Matriu inversa.

Introducció:

Recordem que quan vàrem estudiar la fórmula matricial d’un sistema d’equacions lineal, en el que cas de tenir un sistema de n equacions amb n incògnites, aquesta fórmula matricial era: . Ens va quedar pendent la qüestió relativa al càlcul de la matriu inversa, en el cas que aquesta existeixi, amb lo qual

Definició:

Si (matriu quadrada d’ordre n). Anomenarem matriu inversa de A a una altra matriu, si existeix, quadrada d’ordre n que notarem per i que satisfà:

Observacions:

1. La matriu inversa, si existeix és única.
   Demostració.
   Suposem que X, Y són matrius inverses de A
   
   
   
   
2. La matriu inversa d’una matriu quadrada no sempre existeix.
   Exemple:
   
   té estructura d’Anell no commutatiu
   

Proposició

(Càlcul de la matriu inversa)

Si aleshores:

Demostració.

anem a veure que la matriu B següent és la inversa de A

anem a veure que

Per tant

Propietats.

Propietat 1

Si A i B tenen inversa aleshores també té inversa i
Demostració.

Per tant

Propietat 2

Si A té inversa aleshores també i

Demostració.

Propietat 3.

Si

Propietat 4

Exemple d’una aplicació:

Resolució del sistema