Rang d’una matriu.

Utilitzarem aquest concepte per discutir la compatibilitat de sistemes d’equacions lineals.

Definicions prèvies.

Submatriu.

Sigui (matriu de m files i n columnes).

Anomenarem submatriu d’ordre r de A a la matriu que té per elements la intersecció de r files i r columnes de A (on ).

Exemple:

B és una submatriu de A intersecció de fila 1 i fila 3 amb columnes 2 i 4

Menor d’una matriu.

Si tenim una submatriu de A formada per la intersecció de h files amb h columnes, aleshores al determinant d’aquesta submatriu s’anomena Menor d’ordre h de la matriu A.

Continuant l’exemple anterior:

Menors d’ordre 1: Tots els elements de la matriu.

Menors d’ordre 2:

Menors d’ordre 3:

Menor principal d’ordre h.

És el menor format per les h primeres files i per les h primeres columnes.

Exemple anterior:

Definició de rang d’una matriu.

Direm que una matriu té rang h (rang A=h) si existeix al menys un menor d’ordre h diferent de zero i tots els menors d’ordre superior a h són zero o bé no existeixen.

Exemple 1:

Exemple 2:

Tots els menors d’ordre 3 són nuls. Rang (B)=2

Conseqüències deduïdes a partir de la definició de rang d’una matriu.

Conseqüència 1:

Si en una matriu A s’intercanvien dues files o columnes, la matriu obtinguda A’ continuarà tenint el mateix rang.

Conseqüència 2:

Si una fila o columna d’una matriu A està formada tota per zeros, aleshores el seu rang és el mateix que el de la matriu A’ que s’obté de A suprimint aquesta fila o columna.

Conseqüència 3:

Si en una matriu A es suprimeix una fila (o columna) que és combinació lineal d’altres, s’obté una matriu A’ de igual rang que A.

Proposició 2.

Si una matriu

aleshores la fila k és combinació lineal de les h primeres files.

No fem la demostració.

Conseqüència d’aquesta proposició

Si el aleshores hi ha alguna fila o columna que és combinació lineal de les restants.

Observació

El recíproc d’aquesta proposició ja l’havíem vist a l’estudiar les propietats dels determinants.

Si un determinant té una fila o columna que és combinació lineal de les altres aleshores val zero.

Continuació de l’exemple anterior