XXXII Olimpíada Matemàtica

Fase Espanyola

Segona Sessió

Problema 4:
Discutir la existencia de soluciones reales $ x $ de la ecuación
$$
                \sqrt{ x^2 - p } + 2 \sqrt{ x^2 - 1 } = x
$$
según los valores reales del parámetro $ p $ y resolverla en aquellos casos
en que tenga solución.

Problema 5:
En {\sl Port Aventura } hay 16 agentes secretos. Cada uno de ellos vigila a
algunos de sus colegas. Se sabe que si el agente $ A $ vigila al agente
$ B $, entonces $ B $ no vigila a $ A $. Además, 10 agentes cualesquiera
pueden ser numerados de forma que el primiero vigila al segundo, éste
vigila al tercero, $ \ldots $, el décimo vigila al primero. Demostrar que
también se pueden numerar de esa manera 11 agentes cualesquiera.

Problema 6:
La figura adjunta se compone de seis pentágonos regulares de lado un metro.
Se dobla por las líneas de puntos hasta que coinciden las aristas no
punteadas que confluyen en cada vértice. ¿Qué volumen de agua cabe en el
recipiente así formado?

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