Definició.

Sigui  una funció i sigui . Es diu que f és derivable en  si existeix   aquest límit s’anomena derivada de f en  i és representa per .

Per tant

Si fem  i tenim

Exemple 1

Sigui  anem a trobar f’(2) utilitzant la definició de derivada.

Exemple 2

Sigui
Anem a veure si  f és derivable en x=0.

Nota:

Si són successions de números reals tal  que   aleshores

(Si tenim dues successions de nombres reals tal que una tendeix a zero i l’altra és acotada aleshores el seu producte tendeix a zero.)

En aquest cas en particular tenim:

Definició:

Una funció   és diu derivable en   si  és derivable en tot punt  , es a dir

Exemple 1:

Anem a trobar la derivada de la funció

Exemple 2:

Anem a veure que si   aleshores

Definicions

Sigui  una funció i sigui .

Es diu que f és derivable per la dreta  en      

Aquest límit s’anomena derivada per la dreta  de f en  i és representa per

.

Es diu que f és derivable per l’esquerra en      

Aquest límit s’anomena derivada per l’esquerra  de f en  i és representa per

.

Exemple:

Sigui    

És f derivable a R?

L’únic punt que cal comprovar si f és derivable és x = - 1 ja que en tots els demés punts la funció és derivable (tots els polinomis són derivables).  Per tant