Propietats dels determinants.

La majoria d’aquestes propietats no les demostrarem ja que l’estudi de les permutacions ha estat superficial i no està inclòs en el currículum del Batxillerat.

1. El determinant d’una matriu és igual que el determinant de la matriu transposada.
   
   Aquesta propietat serà molt important ja que a partir d’aquest moment totes aquelles propietats que veurem per les files també valdran per les columnes i recíprocament.
   Abans de continuar anem a introduir una nova notació per facilitar-nos l’escriptura.
   
   
   
2. 
   Expressió amb determinants:
   
   Exemple:
   
   
   
3. Si una fila o columna està multiplicada per un número aquest pot sortir fora del determinant.
   
   Expressió amb determinants:
   
   És la propietat 2) amb
   Observació:
   
   es a dir
   
   
   
4. 
   Propietat 2) per
   
   
   
5. Si un determinant té una fila o columna de zeros aleshores aquest determinant és nul.
   Propietat 2) per
   
   (Utilitzant la definició cada sumant té un element de la fila i per tant el producte és 0 )
   
   
   
6. Si es permuten entre si dues files o columnes d’un determinant aleshores el determinant canvia de signe.
   
   
   
   
7. Si un determinant té dues files o columnes iguals aleshores aquest determinant val zero.
   
   
   
   
8. Si un determinant té una fila o columna proporcional a una altra aleshores aquest determinant val zero.
   
   
   Definició: Direm que una fila o columna d’un determinant per exemple és combinació lineal dels altres si i només sí:
   
   Exemple:
   
   
   
9. Si una fila o columna d’un determinant és combinació lineal de les altres aleshores aquest determinant és zero
   
   Demostració:
   
   
   
10. Si a una fila o columna se li suma una combinació lineal de les altres aleshores el determinant no varia.
    (Per no complicar més la notació suposarem que es tracta de la primera fila sense perdre generalitat.)
    
    Demostració:
    
    Observació: Aquesta propietat serà molt útil per al càlcul de determinants ja que aplicant-la convenientment intentarem que en una fila o columna apareguin molts zeros i aleshores desenvoluparem el determinant per aquesta fila o columna.
    Exemple:
    
    Tindrem un determinant on tots els elements d’una fila són zero excepte un, podrem desenvolupar aquest determinant pels elements de la primera fila.
    
    
11. Si matrius quadrades aleshores
    No fem la demostració