Els sistemes 3x3 visualitzats amb vectors

Un sistema d'equacions lineals de 3 equacions i 3 incògnites com el següent

Es pot interpretar com a una combinació lineal de 3 vectors

on els vectors de l'espai estan escrits en columna

L'únic detall que cal tenir en compte en aquesta interpretació és que les lletres x,y, z s'utilitzen per dues coses diferents:

• Per un costat s'utilitzen com a noms dels 3 eixos i de les coordenades dels vectors.
• Per altra banda són els factors que multipliquen a cada un dels 3 vectors.

És per aquest motiu, que per evitar confusions, reescriurem el sistema canviant el nom de les incògnites per a,b i c

        i en forma vectorial             

La següent construcció de GeoGebra ens representa els 3 vectors en vermell, verd i lila. La combinació lineal en els valors actuals d'a, b, c es representa en gris. El vector del terme independents en negre. Quan l'equació estigui resolta i els valors d'a,b i c siguin solució llavors el vector negre coincidirà amb el gris.

Aquesta representació proporciona una forma intuïtiva de visualitzar quan un sistema té solució (és compatible) o no (incompatible) i quan la solució és única (determinat) o n'hi ha més d'una (indeterminat)

Es pot modificar els valors de les incògnites a, b i c amb els seus lliscadors o fer-los variar de forma automàtica.

També pots descarregar la construcció aquí o al GeoGebraTube i per una versió experimental veieu la nota (*)

Modificant els valors dels vectors podem analitzar qualsevol sistema. Comencem però amb el que tenim ara entre mans.

Fixa´t que els 3 vectors no estan sobre un mateix pla, això es pot veure numèricament calculant el determinant

El paral·lelepípede determinat pels 3 vectors té com a volum 47 (el valor absolut del determinant ). Si fossin coplanaris o colineals el volum fora 0.

El fet que els 3 vectors columna no són coplanaris s'expressa dient que són linealment independents o que tenen rang 3. Es pot comprovar gràficament el fet que variant els coeficients a, b i c podem construir qualsevol vector de l'espai en particular el vector .

Per trobar-los cal resoldre l'equació ;-) o bé, alternativament, tantejar la construcció de GeoGebra per si tenim sort de trobar-la.

Comprova que amb a=2, b=2 i c=3 s'obté la solució.

Veiem un altre sistema

Introdueix els valors dels vectors columnes a la construcció de GeoGebra.

Canvia el punt de vista per observar millor la seva posició, observa que son coplanaris. Comprova fent el seu determinant que efectivament són coplanaris (dona zero).

Les combinacions lineals de 3 vectors coplanaris no poden sortir del seu pla, així que el sistema tindrà solució o no depenent de si el vector (9, 7, -6) està o no a aquest pla.

La forma més ràpida de saber això és calcular el determinant format pels 2 primers vectors i el (9, 7,-6).

El resultat del determinant és 0, així doncs té solució (compatible)

Comprova al GeoGebra que a=1, b=3 i c=0 és una solució.

Comprova al GeoGebra que a=3, b=1 i c=-1 també és una solució, és un sistema indeterminat.

(*) Aquesta construcció és una adaptació per poder visualitzar les 3 dimensions en versions del GeoGebra que no ho contemplen. L'equip del GeoGebra treballa en la versió 5 que tindrà una finestra 3D, actualment (gener 2014) hi ha disponible una versió beta que es pot descarregar tot i que no es garanteix l'estabilitat.

Si la instal·leu podeu provar la construcció combinacio3vectors3d_geogebra5.ggb, en particular és destacable la visió en profunditat que s'obté amb les ulleres amb filtres blau i vermell. Proveu-les!

Creat amb GeoGebra – Compartit per enricbraso