Els angles que comparteixen raons trigonomètriques

Si ens fixem en la següent animació veurem com el sinus i el cosinus d'un angle van canviant i oscilant sempre entre 1 i -1.

Per un determinat valor entre 0 i 1, sempre hi haurà dos angles que tenen aquest sinus i dos angles que tenen aquest sinus però negatiu. I el mateix passa amb el cosinus.

(feu clic per ampliar)

Per exemple si ens fixem en el 0,5 veurem que la línia blava (el sinus) val 0,5 dues vegades amb α igual a 30º i 150º i també dues vegades -0,5 (per α igual a 210º i 330º)

Amb el cosinus passa el mateix, si ens fixem en un valor qualsevol com 0,3 trobarem dos angles que tenen aquest cosinus ( 72º i 288º) i dos angles ( 108º i 252º) que tenen el cosinus -0,3

Per aclarir totes aquestes relacions d'una forma unificada és útil la següent figura:

Apreta el botó "pausa" a la part inferior esquerra.

Pots moure el punt A indicat amb un cercle blau per variar l'angle α

Els catets del triangle OAP (en verd més fosc) representen el sinus i cosinus d'α

Els altres 7 triangles de la figura són exactament el mateix que el OAP però situats en altres llocs .

Els angles que formen la seva hipotenusa amb l'eix x positiu és fàcil de calcular. És α, 90º-α, 90º+α, 180º-α, 180º+α, 270º-α, 270º+α i 360º-α o -α.

El sinus i el cosinus d'aquests angles també són els catets dels triangles i per tant coincideixen amb els de l'angle α.

Així per exemple si α=24^o la figura mostra com el seu sinus (segment vermell) val 0.40674 i el seu cosinus (segment blau) val 0.91355.

Doncs bé, el sinus i el cosinus de tots els altres angles dibuixats valen 0.40674, 0.91355, -0.40674 o bé -0.91355

Val la pena fixar-se en el dibuix per veure les correspondències i els signes (pels segments verticals + amunt i - avall, pels segments horitzontals + a la dreta i - a l'esquerra)

Per comprovar si ho has entés et proposem que responguis aquests exercicis (en PDF)

Web realitzada per Enric Brasó i Campderrós,  podeu contactar amb mi a través del mail ebraso@xtec.cat

El treball inicial ha estat fet en el marc de la llicència retribuïda concedida pel Dep. d'Educació (DOGC núm:4968 del 14-09-2007)

Els materials estan sota la llicència Creative Commons Reconeixement-No comercial-Compartir

Altres treballs i col·laboracions