Sistemes d’equacions lineals.

En aquest tema estudiarem el teorema de Rouche –Frobenius que permet saber quan un sistema té solució, i en cas afirmatiu estudiarem dos mètodes per resoldre sistemes: Mètode de Cramer i el Mètode de Gaus.

En aquest tema veurem la necessitat d’haver introduït prèviament els conceptes de matriu i determinant.

Definició.

Un sistema de m equacions lineals és un conjunt de m igualtats de la forma:

incògnites, coeficients dels sistema termes independents

Forma matricial.

Solució d’un sistema d’equacions lineal.

Direm que és una solució d’aquest sistema si al substituir les per , es compleixen les m igualtats

Altres definicions:

Direm que un sistema d’equacions lineals és compatible quan tingui solució.

Quan la solució és única direm que el sistema és compatible determinant.

Si té infinites solucions direm que el sistema és compatible indeterminant.

Direm que un sistema és incompatible quan no tingui solució.

Sistemes equivalents.

Direm que dos sistemes d’equacions lineals són equivalents quan tenen el mateix conjunt de solucions, malgrat no tinguin igual nombre d’equacions.

Transformacions elementals per obtenir sistemes equivalents

1. Si en un sistema d’equacions lineals, suprimim una equació que és combinació lineal dels altres, obtenim un sistema equivalent.
2. Si en un sistema d’equacions lineal, multipliquem una de les seves equacions per un escalar , obtindrem un sitema equivalent.
3. Si en un sistema d’equacions lineal, substituïm una de les seves equacions per exemple la i-èsima, per una combinació lineal de les altres i d’aquesta i-èsima equació amb coeficient no nul, obtindrem un sistema equivalent.

Utilitat d’aquestes transformacions lineals: Donat un sistema d’equacions lineal podem aconseguir un altre d’equivalent amb coeficients més senzills i si és possible amb un menor nombre d’incògnites. També es basa en aquestes transformacions el Mètode de Gaus per resoldre sistemes.

Exemple 1.

Exemple 2.

Exemple 3.