XXXII Olimpíada Matemàtica

• Problema 1
• Problema 2
• Problema 3
• Problema 4

Un cert professor de matemàtiques va escriure a la pissarra un polinomi
$ f(x) $ amb coeficients enters i va dir: ``Si al polinomi enlloc de $ x $ hi
escrivim l'edat del meu fill, que acaba de fer $ a $ anys, obtenim la
igualtat $ f(a)=a $. A més, $ f(0) = p $ és un nombre primer més gran
que $ a $.''

Quants anys tenia el fill del professor?

Sigui $ n $ un nombre natural. Trobeu el nombre més gran $ k $ tal que
en el conjunt $\{ 1, 2, \ldots, n \}$ poguem agafar un subconjunt $ A $ de
$ k $ nombres que compleixi que si $ x $, $ y $, $ z $ són nombres qualssevol
de $ A $, sempre sigui $ x + y \neq z $.

Escollim un nombre natural $ n $ i demanem a $ r $ persones que escriguin
un subconjunt de $\{ 1, 2, \ldots, n \}$.

Quina és la probabilitat que els $ r $ subconjunts obtinguts siguin disjunts 
dos a dos?

Sigui $ AB $ el diàmetre d'una circumferència, $ O $ el punt mig d'un dels
arcs que van de $ A $ a $ B $ i $ C $ un punt qualsevol de l'arc $ OB $.
Dibuixem les rectes $ AC $, $ OC $ i sigui $ D $ la intersecció de $ OC $
amb $ AB $. Sigui $ DE $ perpendicular a $ AD $ que talla $ AC $ en $ E $.

Demostreu que els segments $ BD $ i $ DE $ tenen la mateixa longitud.

Tornar a la pàgina de la

Tornar a la pàgina d'