La longitud de la circumferència i la superfície del cercle

La longitud de la circumferència i el número π

 

La mesura de la longitud de la circumferència es pot fer experimentalment utilitzant cilindres de diferents mides i fent-los rodar, aquí, en el món de les pantalles ho podem fer amb la següent construcció de GeoGebra.

Mou el punt triangular per canviar el diàmetre. Fixa't en els resultats que es mostren quan s'acaba cada desplegament (si et cal apreta la "pausa")

• Quan augmentem diàmetre la circumferència es fa gran o petita ?
• Si augmentem el diàmetre el doble, com augmenta la circumferència?
• El diàmetre i la circumferència corresponent són proporcionals?
• Copia al teu quadern un valor del diàmetre i la seva circumferència. Divideix la circumferència entre el diàmetre. Quin resultat t'ha donat?
• Completa i copia la frase: "La circumferència (de .... ) és aproximadament 3'14 vegades el diàmetre (de ..... )
• Torna a fer la divisió per un altre valor del diàmetre, quin valor has obtingut aquesta vegada?
• Completa i copia la frase: "La circumferència (de .... ) és aproximadament 3'14 vegades el diàmetre (de ..... )

 

Aquest nombre que acabes d'obtenir de forma experimental, i per tant aproximada, s'anomena π (la lletra de l'alfabet grec "pi"). El seu valor exacte no es pot escriure de forma decimal, s'ha demostrat que té infinites xifres decimals que no segueixen cap pauta.

Les seves primeres 1000 xifres decimals són

3,

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

 

Pels efectes pràctics convé memoritzar que π ~ 3,14. Tingueu en compte, però, que quan realitzeu un càlcul amb π utilitzant una calculadora científica heu de fer servir la tecla corresponent ja que ens el donarà amb una precissió de 8 o més decimals.

 

Fent servir doncs aquest número simbolitzat per π podem escriure la fórmula de la longitud de la circumferència.

 

 

La superfície del cercle

Per deduïr la fórmula de la superfície del cercle, observeu la següent construcció de GeoGebra, fixeu-vos com el cercle es descompon en 18 sectors circulars que junt amb altres 18 iguals formen una figura que s'aproxima a un rectangle. Aquesta aproximació serà més exacte com més estrets fem els sectors en què dividim el cercle.

 

Com que utilitzem dues vegades els sectors per formar el rectangle, la superfície del cercle és la meitat de la del rectangle.

Quina és la base del rectangle?

Quina és l'altura?

Quina és la superfície d'aquest rectangle?

Quant és la meitat de la superfície del rectangle?

per tant:

Com que les dues fórmules πr² i 2πr s'assemblen, és normal dubtar entre les dues, us ajudarà raonar que la fórmula on apareix r² ha de ser necessàriament la de la superfície.

 

Per acabar us proposem un puzle, podeu descarregar-lo en PDF aquí, per imprimir-lo, retallar les peces i fer-lo físicament.
En aquest puzle es demostra que la superfície d'un dodecaedre (polígon de 12 costats) regular inscrit en cercle de radi r és exactament igual a 3 quadrats de costat r:

És una fórmula similar a la del cercle la diferència entre 3 i 3,14 correspon als petits espais entre el dodecaedre i el cercle

Podeu descarregar aquest puzle en PDF per imprimir, retallar i fer-lo físicament.