XXXIII Olimpíada Matemàtica

• Problema 1
• Problema 2
• Problema 3
• Problema 4

Amb dos filferros de 1996 cm de llarg cadascun, dos filferros de 1997 cm de

llarg cadascun i dos filferros de 1998 cm de llarg cadascun es construeix un

tetràedre de manera que les sis arestes resulten ser tangents a una esfera.

Raoneu en quina posició relativa hem situat les arestes

Un rellotger molt de la broma té a l'aparador de la seva botiga un rellotge

amb les dues busques - la {\sl minutera} i l'{\sl horària} - exactament

iguals.

Quasi bé sempre una persona que s'hi fixi una mica pot deduir quina és la

busca horària i quina la minutera i deduir, doncs, quina hora és. Tanmateix,

però, en alguns casos això no és possible. Si en aquests casos s'escull a

l'atzar una busca com a horària i l'altra com a minutera i l'elecció és

incorrecta es cometrà un error en la lectura de l'hora. La diferència més 

curta entre l'hora llegida i l'hora real no pot ser en cap cas superior a

les 6 hores.



{\it a)\ }Descriviu les situacions en què no es pot saber quina hora és.



{\it a)\ }Estudieu quin és el màxim error que es pot arribar a cometre i a

          quines hores es produeix aquest error màxim.

En una bossa hi ha $ n $ boles blanques numerades de l'1 al $ n $; $ n $

boles vermelles numerades de l'1 al $ n $; $ n $ boles blaves numerades de

l'1 al $ n $ i $ n $ boles grogues numerades de l'1 al $ n $, essent 

$ n \geq 4 $. Es treuen quatre boles d'aquesta bossa totes alhora. Estudieu,

segons els valors de $ n $, quin dels esdeveniments següents

$$

\vbox{\hsize0.8\hsize

  A = $ \{ $ {\sl treure les quatre boles del mateix color} $ \} $, \par

  B = $ \{ $ {\sl treure quatre boles amb nombres correlatius} $ \} $, \par

  C = $ \{ $ {\sl treure tres boles d'un mateix número i l'altra no} $ \} $

     }

$$

és més difícil que es doni, és a dir, té una probabilitat més petita.

Sigui $ \cal C $ un con recte de radi $ r $ i altura $ h $. Sigui $ V $ el

vèrtex del con i $ AB $ un diàmetre qualsevol de la base circular.

Els plans $ \cal P $, para\l·lels a la generatriu $ VA $ del con, que

tallen la base circular del con segons cordes $ MN $ perpendiculars al

diàmetre $ AB $, tallen la superfície cònica segons una paràbola. Trobeu

quina ha de ser la distància $ d $ de la corda $ MN $ al centre $ O $ de la

circumferència de la base per tal que l'àrea de la secció $ \cal P $ amb

$ \cal C $ sigui màxima.

Tornar a la pàgina de la

Tornar a la pàgina d'