Creixement i decreixement d'una funció.

Definicions

Sigui

Sigui una funció

Direm que f és creixent en
Direm que f és decreixent en

Proposició.

Si una funció és derivable en

a) Si és creixent en

b) Si és decreixent en

Demostració

a) Suposem

b) Demostració anàloga a la de l’apartat anterior

Exemple

		+

Màxims i mínims absoluts i relatius d’una funció.

Definicions

Sigui na funció

és màxim absolut de en

és màxim relatiu de

és mínim absolut de en

és mínim relatiu de

Exemple:

Proposició

Si una funció és derivable en aleshores si és un màxim o un mínim relatiu de ha de ser
Demostració.

Suposem que és màxim aleshores

Per tant si

com és derivable en
En cas d’ésser mínim relatiu la demostració és anàloga.

Proposició

Si una funció és derivable en

Si
a) té un màxim en

b) té un mínim en

Demostració.

a) Si és decreixent en i com que passa de ser positiva a negativa en les pendents de les rectes tangents en els punts de la corba a l’esquerra de són positives i a la dreta són negatives.

és un màxim relatiu de f

b) Si la demostració és anàloga i és un mínim

Exemple