Exercicis resolts.

  1. Calculeu l’equació del pla (o plans) que contenen a l’eix OX i disten 5 unitats del punt
    Solució:

  2. Calculeu l’angle que forma la recta amb la recta
    Solució:


  3. Trobeu l’angle que formen els plans:
    Solució:


  4. Trobeu l’angle que formen la recta
       i el pla
    Solució:




  5. Trobeu la distància del punt  al pla 
    Solució:


  6. Determineu un punt de la recta
    que equidista dels plans: . És solució única?
    Solució:


  7. Calculeu la distància del punt  a  la recta d’equació 
     i també l’equació del pla que passa per     A i és perpendicular a la recta r.
    Solució:


  8. Trobeu la distància entre els plans .
    Solució:


  9. Trobeu la distància mínima entre els punts de la recta
     i els d’una segona recta que passa  per .  Determineu en elles els punts que estan a distància mínima.
    Solució:


  10. a) Calculeu el volum del tetràedre de vèrtex

    b)  Trobeu el  volum  de la piràmide de vèrtex
    Solució:
    a)

    b)


  11. Trobeu els punts de l’eix OY que equidisten dels plans
    Solució:


  12. Trobeu el simètric del punt  respecte del pla
    Solució:

    El punt     Q el trobarem tallant el pla  amb la recta r perpendicular a  que passa per P.
    Aquest punt     Q serà el punt mig entre P i P’ es a dir


  13. Trobeu l’equació del pla que passa pels punts  i és tangent a l’esfera de centre l’origen i radi igual a 1
    Solució:

    Sigui el pla tal que passa per     A  i   B  i es tangent a l’esfera de centre l’origen. Aquest pla el trobarem fent els feix de plans que contenen la recta r que passa per A  i B i triant el que dista 1 de l’origen.




  14. Trobeu el punt simètric del punt  respecte de la recta
    Solució:

    Trobarem el pla  perpendicular a la recta r que passa per     P.
    Desprès tallarem el pla  amb la recta     r i trobarem el punt Q que serà el punt mig entre P i P’.



  15. Trobeu la distància  de la recta
      al  pla
    Solució:


  16. Trobeu la distància entre les rectes 
        i    
    Solució:

    Sigui  tal que  aleshores
    .
    Ara trobarem el pla



  17. Trobeu el simètric del punt respecte del pla
    Solució:

    El punt     Q el trobarem tallant el pla  amb la recta r perpendicular a  que passa per P.
    Aquest punt     Q serà el punt mig entre P i P’ es a dir



  18. Trobeu la distància del punt  a la recta
     i calculeu el punt de mínima distància.
    Solució:

    El punt de r que està a mínima distància de P és Q que és el punt on es tallen la recta r i el pla  , on és el pla  perpendicular a r que passa per P.



  19. Trobeu els angles que forma la recta
    amb els eixos de coordenades.
    Solució:

  20. Trobeu l’angle format per la recta
     i el pla
    Solució:


  21. Trobeu l’angle format per la recta
    Solució:


  22. Donat el pla  determineu els valors de a i b per a que la recta
    sigui perpendicular al pla.
    Solució:


  23. Trobeu la projecció ortogonal de la recta
      sobre el pla
    Solució:

    Per trobar la projecció ortogonal de r sobre  que serà la recta r’,  trobarem el feix de plans que contenen la recta r i triarem aquell pla   que és perpendicular a  ,aleshores la recta .




  24. Donats els plans  trobeu l’equació d’un pla que forma angles iguals amb els anteriors.
    Solució:
    La recta r és la intersecció dels plans
     per trobar el  pla  que forma angles iguals amb  farem el feix de plans que passa per r i triarem aquell que forma el mateix angle amb els dos plans donats.