Espais vectorials

Definicions:

1. Donat un conjunt A direm que tenim definit en ell una llei de composició interna si tenim una aplicació :
   
2. Direm que tenim definit sobre ell una llei de composició externa si tenim una aplicació:
   

Espai vectorial real o R-espai vectorial.

Direm que un conjunt E té estructura d’espai vectorial real si en ell tenim dues operacions definides:

1. 
   
   Respecte aquesta operació interna E és un grup abelià
   
   
2. 
   
   Respecte aquesta operació externa es verifiquen les següents propietats:
   
   

Direm aleshores que E és un espai vectorial Real (o bé que aquest conjunt té estructura de espai vectorial) i el notarem per

Als elements del conjunt E els anomenarem vectors i els notarem i als nombres reals escalars.

Exemples d’espais vectorials.

Exemple 1:

té estructura d’espai vectorial sobre

Demostració:

Direm que un conjunt E té estructura d’espai vectorial real si en ell tenim dues operacions definides:

1.


Respecte aquesta operació interna és un grup abelià

2.

Respecte aquesta operació externa es verifiquen les següents propietats:

Exemple 2:

té estructura d’espai vectorial sobre

Demostració:

Direm que un conjunt E té estructura d’espai vectorial real si en ell tenim dues operacions definides:

1.


Respecte aquesta operació interna és un grup abelià

2.

Respecte aquesta operació externa es verifiquen les següents propietats:

Propietats immediates en un espai vectorial.

Sigui E un espai vectorials sobre

Propietat 1:

Demostració:

Propietat 2:

Demostració:


Propietat 3:

Propietat 4:

Demostració: