El Teorema de Bayes
En lloc de donar la fórmula i confiar que es sabrà aplicar-la, iniciarem aquest tema a partir d'un exemple pràctic que analitzarem a partir dels nostres coneixements previs(1) per acabar formalitzant el teorema.
L'exemple de partida serà la pregunta d'un estudi(2) que va provocar un debat considerable:
Suposem que l'1 per cent de les dones pateixen de càncer de mama.
Existeix una prova, anomenada mamografia, que detecta el 90% d'aquests càncers però que també dona positiu per càncer per un 10% de dones sanes.
Una dona s'ha fet la mamografia i li ha sortit positiva, quina és la probabilitat de que tingui càncer?
En aquest punt, et demano que facis una pausa en la lectura per reflexionar sobre el problema. ( La resposta no és el 90% ni el 80% !! )
...
Per analitzar la qüestió imagina un conjunt de 1000 dones i que, per facilitar les idees, les probabilitats s'han convertit en freqüències.
D'aquestes 1000, un 1% de malaltes són 10 que són les representades en vermell.
La mamografia és positiva en un 90% de les malaltes, s'ha representat doncs amb un signe + de color blau a 10*90/100=9 de les 10 dones malaltes.
I també dona positiu al 10% de les sanes, s'ha representat amb un signe + blau sobre 990*10/100=99 dones sanes
Un cop representada la situació, que tal una altra pausa per intentar trobar la solució per tu mateix?
...
la probabilitat demanada s'ha de calcular no pas sobre tota la població si no sobre les mamografies positives per tant sobre les 108.
Resumint 9 / (9+99) = 9/108 = 0,0833 = 1/12 = 8%. Un resultat sorprenent intuitivament si no es pensa en la importància de la poca incidència de la malaltia i significativa possibilitat de que la mamografia surti positiva tot i estar sana.
Aquesta pregunta es va formular a un conjunt representatiu de metges i sols un petit percentatge va ser capaç d'analitzar-la correctament. El que demostra que fins i tot entre persones amb formació científica no estem acostumats a raonar correctament en els temes de probabilitat.
Per formalitzar el que hem fet en aquest exemple, anomenem
- P(C)=P(Càncer)=0,01 a la probabilitat de tenir Càncer
- P(MamografiaPositiva si es té Càncer)=P(MP | C) =0,9
- P(MamografiaPositiva si no es té Càncer)=P(MP | noC) =0,1
- Llavors hi ha 4 situacions:
- P(Càncer i MamografiaPositiva) = P(C ∩ MP) = P(C) · P(MP | C) =0,01·0,9=0,009
- P(Càncer i MamografiaNegativa) = P(C ∩ MN) = P(C) · P(MN | C) =0,01·(1-0,9)=0,001
- P(noCàncer i MamografiaPositiva) = P(noC ∩ MP) = P(noC)·P(MP | noC) =(1-0,01)·0,1=0,99·0,1=0,099
- P(noCàncer i MamografiaNegativa)= P(noC ∩ MN)= P(noC)·P(MN | noC) =(1-0,01)·(1-0,1)=0,99·0,9=0,891
- Que podem comprovar com sumen 1
- P(MamografiaPositiva)=P(MP)= P(C ∩ MP)+ P(noC ∩ MP)= 0,009+0,099=0,108 és la suma de les dues zones de MamografiaPositiva
- I per fi, la P(Càncer si MamografiaPositiva) = P(C | MP), es trova per la fórmula de la probabilitat condicionada
P( C | MP) = P( C ∩ MP ) / P(MP) = P( C ∩ MP ) / [P( C ∩ MP ) + P( noC ∩ MP )]
P( C | MP) = 0,009 / [ 0,009 + 0,099] = 0,009 / 0,108 = 0,0833
En la següent construcció de GeoGebra es poden variar les dades inicials. Podeu descarregar-vos la construcció aquí o al GeoGebraTube
(1) Prèviament sols cal saber els conceptes elementals de probabilitat i el de probabilitat condicionada.
(2) Casscells W, Schoenberger A, Graboys. Interpretation by physicians of clinical laboratory results. The New England journal of medicine. 1978 Nov 2
Web realitzada per Enric Brasó i Campderrós, podeu contactar amb mi a través del mail ebraso@xtec.cat
El treball inicial ha estat fet en el marc de la llicència retribuïda concedida pel Dep. d'Educació (DOGC núm:4968 del 14-09-2007)Els materials estan sota la llicència Creative Commons Reconeixement-No
comercial-Compartir
