,
$$
probar que si $ -1 \leq x \leq 1 $, entonces $ |f(x)| \leq 5/4 $ y
$ |g(x)| \leq 2 $

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