Desenvolupament d’un determinant pels elements d’una fila o columna.

Definicions prèvies

Si és una matriu quadrada d’ordre n definim el menor complementari de l’elment com el determinant de la matriu quadrada d’ordre , obtingut a partir de A, suprimint la fila i i la columna j.

Aquest menor complementari el notarem per

és un determinant d’ordre n-1 ja que li falta la fila i i la columna j

Exemple:

Definim l’Adjunt de l’element , que notarem per , com

Continuant l’exemple anterior:

Els signes dels adjunts dels elements d’un determinant d’ordre 4 són:

Proposició.

El determinant d’una matriu quadrada d’ordre n, és igual a la suma dels productes dels elements d’una fila (o columna) qualsevol pels seus adjunts respectius.

desenvolupament per la fila i

desenvolupament per la columna j
(no farem de la demostració)

Exemple:

Aplicació al càlcul de determinants:

Com podem veure a l’exemple anterior, abans de calcular un determinant pel desenvolupament dels elements d’una fila (o columna), és convenient fer transformacions de manera que aparegui una fila (o columna) amb el major número de zeros possible i aleshores fer el desenvolupament per aquesta.

Observacions:

1. En una matriu quadrada, el producte dels elements d’una fila (o columna) pels adjunts d’una altra és zero.
   
   Demostració:
   
   
   
2. El determinant d’una matriu triangular és igual al producte dels elements de la diagonal.
   
3. El determinant d’una matriu diagonal és igual al producte dels elements de la diagonal