Funció convexa o còncava en un interval

La derivada segona i el sentit de la curvatura

Definicions

Una funció és convexa en un interval quan la recta tangent al gràfic de la funció en qualsevol punt de està situada per sota d’aquest gràfic a tot l’interval, excepte en el punt de tangència.

Una funció és còncava en un interval quan la recta tangent al gràfic de la funció en qualsevol punt de està situada per sobre d’aquest gràfic a tot l’interval, excepte en el punt de tangència.

Direm que un punt en el qual la funció és contínua i derivable, és un punt d’inflexió quan la funció, en aquest punt, passa de ser còncava a convexa o viceversa. En aquest punt la recta tangent travessa el gràfic.

La funció en és còncava, les tangents en qualsevol punt d’aquest interval són per sobre la gràfica.

La funció en és convexa, les tangents en qualsevol punt d’aquest interval són per sota la gràfica.

En hi ha un punt d’inflexió, la tangent en aquest punt travessa la gràfica.

Interpretació gràfica de la derivada segona d'una funció en un punt

Teorema

a) Si la funció és convexa en

b) Si la funció és còncava en

Demostració

Si , sigui aleshores l’equació de la recta tangent en és

Anem a comprovar que la recta tangent és situada per sota la gràfica, es a dir que la diferència és positiva , excepte per . Veurem en primer lloc el

cas

aplicant el teorema del valor mitjà a la funció f en

Tornem a aplicar el teorema del valor mitjà a la funció en i tenim

per tant és positiu per ser producte de tres factors positius

cas

arribaríem a l’expressió

és positiu per ser producte de un factor positiu i dos de negatius

D’una manera semblant es demostra que, quan la derivada segona és negativa que la funció és còncava.

Observació

En un punt d’inflexió la funció canvia de còncava a convexa, o viceversa; canvia de signe, en conseqüència, s’anul·la. Però quan s’anul·la la derivada segona, no sempre existeix un punt d’inflexió; podem comprovar-ho amb la funció

a

Exemple.

Anem a determinar els intervals de concavitat i convexitat i els punts d’inflexió de la funció

Solució:

Primer anem a trobar els valors per als quals s’anul·la la derivada segona

quadre del sentit de la curvatura de la funció

	_	0	_	0	+
	còncava		còncava		convexa

L’únic punt d’inflexió és perquè la funció canvia de còncava a convexa.

En tenim però en aquest punt la derivada segona no canvia de signe.