Producte mixt.

Definició:

El producte mixt de tres vectors és el número resultant del producte escalar del primer vector pel producte vectorial dels dos últims, representarem aquest número com:

Tenim doncs que

Suposem que els vectors s’expressen de la següent manera en una base ortonormal:

Tindrem la següent expressió del producte mixt és zero.

Propietats.

1. Si un dels vectors és nul aleshores el producte mixt és zero.
   Aquesta propietat és immediata ja que si un determinant té una fila de zeros aleshores el determinant val zero.
   
   
2. 
   Si en un determinant canviem dues files entre elles aleshores el determinant canvia de signe. Del primer determinant als tres últims hi ha un canvi de signe i del primer als dos segons es passa amb dos canvis de signe.
   
   
3. Si els vectors són linealment dependents.
   
   
4. Anàlogament es poden comprovar les següents propietats.
   

Volum d’un Paral.lelepipede

Anem a provar que el producte mixt és igual, en valor absolut, al volum del paral.lelepípede construït amb aquests tres vectors.

Volum d’un tetràedre.

Si prenem un prisma de base triangular això és la meitat d’un paral.lelepípede i aquí es poden construir tres tetràedres . Per tant el volum del tetràedre serà una sisena part del volum del paral.lelepípede.

Exemple:

Trobeu el volum del tetràedre determinat pel punts:

Solució: